1、导数与微分在经济学中的简单应用,一 、边际分析,二、 弹性,第六节,第四章,复习 成本函数 、收入函数、利润函数,成本函数,平均成本函数一般不是单调函数.,注意,收入函数,收益函数：生产者出售一定数量的产品所得 到的全部收入。 它是销量与价格的乘积 R=p*Q , 其中 p-产品的价格，Q -销售量,注,利润函数,由经济理论知：利润=收益-成本,一、边际分析,1 边际函数,设函数,可导，,称导函数,为边际函数,为函数,处的瞬时变化率，,在点,也称函数,在点,处的边际函数值.,例1 设函数,求y在,时的边际函数值,解 因为,x 改变一个单位，y 近似改变20个单位,所以 时的边际函数值,2 边际
2、成本,设C为总成本，,C1为固定成本，,C2为可变成本，,总成本函数,平均成本函数,边际成本函数,当产量为Q 个单位时，若再生产一个单为产品，,其经济意义是：,总成本就增加 个单位。,例2 设某产品的总成本函数为,求,(1)Q =10时的总成本 、平均成本和边际成本；,(2) 最低平均成本及相应的产量,解,(1)Q =10时的总成本,平均成本,因边际成本函数,故Q =10时的边际成本,(2) 由于平均成本为,最低平均成本为,3 边际收益（边际收入）,设某种产品的价格为P，销售量为Q，,则该产品的销售,总收益为R =QP，,如果已知销售量Q与价格P之间的函,数关系（即需求函数）为,总收益函数为,
3、平均收益函数为,边际收益函数为,其经济意义是：在已销售Q个单位商品的基础上，再销售一个单位商品所增加的总收入。,二、最大利润原则,设总利润为L，则,取得最大值的必要条件为：,于是取得最大利润的必要条件是：,边际收益等于边际成本,取得最大值的充分条件是：,于是取得最大利润的充分条件是：,边际收益的变化率小于边际成本的变化率,例3 设某产品的价格与销售量的关系为,成本与销售量的关系为,(1)求销售量为10时的总收益、平均收益与边际收益；,(2)求产量为多少时总利润L最大？,解 (1)因为总收益、平均收益与边际收益函数分别为：,所以总利润函数为,得唯一驻点,故当Q 20时，总利润最大,符合最大利润原
4、则,此时,(2) 因为成本函数为,三、弹性分析,1、弹性函数,在经济活动中，仅知道绝对改变量及绝对变化率是不够的。如A种商品的单价为10元，B种商品的单价为200元，这两种商品都涨价2元。虽然两种商品的单价的绝对改变量相同，但与它们各自原价相比，涨价的百分比却大不相同，A种商品涨价20%，B种商品涨价1%，显然，后者比前者容易被消费者接受。因此，我们有必要研究相对改变量与相对变化率问题，这就是所谓的弹性问题。,引例,设函数 yx2，,当x由10变到12时，,y就由100变到144，,即自变量x的绝对改变量,函数y的绝对改变量,而,这表示当x由10变到12时，,x产生了20%的改变，y产生,了4
5、4%的改变，,这就是自变量和函数的相对改变量,再引入,该式的含义是：在区间(10, 12)内，,从x =10开始，,x改变了1%，则相应的y改变了2.2%，,我们称它为从,定义1,函数的相对改变量,与自变量的相对改变量,称为函数 f (x)从x到x +x两点间的弹性,(或平均相对,变化率),的弹性（或相对变化率，或相对导数），,记作,当x产生1%的改变时，,在应用问题中解释弹性具体意义时，常常略去“近似”,二字,例4,解,2、需求弹性,当不考虑价格以外的其他因素时，商品的需求量Q 是价,格P的函数：,通常情况下，,为单调减少的函数，,为了用正数表示需求弹性，在经济学中定义如下：,定义2,设某产
6、品的需求量为Q，价格为P，,需求函数,则该产品在P 到P 之间的需求弹性,而在P处的需求弹性为：,由上式可得如下结论：,说明需求变动的幅度小于价格变动的幅度，,产品价格的变动对销售量影响不大，称为低弹性.,说明提价可使总收益增加，而降价会,使总收益减少.,说明需求变动的幅度大于价格变动的幅度，,产品价格的变动对销售量影响较大，称为高弹性.,说明提价可使总收益减少，而降价会,使总收益增加.,说明需求变动的幅度等于价格变动的幅度.,故可采取薄利多销的策略.,例5 设某品牌的电脑价格为P(元)，需求量为Q，其需求,函数为,(1) 求P = 4500时，的边际需求, 并说明其经济意义.,(2) 求P
7、= 4500时，的需求弹性, 并说明其经济意义.,(3) 求P = 4500时，若价格上涨1%, 总收益将如何变化?,是增加还是减少?,(4) 求P = 6000时，若价格上涨1%, 总收益将如何变化?,是增加还是减少?,解,(1) 当P = 4500时，的边际需求为,其经济意义是当价格P = 4500时，若涨价1元，则需求,量下降10台.,解,需求弹性为,(2) 当P = 4500时，的需求弹性为,其经济意义是当价格P = 4500时，若价格上涨1%，则,需求减少0.286%.,(3),所以,这说明，当P4500时, 若价格上涨1%,总收益将增加0.714%.,(4) 当P = 6000时，的需求弹性为,这说明，当P6000时, 若价格上涨1%,总收益将减少1%.,
