1、数学实验,Experiments in Mathematics,重庆邮电学院基础数学教学部,代数方程组的解法,实验目的,实验内容,MATLAB,2、通过实例练习用（非）线性方程组求解实际 问题.,实验软件,1、用Matlab软件掌握（非）线性方程组的解法，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析.,1、向量和矩阵的范数.,2、解线性方程组的方法介绍.,3、解非线性方程（组）的方法介绍.,向 量 范 数,1、定义,2、常用的向量范数,3、范数性质,矩 阵 范 数,1、定义,2、矩阵范数 与向量范数的相容性条件：,4、常用的矩阵范数,5、矩阵范数与谱半径的关系：,6、条件数与误差估计：,1）定义,2
2、）、条件数的性质：,3）、误差估计：,注：矩阵的条件数可视为矩阵病态程度的一种度量，条件数越大，病态越严重，引起方程组解的误差可能越大。,1、高斯消元法,一、直接法,高斯消元法矩阵表示,高斯消元法的MATLAB程序,%顺序gauss消去法，gauss函数 function A,u=gauss(a,n) for k=1:n-1%消去过程for i=k+1:nfor j=k+1:n+1%如果a(k,k)=0,则不能消去if abs(a(k,k)1e-6%计算第k步的增广矩阵a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)/a(k,k)*a(k,j);,else%a(k,k)=0,顺序gauss消去失败di
3、sp(顺序gauss消去失败);pause;exit;endendend end %回代过程 x(n)=a(n,n+1)/a(n,n);,for i=n-1:-1:1s=0;for j=i+1:ns=s+a(i,j)*x(j);endx(i)=(a(i,n+1)-s)/a(i,i); end %返回gauss消去后的增广矩阵 A=triu(a); %返回方程组的解 u=x;,例1 用高斯消元法求解方程组：,2、列主元素消元法,列主元素消元法的MATLAB程序,%列主元gauss消去函数 function A,u=gauss(a,n) %消去过程 for k=1:n-1%选主元c=0;for q
4、=k:nif abs(a(q,k)cc=a(q,k);l=q;,endend%如果主元为0，则矩阵A不可逆if abs(c)1e-10disp(error);pause;exit;end%如果l不等于k，则交换第l行和第k行if l=k for q=k:n+1,temp=a(k,q);a(k,q)=a(l.q);a(l,q)=temp;endend%计算第k步的元素值for i=k+1:nfor j=k+1:na(i,j)=a(i,j)-a(i,k)/a(k,k)*a(k,j);endend,end %回代过程 x(n)=a(n,n+1)/a(n,n); for i=n-1:-1:1s=0;f
5、or j=i+1:ns=s+a(i,j)*x(j);endx(i)=(a(i,n+1)-s)/a(i,i); end,%返回列主元gauss消去后的增广矩阵 A=triu(a); %返回方程组的解 u=x;,例2 用列主元素消去法重新解例1,二、迭 代 法,1、迭 代 法的总体思想：,2、雅可比（Jacobian）迭代法公式：,Jacobian迭代的MATLAB程序,function x,sp=jac(a,b,n,x1) %误差 e=ones(n,1); %迭代的解向量 x2=zeros(n,1); %迭代的次数 k=0; %当误差没有满足要求时继续迭代 while norm(e,2)1e-6
6、%每隔5步显示迭代结果,if (rem(k,5)=0)str=sprintf(X%d= %g %g %g %gn,k,x1);disp(str)endk=k+1;%计算x2（i）for i=1:ns=0;for j=1:ns=s+a(i,j)*x1(j);end,x2(i)=(b(i)-s)/a(i,i)+x1(i);end%计算误差向量e=x2-x1;%把x2作为新的迭代初值x1=x2; end %返回迭代步数 sp=k; %返回迭代值 x=x2;,例3、利用Jacobian迭代法求解方程组：,2、高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法公式：,4、超松弛（Successive Ove
7、r Relaxation method）迭代法,例4、用SOR迭代法求解方程组：,一、求解非线性方程的方法,1、根的隔离-二分法,2、切线法,3、割线法,二、求解非线性方程组的牛顿法,三、迭代过程中的收敛性、分枝与混沌,3 、迭代过程混沌,波音公司飞机最佳定价策略,全球最大的飞机制造商-波音公司自1955年推出波音707开始，成功地开发了一系列的喷气式客机。问题：讨论该公司对一种新型客机最优定价策略的数学模型。,一、问题分析：,定价策略涉及到诸多因素，这里考虑一下主要因素： 价格、竞争对手的行为、出售客机的数量、波音公司的客机制造量、制造成本、波音公司的市场占有率等等因素。,二、基本假设：,价格记为p，根据实际情况，对于民航飞机制造商，能够与波音公司抗衡的竞争对手只有一个，因此他们在价格上可以达成一致，具体假设如下：,1、型号：为了研究方便，假设只有一种型号飞机；,3、市场占有率：既然在价格上达成一致，即价格的变化是同步的，因此不同的定价不会影响波音公司的市场占有率，因此市场占有率是常数，记为h；,4、制造数量：假设制造量等于销售量，记为x。既然可以预测该型号飞机全球销售量，结合波音公司的市场占有率，可以得到：,三、模型建立：,
