1、1第 2104 讲 根式方程（组）的解法一、知识和方法要点 如果方程（组）含有根式，且根号内含有未知数，则称这样的方程（组）为根式方程（组）或称这样的方程（组）为无理方程（组） 。根式方程（组）有着广泛的实际应用，例如，在用代数法解直角（斜）三角形时，所列出的方程（组）就可能是根式方程（组） 。解根式方程（组）的基本思想是通过去根号将其转化为整式方程来解。 化根式方程（组）为整式方程的基本方法1）平方法：采用将方程的两边平方的手段，去掉根号；2）配方法：采用配方的手段，或利用非负数性质或将配方的底数整体解出去；3）共轭根式法：利用共轭根式的性质，去掉根号；4）换元法：用新变元整体代替根式，去掉
2、根号；5）不等式排除法：利用不等式排除不是方程的解的实数，从而确定方程的解。 在解根式方程（组）时，由于要去掉根号，将方程的两边平方，这样，使解出的解是另一个方程的解（方程 的解可能是方程 的解，也可能是方程 的解） ，故有可能产22()fxg()fxg()fxg生不适合原方程的根，这样的根称为根式方程（组）的增根。 在解根式方程（组）时的注意事项1）在将根式方程（组）转化为整式方程时，为减少不必要的计算，应根据原根式方程（组）的特点，采用相应的化简方法和技巧；2）解根式方程（组）时，验根是必不可少的步骤；3）解含字母系数的根式方程（组）时，应对字母系数进行讨论。二、典型题例选讲例 1 设 a
3、，b 是有理数，且满足等式 ，则 的值是（ ） 。361423ababA. 2 B. 4 C. 6 D. 8（2006 年全国初中数学联赛第一试试题；根式方程；有理数和无理数性质）【分析】 题中的条件 a，b 是有理数建议我们利用有理数和无理数的性质解题。首先应将右边的复合二次根式进行化简。【解答】 选 B。因为，36142361(3)1263由实数性质得 。ab，所以， 。4ab【评注】 利用有理数和无理数的性质解题。例 2 解方程： 。314x（解根式方程；平方法）【分析】 这是一个关于 x 的根式方程。通常的方法是：通过将方程的两边平方的手段，去掉根号，把方程变成整式方程来解。【解答】
4、移项 ，314xx两边平方得 ，52整理得 ，再两边平方得 ，2即 ，()0x解之得 。5或经检验 是增根， 是原方程的根。所以，原方程的解为 。0x5xx【评注】 解分式方程（组）时，验根是必不可少的步骤。2例 3 设实数 x，y ，z 满足 ，求 x，y，z 的值。4(543)xyzxyz（解根式方程；配方法）【分析】 将条件式看成根式方程，由于要从一个方程解出三个未知数 x，y，z，故可考虑采用配方法进行解题。【解答】 移项 ，(5)4(4)4(3)40xy配方得 ，222( 0xz故 ，00， ，解得 。987y， ，经检验， 是原方程的解。987xyz， ，【评注】 与有理方程类似，
5、可通过配方法解多个未知数方程。例 4 求所有的实数 ，使得 。1xx（解根式方程；平方法，配方法）【分析】 本题要求解一个关于 x 的根式方程，如果通过将方程的两边平方的手段，去掉根号，方程将变得复杂，第二步采用配方，简化运算。【解答】 移项 ，1xx两边平方得 ，2 1整理得 ，10xx两边除以 x，得 ，2配方得 ，210()x于是 ，两边乘以 x，得 ，2x解之得 。15注意到 ，所以 。0x152x经检验， 是原方程的解。【评注】 解答中利用二次方程的求根公式求根。例 5 解方程： 。24xxx（解根式方程；配方法，分解因式法）【分析】 观察到 ，首先考虑将方程移项后进行配方，然后再分
6、解因式使方程得到化简，最后按常规解法，两边平方去掉根号化为整式方程来解。【解答】 将方程化为 ，2()(2)60xxx第一个括号配方得 ，2分解因式得 ，3于是 。x两边平方后，解得 。14x经检验， 是原方程的根。【评注】 解答中利用二次方程的求根公式求根。3例 6 解方程： 。297180xx（解根式方程；配方法，分解因式）【分析】 这是一个关于 x 的根式方程。观察方程的特点，由根号内的式子的系数与根号外的式子的系数的关联性，采用换元法解题。【解答】 将方程变形 ，296181xx两边配方得 ，2(3)(9)于是 。或1）由前一个方程得 ，20x分解因式得 ，()5)于是 ，解之得 。4
7、x2）由后一个方程得 ，380此方程无解。经检验， 都是原方程的根。4x【评注】 解答中第一次两边配方，精彩。例 7 解方程： 。7510324x（解根式方程；共轭根式法）【分析】 因为 ， ，可将方程的分母简单地去2()(3)x25(4)1(4)1xx掉。又因为 ，据此可较简单地解出方程的根。( 1x【解答】 将方程变形为，22()()0341x即 ， 34103x（1）因为 ，故得(34)(34)1xx， （2）34103x（1） 、 （2）两式相减得 ，26即 ，两边平方得 ，9解之得 。13x经检验， 是原方程的根。13x【评注】 解答中利用共轭根式的性质简化了运算。例 8 解方程：
8、。2251598xx（解根式方程；换元法）【分析】 这是一个关于 x 的根式方程。观察方程的特点，由根号内的式子的系数与根号外的式子的系数的关联性，采用换元法解题。【解答】 令 ，则原方程变为215980y，21980y分解因式 ，(45)解之得 （舍去） ，或于是 ，225x即 ，170分解因式得 ，(9)3解之得 ，2x或经检验， 都是原方程的根。392x，4【评注】 当解出 y 后，就考虑将小于零的 y 舍去，减少计算量。例 9 解方程： 。321x（解根式方程；换元法）【分析】 这是一个关于 x 的根式方程。观察方程的特点，由根号内的式子的系数与根号外的式子的系数的关联性，采用换元法解
9、题。【解答】 令 ，则10y，21xy代入原方程得 ，3两边立方得 ，23()即 ，()yy于是 ，21或第二个方程即 ，230解之得 。y或还原得 。1xx， 或经检验， 都是原方程的根。210xx， ，【评注】 当解出 y 后，就考虑将小于零的 y 舍去，减少计算量。例 10 解方程： 。55523x（解根式方程；换元法）【分析】 这是一个关于 x 的根式方程。观察方程的特点，由根号内的式子的系数与根号外的式子的系数的关联性，采用换元法解题。【解答】 左边通分得 ，55(2)3xx即 ，64于是 ，2233xx或解之得 ，1或经检验， 都是原方程的根。231x，【评注】 解答中方程两边开
10、6 次方，应得 。52x例 11解方程： 。22x（解根式方程；不等式排除法）【分析】 观察得此方程的根必为正数，且 是它的一个根，如果能够说明任意 的实数 x 必不x 0,2x是此方程的根，即可确定原方程只有一个实根 。【解答】 易知此方程的根必为正数，且 是它的一个根。21）如果 ，则 ，即2x2x，x于是 ，22x表明 x 不是方程的根。2）如果 ，则 ，即02x22xx，x于是 ，22x表明 x 不是方程的根。5综上所述，方程只有一个根 。2x【评注】 这种间接解方程的方法值得注意。例 12解关于 x 的方程 。2abax（含字母系数根式方程，讨论）【分析】 将原方程两边平方，并化简得
11、 ，由此得 ，但必须注意下一步应该将0bxab或此解代入方程验证，才能得到正确的解答。【解答】 将原方程两边平方，并化简得 ，ax由此得 ，或解之得 。b或1）当 时， ，即只有 时 才是方程的解；xa0bb2）当 时， ，即只有 时 才是方程的解。ax所以，当 时，方程的解为 ，当 时，方程的解为 。xa【评注】 解含字母系数的根式方程（组）时，应对字母系数进行讨论。例 13解方程组： 。13xy（解根式方程组，换元法）【分析】 这是一个关于 x 的根式方程组。观察方程组的特点，采用换元法解题，令 ，1xuyv，将方程组变为整式方程。【解答】 令 ，不妨设 ，则原方程组变为1010xuyv，
12、 uv，32因为 ，故 。22()()498uvv1v解方程组 ，u解之得 。2310xvy经检验， 是原方程的根。所以，原方程组的解为 。30xy xy或【评注】 先作有序界定，再将解得的解轮换，得到全部解。例 14解方程组 。1xyy（解根式方程组，消元法）【分析】 观察方程的右边的特点，由于 可以消去 x，故将两方程相乘，消去 x 得22()xy，由此先解出 y。31y【解答】 得： ， 31y两边平方得 ，40解之得 。代入 得 ， 3142x两边平方得 ，解之得 。经经验， 是原方程组的解。134xy【评注】 解根式方程组的基本思想还是消元。6三、同步练习题1. 设正整数 a，m，n 满足 ，求 a， m，n 的值。24a（解根式方程；有理数和无理数性质）2. 解方程： 。31345xx（解根式方程；平方法）3. 解方程： 。1（解根式方程；平方法）4. 解方程： 。222221411xxx（解根式方程；配方法，平方法）5. 解方程： 。x（解根式方程；平方法）6. 解方程组： 。9143yx（解根式方程组，换元法）7. 设 x，y，z 是正整数，满足 ，求 的值。10315xyzzxyz（解根式方程；换元法）
