1、南京林业大学1各类微分方程的解法1.可分离变量的微分方程解法一般形式:g(y)dy=f(x)dx直接解得g(y)dy=f(x)dx设 g(y)及 f(x)的原函数依次为 G(y)及 F(x),则 G(y)=F(x)+C 为微分方程的隐式通解2.齐次方程解法一般形式:dy/dx= (y/x) 令 u=y/x 则 y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以 u+xdu/dx=(u), 即 du/(u)-u=dx/x两端积分,得du/(u)-u=dx/x最后用 y/x代替 u,便得所给齐次方程的通解3.一阶线性微分方程解法一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x)先令 Q(x)=0 则 dy/dx
2、+P(x)y=0 解得 y=Ce P(x)dx,再令 y=ue P(x)dx代入原方程解得 u=Q(x) e P(x)dxdx+C,所以 y=e P(x)dxQ(x)e P(x)dxdx+C即 y=Ce P(x)dx+e P(x)dxQ(x)e P(x)dxdx为一阶线性微分方程的通解4.可降阶的高阶微分方程解法y (n)=f(x)型的微分方程y(n)=f(x)y(n-1)= f(x)dx+C 1y(n-2)= f(x)dx+C 1dx+C 2依次类推,接连积分 n次,便得方程 y(n)=f(x)的含有 n个任意常数的通解y”=f(x,y) 型的微分方程令 y=p则 y”=p,所以 p=f(x
3、,p),再求解得 p=(x,C 1)南京林业大学2即 dy/dx=(x,C 1),所以 y=(x,C 1)dx+C2y”=f(y,y) 型的微分方程令 y=p则 y”=pdp/dy,所以 pdp/dy=f(y,p),再求解得 p=(y,C 1)即 dy/dx=(y,C 1),即 dy/(y,C 1)=dx,所以dy/(y,C 1)=x+C25.二阶常系数齐次线性微分方程解法一般形式:y”+py+qy=0,特征方程 r2+pr+q=0特征方程 r2+pr+q=0 的两根为 r1,r2 微分方程 y”+py+qy=0 的通解两个不相等的实根 r1,r2 y=C1er1x+C2er2x两个相等的实根
4、 r1=r2 y=(C1+C2x)er1x一对共轭复根 r1=+i,r 2=-i y=ex (C1cosx+C 2sinx)6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法一般形式: y”+py+qy=f(x)先求 y”+py+qy=0 的通解 y0(x),再求 y”+py+qy=f(x)的一个特解 y*(x)则 y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程 y”+py+qy=f(x)的通解求 y”+py+qy=f(x)特解的方法: f(x)=Pm(x)ex 型令 y*=xkQm(x)ex k 按 不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取 0,1或 2再代入原方程,确定 Qm(x)的 m+1个系数 f(x)=ex P (x)cosx+P n(x)sinx型令 y*=xkex Q m(x)cosx+R m(x)sinx m=max,n,k 按 +i 不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取 0或 1再代入原方程,分别确定 Qm(x)和 Rm(x)的 m+1个系数
