1、 目 录 摘要 1 前言 2 1 绪论 .3 1.1 摄像机标定的背景 .3 1.2 摄像机标定的意义 .4 1.3 本文研究的内容 .4 2 摄像机标定的基本原理 .5 2.1摄像机成像模型 5 2.2坐标变换 7 2.3 摄像机成像公式 .9 3 传统摄像机标定方法 12 3.1 直接线性变换（DLT变换） .12 3.2 Tsai 的 RAC的定标算法 .14 3.3 张正友的平面标定方法 17 3.4 孟晓桥、胡占义的圆标定方法 19 4.摄像机自标定方法 . 21 4.1 基于Kruppa方程的自标定方法 21 4.2基于绝对二次曲面、无穷远平面的自标定方法 .22 5基于Matla
2、b的摄像机标定的实现 23 5.1标定实现标定的流程 .23 5.2标定的实现 .23 5.3 实验误差分析 27 6 总结和展望 . 27 6.1总结 .28 6.2 展望 28 参考文献 29 附录 . 31 37 1 摄像机标定的基本原理、实现及性能分析 摘要： 在图像测量过程以及机器视觉应用中， 为确定空间物体表面某点的三维几何位置与其在图像中对应点之间的相互关系，必须建立摄像机成像的几何模型, 并由此重建和识别物体。这些几何模型参数就是摄像机参数。在大多数条件下这些参数必须通过实验与计算才能得到，这个求解参数的过程就称之为摄像机标定。摄像机参数标定是光学非接触式三维测量的首要步骤，其
3、结果的精度及算法的稳定性直接影响摄像机工作产生结果的准确性。本文首先分析了摄像机标定的基本原理，然后重点讨论了摄像机标定的几种方法以及其实现的过程。摄像机标定的基本方法可以分为两个大类：传统的摄像机标定方法，如直接线性变换方法（DLT方法）、R. Tsai 的 RAC方法、 张正友的平面标定方法、 孟晓桥、胡占义的圆标定方法、吴毅红等的平行圆标定方法等，以 及摄像机自标定方法，如基于Kruppa 方程的自标定方法、分层逐步标定法、基于二次曲面的自标定方法等。还有一些方法难以归类到这两类中，如主动视觉摄像机标定方法。本文在研究摄像机成像的几何模型基础上，对这些方法的设计思想进行了分析,完成了摄像
4、机标定的过程，并且分析了几种方法的优缺点以及使用领域。这些为像机标定的实际应用提供指导，也为进一步选择更合理的标定方法提供理论和实践参考。 关键字：摄像机标定；内参数；外参数；畸变；角点检测 Abstract: In the image measurement and machine vision applications, for determining three-dimensional geometry location of one point in the spatial objects surface and its relationship between its corresp
5、onding points in the images, we need to build the geometric model of camera imaging and thus reconstruct and recognize objects. The geometric model parameters are camera parameters. In most conditions, these parameters must be obtained by experiment and calculation, and this process of solving the p
6、arameters is called camera calibration. Camera parameters calibration is the first step in the optical non-contact 3D measurement, and its results accuracy and stability of the algorithm directly affect the accuracy of the result worked by the cameras. In this paper, the basic principles of camera c
7、alibration are first analyzed, and then we focus on several methods of camera calibration and the process of 37 2 its accomplishment. The basic methods of camera calibration can be divided into two categories: traditional camera calibration methods, such as direct linear transformation method (DLT m
8、ethod), R. Tsai RAC method, Zhang Zhengyou plane calibration, Meng Xiaoqiao and Hu Zhanyi round calibration method, Wu Yihong parallel circular calibration method , as well as the camera self-calibration methods, such as self-calibration based on Kruppa equations method, stratified gradually calibra
9、tion, self-calibration based on quadric method, etc. Hardly，some ways are not involved in these two types of methods, such as active vision camera calibration method. In the paper, based on the geometric model of camera imaging, the design of these methods is analyzed, the process of camera calibrat
10、ion is completed, and the advantages and disadvantages of several methods with their used field are presented. The camera calibration is provided reference in the practical application, and a more reasonable calibration method which will be further chosen is provided theoretical and practical refere
11、nce. Keywords: camera calibration; intrinsic parameter; external parameters; distortion; corner detection 前言 计算机视觉的基本任务之一是从摄 像机获取的图像信息出发计算三维空间中物体的几何信息。而空间物体表面某点的三维几何位置与其在图像中对应点之间的相互关系是由摄像机成像的几何模型决定的。摄像机标定是机器视觉技术1的基础, 应用于三维测量、三维物体重建、机器导航、视觉监控、物体识别、工业检测、生物医学、机器人手眼等诸多领域, 得到了国内外学者的广泛研究2。它是光学非接触式三维测量的首要步
12、骤，是二维图像获取三维空间信息的关键和必要步骤。无论是在图像测量或者机器视觉应用中，摄像机参数的标定都是非常关键的环节，其标定结果的精度及算法的稳定性直接影响摄像机工作产生结果的准确性如基于图像的物体重构、基于图像的测量等。对摄像机标定的研究来说，当前的研究工作应该集中在如何针对具体的实际应用问题，采用特定的简便、实用、快速、准确的标定方法3。 摄像机标定的分类根据是否需要标定参照物来看，可分为传统的摄像机标定方法和摄像机自标定方法4。传统的摄像机标定是在一定的摄像机模型下，基于特定的实验条件，如形状、尺寸已知的标定物，经过对其进行图像处理，利用一系列数学变换和计算方法，37 3 求取摄像机模
13、型的内部参数和外部参数5。不依赖于标定参照物的摄像机标定方法，仅利用摄像机在运动过程中周围环境的图像与图像之间的对应 关系对摄像机进行的标定称为摄像机自标定方法。自标定方法非常地灵活,但它并不是很成熟。因为未知参数太多,很难得到稳定的结果。一般来说，当应用场合所要求的精度很高且摄像机的参数不经常变化时，传统标定方法为首选。而自标定方法主要应用于精度要求不高的场合，如通讯、虚拟现实等。然而，不同应用领域的问题对摄像机定标的精度要求也不同，也就要求应使用不同的定标方法来确定摄像机的参数。例如，在物体识别应用系统中和视觉精密测量中，物体特征的相对位置必须要精确计算，而其绝对位置的定标就不要求特别高；
14、而在自主车辆导航系统中，机器人的空间位置的绝对坐标就要高精度测量，并且工作空间中障碍物的位置也要高度测量，这样才能安全导航本文主要研究的是传统的标定方法。本文对摄像机标定技术进行了全面地研究和总结，重点讨论了几种典型的摄像机标定的基本原理，以及实现方法。同时也进行使用标定工具箱来进行摄像机的标定的实验，并在实验完成后分析了误差出现的原因。另外针对 Tasi不考虑畸变的标定方法，本文采用的是来源于“计算机视觉”Linda G. Shapiro, George C. Stockman 著. 赵清杰，钱芳等译. 计算机视觉M. 北京:机械工业出版社.一书中出现的数据，进行了标定，并出现相应的结果。
15、1 绪论 1.1 摄像机标定的背景 近年来，随着微电子技术和光学镜头技术的发展，廉价的高精度数码摄像器材逐渐普及，应用也越来越广泛，机器视觉技术日趋成熟，在社会生产生活方面日益发挥其重要作用。如视觉监控，零件自动识别与测量，三维重建，地形匹配，医学影像处理等。摄像机定标是大多数机器视觉应用必不可少的重要步骤，直接对后续的工作的精度产生重要影响6。而当今机器视觉界的研究热点之一就是研究各种方便实用、灵活和较高精度的相机标定系统。因此，如何最大限度地提高摄像机定标的精度，对于机器视觉有着重要的理论研究意义和实际应用价值。 摄像机定标技术早就应用于摄影测量学79。摄影测量学中所使用的方法是数学解析分
16、析的方法, 在定标过程中通常要利用数学方法对从数字图像中获得的数据进行处理.通过数学处理手段, 摄像机定标提供了专业测量摄像机与非 量测摄像机的联系. 而所谓的非量测摄像机是指这样一类摄像机, 其内部参数完全未知、部分未知或者原则上不稳定.37 4 摄像机的内部参数指的是摄像机成像的基本参数, 如主点(图像中心)、焦距、径向镜头畸变、偏轴镜头畸变以及其它系统误差参数。 不同的 应用背景也对定标技术提出了不同的要求.在立体计算机视觉中,如果系统的任务是物体识别, 则物体相对于某一个参考坐标系的绝对定位显得并不特别重要,更重要的是物体特征点间相对位置的精度.举例来说,在一个基于CAD的物体识别系统
17、中, 所研究的物体上的特征的相对位置必须具有足够高的精度,才能进行有效的匹配和识别.如果系统的任务是物体的定位,相对于某一个参考坐标系的绝对定位精度就特别重要.例如, 在一个自主车辆导航系统中.自主式移动机器人必须准确地知道其自身的位置、工作空间中障碍物的位置、以及障碍物的运动情况,才能有效地、安全地进行导航.CCD摄像机17的上述特点和应用问题的要求使得定标技术、精度和实时性等问题的研究显得特别重要, 同时也导致了研究成果的多样性10。 1.2 摄像机标定的意义 摄像机定标是从摄影测量学中发展出来的，传统的摄影测量学使用数学解析的方法对获得的图像数据进行处理，随着镜头和电子技术的发展，各种摄
18、像机像差表达式陆续提出并得到认同和采用，摄影测量学日趋成熟，廉价且精度较高的摄像器材不断出现，上述的技术发展最终产生了摄像机定标这一个新技术的诞生与发 展，适用于各种工业及日常使用。 目前摄像机定标的方法较多，但能够具有较好的定标精度的方法寥寥无几。随着实际应用的发展，对进一步提高摄像机定标的精度有了更高的要求。因此，科学的发展呼唤有着更高定标精度的定标方法。研究提高摄像机定标精度的方法符合机器视觉发展的要求。 1.3 本文研究的内容 本文就目前普遍常用的标定方法进行了综合阐述，介绍了摄像机标定的基本原理和几种比较常见的标定方法。最后实现了基于Matlab使用标定工具的半自动获取标定结果，该方
19、法以棋盘格作为标定板图样, 对于每一幅标定图像, 需要人工界定4个角点,完成标定过程,另外在Tasi11的理论基础上，进行了不考虑摄像头畸变的标定简单实验，得出了摄像机的参数。 37 5 2 摄像机标定的基本原理 2.1 摄像机成像模型 三维重建是人类视觉的主要目的，也是计算机视觉的最主要的研究方向。所谓三维重建就是指从图像出发恢复出空间点三维坐标的过程。三维重建的三个关键步骤：图像对应点的确定、摄像机标定、二图像间摄像机运动参数的确定。 摄像机成像模型是摄像机定标的基础，确定了成像模型，才能确定摄像机内外参数的个数和求解的方法。在计算机视觉中，利用所拍摄的图像来计算出三维空间中被测物体几何参
20、数。图像是空间物体通过成像系统在像平面上的反映，即空间物体在像平面上的投影。图像上每一个像素点的灰度反映了空间物体表面某点的反射光的强度，而该点在图像上的位置则与空间物体表面对应点的几何位置有关。这些位置的相互关系，由摄像机成像系统的几何投影模型所决定。计算机视觉研究中，三维空间中的物体到像平面的投影关系即为成像模型，理想的投影成像模型是光学中的中心投影，也称为针孔模型。针孔模型假设物体表面的反射光都经过一个针孔而投影到像平面上，即满足光的直线传播条件。针孔模型主要有光心（投影中心）、成像面和光轴组成。小孔成像由于透光量太小，因此需要很长的曝光时间，并且很难得到清晰的图像。实际摄像系统通常都由
21、透镜或者透镜组组成。两种模型具有相同的成像关系，即像点是物点和光心的连线与图像平面的交点。因此，可以用针孔模型作为摄像机成像模型。 在推导成像模型的过程中，不可避免的要涉及到空间直角坐标系，直角坐标系分右手系和左手系两种。如果把右手的拇指和食指分别指向x 轴和 y 轴的方向，中指指向 z 轴的方向，满足此种对应关系的就叫做右旋坐标系或右手坐标系；如果左手的三个手指依次指向 x 轴、y 轴和 z 轴，这样的坐标系叫做左手坐标系或者左旋坐标系。本文为简便起见，使用的坐标系均为右手坐标系。 图 2.1.1 针孔成像 37 6 对于仅有一块理想薄凸透镜的成像系统，要成一缩小实像，物距 u,像距 v 焦
22、距 f 必须满足下式： 11 1uv f+= （2.1.1） 当u远大于 f时，可以认为 v 与 f近似相等，若取透镜中心为三维空间坐标系原点，则三维物体成像于透镜焦点所在的像平面上，如上图所示。 图中（X,Y, Z）为空间点坐标，（x, y,-f）为像点坐标， ( ),cc cXYZ为以透镜中心即光学中心为坐标原点的三维坐标系。成像平面平行于 平面，距光心距离为f。则有下列关系成立： cccOXY(2.1.2) fx XZfy YZ= = 上述成像模型即为光学中的中心投影模型，也称为针孔模型。针孔模型主要由光心投影中心、成像面和光轴组成。模型假设物体表面的部分反射光经过一个针孔而投影到像平面
23、上，也就是就成像过程满足光的直线传播条件，为一个射影变换过程；而相应地，像点位置仅与空间点坐标和透镜焦距相关。由于成像平面位于光心原点的后面，因此称为后投影模型，此时像点与物点的坐标符号相反；为简便起见，在不改变像点与物点的大小比例关系的前提下，可以将成像平面从光心后前移至光心前，如下图所示，此时空间点坐标与像点坐标之间符号相同，成等比例缩小的关系，此种模型称为前投影模型。本文使用前投影模型，在实际生活中，大部分摄像机都可以用此模型近似模拟其成像过程。 图 2.1.2 针孔成像前投影模型 37 7 2.2 坐标变换 在实际使用摄像机的过程中，人们为了方便计算，常常设置多个坐标系，因此，空间点的
24、成像过程必然涉及到坐标系之间的相互转化。 下面将逐步推导坐标变换的公式以及坐标变换的相关特性23。 首先考虑相对简单的二维坐标变换，考虑如下图所示的两个坐标系Oxy 和 ,其中OXY)(00,x y 表示点 O点在坐标系 Oxy 中的坐标，两坐标系之间的夹角设为。则两坐标系之间的变换可以看作是通过两步完成的：或者是先旋转，再平移；或者是先平移，后旋转。两种方法得到的最终的表达式是一致的，在这里选择第一种。 图 2.2.1 二维坐标变换示意图 经过简单的推导，可以得出以下同一点新旧坐标之间的关系式： x00cos sinsin cosxyxyx y y=+=+（2.2.1） 将其转化为矩阵的形式
25、，可以推出下式： （2.2.2） 00cos sin sin cos xxxyyy =+ 为更进一步简化公式，这里引入齐次坐标形式。简单地说，给原有的坐标表示添加一个元素，用 1表示该点为非无穷远点，0表示该点为无穷远点，更深入的内容可以参考空间解析几何的相关内容。引入齐次坐标后，上式可以变为以下形式： 37 8 （2.2.3） 00cos sin sin cos 10001x xxyy y = 坐标变换矩阵由三个列向量组成，前两个列向量表示旋转，第三个列向量表示平移。可以看出旋转向量满足正交性，用r1 表示第一列，用 r2 表示第二列，则有下式成立： （2.2.4） 22121210rrrr
26、 = = =将坐标变换从二维扩展到三维，情况将稍微复杂一些，但依然可以将坐标变换分解为旋转和平移两个部分，此时旋转角将是一个空间角而不是一个平面角，平移量是一个三维空间向量而不是一个平面二维向量。对于旋转的空间角，可以将其分解为三个平面旋转角，分别表示绕 x轴，y轴和z 轴旋转的角度。每一种旋转所对应的变换矩阵如下所示： ()()()10 0,0cossin0sin coscos 0 sin,010sin 0 coscos sin 0,sincos001Rot xRot yRot z 0 = = (2.2.5） = 图 2.2.2 三维坐标变换示意图 这里设新坐标系的原点O在旧坐标系中的坐标为
27、 (, ,)x yzOOO，则可以得出最终的、坐标变换的齐次坐标形式: 37 9 co co000(2.2.6) s cos s sin sin sin sin cos sin sin sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos cos 10 0 011x xxy yyzzz + = 类似地，旋转向量满足正交性，令 123Rrrr= 表示旋转矩阵，其中, , ,令 表示平移向量，O=(0,0,0)，则上述公式可以简化为： ()1112131,Trrrr= ()212232,Trrrr= ()313233,Trrrr= (123
28、,TTttt= )11x xy（2.2.7） 01 对于旋转向量，有下式成立： （2.2.8） RT yzz = =22212312 23 1310rrrrr rr rr2.3 摄像机成像公式 有了前述的相关知识，现在可以在忽略畸变影响的前提下推导摄像机成像公式。在摄像机成像过程中，通常涉及到多个坐标系。它们分别是世界坐标系、摄像机坐标系和图像坐标系，图像坐标系又分为图像物理坐标系和图像像素坐标系。 图 2.3.1 摄像机成像模型 世界坐标系是可由用户任意定义的三维空间坐标系，一般的三维场景都用这个坐标系来表示。在摄像机定标中，世界坐标系常设在定标物的表面或在与标定物有着确定的变换37 10
29、关系的位置，从而标定物上特征点的空间世界坐标仅需简单的推导即可得到。 摄像机坐标系是以摄像机光心为原点， 以垂直于成像平面的摄像机光轴为 Z轴建立的三维直角坐标系。其中该坐标系的 X 轴和 Y 轴一般与图像物理坐标系的相应 x 轴和 y轴平行，两轴所在平面平行于成像平面。 图像坐标系分为图像物理坐标系和图像像素坐标系两种。 图像物理坐标系的原点为透镜光轴与成像平面的交点，X与 Y轴分别平行于摄像机坐标系的 x与 y轴，是平面直角坐标系，长度单位为毫米。 图像像素坐标系为固定在图像上的以像素为单位的平面直角坐标系， 其原点位于图像左上角,坐标轴平行于图像物理坐标系的X和 Y 轴。对于数字图像，图
30、像像素坐标系为直角坐标系，长度单位为毫米。 图 2.3.2 成像平面的不垂直性示意图 摄像机成像可以分为三个阶段，第一个阶段是空间点坐标从世界坐标系变换为摄像机坐标系，第二个阶段为空间点坐标经过镜头的射影变换转化为像点坐标，在这个过程中由于光学系统的畸变误差，会使像点坐标产生一定的畸变，从而会对最终的图像造成一定的畸变。为了校正畸变，对应不同的校正方法，人们提出了许多不同的校正模型。第三个阶段为图像的形成，通过 CCD 完成。它使用一种高感光度的半导体材料制成，能把光线转变成电荷，通过模数转换器芯片转换成数字信号，数字信号经过压缩以后由相机内部的闪速存储器或内置硬盘卡保存，因而可以轻而易举地把
31、数据传输给计算机，并借助于计算机的处理手段，根据需要和想象来修改图像。CCD 由许多感光单位组成，通常以百万像素为单位。当 CCD 表面受到光线照射时，每个感光单位会将电荷反映在组件上，所有的感光单位所产生的信号加在一起，就构成了一幅完整的画面。CCD 每个像素在 x 和 y 方向上分别有着确定的物理尺寸xd 和yd ，表示一个像素为多少毫米，这两个参数近似相等，但由于制造精度的问题，将会有一定差异。同样地，CCD 的坐标轴的夹角接近 90 度，但不是完全垂直。 37 11 下面来推导理想情况下的摄像机成像公式，首先是第一个阶段： （2.2.9） 其中，(为空间点的世界坐标系齐次坐标。(空间点
32、的摄像机坐标系齐次坐标，R和 T分别为旋转矩阵和平移向量。 ) ),1Twwwxyz ,1Tcccxyz在第二个阶段，空间点变换为像点： （2.2.10） 其中 为像点图像物理坐标系齐次坐标。 (,1Txy在第三个阶段，像点坐标将转化为像素坐标： （2.2.11） 其中 为像点的图像像素坐标系齐次坐标。 ( )00,uv为摄像机光学中心在CCD成像平面上的投影位置。 这样就依靠摄像机各参数，建立了空间点与像素点之间的联系。因此我们可以根据检测到的点坐标，进而求得摄像机的焦距 f，物理尺寸xd 和yd ，主点位置 ( ，纵横坐标轴的夹角。 )00,uv总的来说，理想前提下，摄像机的参数可分为内外
33、两种，用于世界坐标系向摄像机坐标转换的三个旋转角和三个平移量参数为外参数，总共为六个未知量，摄像机的焦距f，物理尺寸xd 和yd ，主点位置 ，纵横坐标轴的夹角，和起来也是六个未知量。但是，将成像第二阶段和第三阶段的公式中的矩阵合并到一起，通过简单的变量替换，可以将六个内参数化为五个内参数。 (00,uv)0111cwcwx xyyRTzz = 000100010001ccccxxfyyfzzf = ()00cot110sin11001xxyudduxvvd = y (),1Tuv37 12 （2.2.12） ()00cot0sin11001xxyffudduxfvvdy = 令 ， ， ，则
34、最后的成像公式可变为： ( )sinyfd（2.2.13） 因此，理想情况下摄像机定标就是要求解这内外总共11个未知量。 3 传统摄像机标定方法 根据是否需要标定参照物来看，可分为传统的摄像机标定方法和摄像机自标定方法。还有一些方法难以归类到这两类中，如主动视觉摄像机标定方法。 传统的摄像机标定方法包括直接线性变换方法（DLT方法）20、R. Tsai 的 RAC方法、张正友的平面标定方法22、孟晓桥、胡占义的圆标定方法24、吴毅红等的平行圆标定方法等。这些方法的特点是利用已知的景物结构信息。常用到标定块。其优点是可以使用于任意的摄像机模型，标定精度高。但也存在不足之处，如标定过程复杂，需要高
35、精度的已知结构信息。在实际应用中很多情况下无法使用标定块。 3.1 直接线性变换（DLT 变换） 直接线性变换是将像点和物点的成像几何关系 在齐次坐标下写成透视投影矩阵的形式： （3.1.1） 其中 ( 为图像坐标系下的点的齐次坐标，),1uv ( ),ww wXYZ为世界坐标系下的空间点的欧00010001100011wwcwxuuyRTvvzz = ()34111wwwwX XuYYsv KR t PZ Z = =xf d = cotxf d =37 13 氏坐标，P 为 的透视投影矩阵，S 为未知尺度因子。 34( )34 ijPp= ，消去 S,可以得到方程组： 11 12 13 14
36、 31 32 33 3421 22 23 14 31 32 33 3400ww w w w www w w w wpX pY pZ p puX puY puZ pup X p Y p Z p p uX p uY p uZ p u+ =+ =（3.1.2） 当已知N个空间点和对应的图像上的点时，可以得到一个含有2* N个方程的方程组: AL=0 （3.1.3） 其中A为 ( )212N 的矩阵，L 为透视投影矩阵元素组成的向量 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34,Tpppppppppppp 。像机定标的任务就是寻找合适的L,使得AL 为最小，即 给出约束： (
37、3.1.4) L为L的前11个元素组成的向量，C为A前11列组成的矩阵，B为A第12列组成的向量. 约束 不具有旋转和平移的不变性，解将随着世界坐标系的选取不同而变化。证明如下： 341p =世界坐标系作刚性坐标变换 (3.1.5) 则 。显然在一般的情况下， 34 31 1 32 2 33 3 34pptptptp=+34 34pp另一个约束 具有旋转和平移的不变性 22231 32 331ppp+=()3411TTpLCCC=B01RtPP = minLAL37 14 1321R3P3R2R()312111, rrr( )332313, rrr( )322212, rrr),(333231
38、ppp图 3.1.1 向量位置关系 向量1R ，2R ，3R 是两两垂直的单位向量，有22 2123cos cos cos 1+ +=。 3.2 Tsai 的 RAC 的定标算法 80年代中期Tsai提出的基于RAC的定标方法是计算机视觉像机定标方面的一项重要工作，该方法的核心是利用径向一致约束来求解除（像机光轴方向的平移）外的其它像机外参数，然后再求解像机的其它参数。基于RAC方法的最大好处是它所使用的大部分方程是线性方程，从而降低了参数求解的复杂性，因此其定标过程快捷，准确。 RAC的定标算法主要内容有像机模型、径向一致约束、定标算法. cz像机模型如下页图3.2.1： OwYwZwXcx
39、cy图 3.2.1 像机模型 x y oco37 15 世界坐标系和摄像机坐标系的关系: X()(3.2.1) xYyKRtZ11在Tsai的方法中， K 取作： (3.2.2) 00,0,0, ,0, 0, 1f suKfv= 理想图像坐标到数字图像坐标的变换（只考虑径向偏差18,19），如下页图3.2: （ x, y） 图 3.2.2 径向偏差 (u,v) （ uc, vc） （3.2.3） 221221()(1( )()(1( )ccx ukuvuyv ku v vvu +=+=(u,v)为一个点的数字化坐标，（x,y）为理想的数字化坐标， ( ),ccuv为畸变中心。 （1）径向一致约
40、束 37 16 在图像平面上，点 (),ccx y ，（x,y）， （u,v)共线， 或者直线( ),ccx y (x,y)与直线( ),ccx y（u,v) 平行或斜率相等，则有： （3.2.4） ccccxu uu通常把图像中心取作畸变中心和主点的坐标，因此： （3.2.5） （2）定标算法 定标步骤一：求解像机外参数旋转矩阵R和向x,y方向上的平移 ， 1t2t根据： （3.2.6） 其中， ， 得到： （3.2.7） 再根据式（3.2.5）得到： （3.2.8） 由至少7组对应点，可以求得一组解： （3.2.9） 对0M 除以22256c mmm=+7，则得到一组解 ( )123145
41、62,sr sr sr st r r r t 。由 可求出S，从而 也可以被解出。 2221231rrr+=1t()( ) ( )789 123 456, , ,rrr rrr rrr= 或 ()( ) ( )789 456 123, , ,rrr rrr rrr= y vvv= 0000x uuuyv vv = 11XxYyKRtZ 00,0,0, ,0, 0, 1sf uKfv=123 1456 23789,rrr tR rrr t ttrrr=()()123107893456207893fs r X rY r Z tx urX rY rZ tfrX rY rZ tyvrX rY rZ t
42、+=+()1231 04562srX rY rZ tuu0rY rZ t v v+ rX=+ ()( )0 12345678 12314562, ,M m m m m m m m m sr sr sr st r r r t=37 17 根据 det(R)=1,来选择 ( )789,rrr。 定标步骤二：求解有效焦距f、z方向上的平移 和畸变参数k； 3t令k=0作为初始值，则式（3.2.7）为： 00 00x uuu yvvv= = （3.2.10）由式（3.2.7）中x,y的表达式，可以将第一步求出 R， ， 的值代入得： 1t2t（3.2.11） 由此可以解出f, .将求出的f, .以及k
43、=0作为初始值，对下式进行线性优化： 3t3t()( )()( )07 8 9 3 1 2 3 107 8 9 3 4 5 6 2()uu rXrYrZt fsrXrYrZtvv rXrYrZt frXrYrZt+=+=+()()（3.2.12） 估出估计 ，f和k的真实值。 3t3.3 张正友的平面标定方法 图 3.3.1 张正友标定成像模型 ()()2212310789322456207893()1()1fs rX rY rZ tku v u urX rY rZ tfrX rY rZ tku v v vrX rY rZ t+ +=+ +=+( )0,YXMcXcZcY( )vum ,wXw
44、ZwYwOO37 18 基本原理： （3.3.1） 123 12 0111XuXYsv Krrrt Krrt Y =在这里假定模板平面在世界坐标系 Z=0 的平面上,其中，K 摄像机的内参数矩阵, 为模板平面上点的齐次坐标， 为模板平面上的点投影到 图像平面上对应点的齐次坐标。 和t分别是摄像机坐标系相对于世界坐标系的旋转矩阵和平移向量。1r2r3r123 12H hhh Krrt= ，11112 2,hrKhrK =，根据旋转矩阵的性质，即 和120Trr=121rr=，每副 图像可以获得以下两个对内参数矩阵的基本约束： （3.3.2） 由于摄像机有5个未知内参数，所以当所摄取得的图像数目大
45、于等于3时，就可以线性唯一求解出。 张正友方法所用的平面模板如下： 图 3.3.2 张正友标定模板 算法描述为： 1. 打印一张模板并贴在一个平面上 2. 从不同角度拍摄若干张模板图像 TYXM 1= vm 1=Tu 1121111220TTTT TThK K hhK K h hK K h =37 19 3. 检测出图像中的特征点 4. 求出摄像机的内参数和外参数 5. 求出畸变系数 6. 优化求精 张正友的平面标定方法是介于传统标定方法和自标定方法之间的一种方法。它既避免了传统方法设备要求高，操作繁琐等缺点，比自标定方法精度高，符合办公、家庭使用的桌面视觉系统(DVS)的标定要求。该方法是需
46、要确定模板上点阵的物理坐标以及图像和模板之间的点的匹配，这给不熟悉计算机视觉的使用者带来了不便。同时张正友方法对摄像机的要求相对较高，不允许摄像机有较大的径向畸变，否则得到的参数存在很大的差异，不过这一缺陷可通过畸变校正解决。 3.4 孟晓桥、胡占义的圆标定方法 孟胡方法所用的模板如下： 图 3.4.1 圆标定模板 从至少三个不同方位拍摄模板图像，根据射影不变性计算出每幅图像上的圆环点像的坐标，得到关于内参数矩阵的至少六个方程，即可解出所有内参数。 计算圆环点像的原理： 37 20 )0,1( i1B模板平面 )0,1( i1AO1C2A2B2C无穷远直线 图 3.4.2 圆环点像的原理 圆环点为无穷远点，它是绝对二次曲线上的一对共轭点。(1,i,0,0
