1、一种基于反对称矩阵特性的摄像机自标定方法 陈白帆 蔡自兴中南大学智能系统与智能软件研究所 长沙 410083E-mail: 摘要: 本文介绍了一种摄像机自标定方法，应用于移动机器人的视觉系统。该方法利用反对称矩阵的对角线及矩阵的对称项之和为零的性质将标准矩阵表达式分解成 6 个约束方程，通过其约束关系便可得摄像机内、外参数。这种方法对摄像机的运动没有做严格地限制，实验表明该方法能在移动机器人漫游过程中实时获得摄像机内外参数。关键词：摄像机自标定 基本矩阵 反对称矩阵An Approach of Camera Self-Calibration Based on Skew-symmetric Ma
2、trixCHEN Baifan CAI ZixingCenter for Intelligent System and Software, Central South University, Changsha, 410083E-mail: Abstract: This paper describes a self-calibration method. We establish six constraints which relate the intrinsic parameters of the camera from the equation of the fundamental matr
3、ix by the character of the skew-symmetric matrix. The intrinsic and extrinsic parameters can be determined through the relation of the set of constraints. This method does not need special movement of the camera and complicated computation. In the end, we proved the method correct and feasible by ex
4、periment. Keywords: Camera self-calibration Fundamental matrix Skew-symmetric matrix1 引言机器视觉通过模拟人类视觉系统完成移动机器人与其所处环境之间的交互作用能力，包括对环境采集图象，以及对采集数据的分析和处理。它是移动机器人对环境感知的一个重要功能模块，辅助移动机器人完成漫游，避障，目标物识别或跟踪物体等特定任务。摄像机参数标定是机器视觉的一个重要研究问题。传统的方法是通过测定结构参数已知的参照物来计算出摄像机的参数，只适用于固定的摄像机标定，而对于移动机器人有很大的局限性。文献1, 2中提出不需要定标参照
5、物的摄像机自标定技术，仅仅利用摄像机自身运动通过周围环境的图象与图象之间的对应关系来对摄像机进行标定，即用射影几何的方法建立 Kruppa 方程来获得摄像机内外参数。现有的自标定技术一般是控制摄像机做特殊平移、旋转等运动，如做 3 次两两正交平移运动共两组 3或做四组运动每组包括两次相互正交的平移运动同时适当调整摄像机的姿态 4等，利用在不同位置上所拍摄的多幅图象便本研究得到国家自然科学基金（批准号：60234030） 、博士点基金和湖南省科研专项基金支持。可同时标定出摄像机的内参数及摄像机坐标系与平台坐标系之间的旋转矩阵和平移向量。上述方法对摄像机运动作了过多的约束。本文提出一种在摄像机旋转
6、角度已知，忽略畸变，同时假设摄像头光心与图象交点 、 不变，始终处于图象中心的情况下，实时地对0uv摄像机标定的方法。该方法对摄像机运动不作严格要求，主要是通过匹配的特征点建立标准矩阵后，利用反对称矩阵的对角线及矩阵的对称项之和为零的性质，将标准矩阵表达式分解成 6 个约束方程，通过其约束关系得到摄像机内外参数。2 摄像机模型及空间定义摄像机采用小孔模型，成像方式为透视投影，其空间定义如图 1。以光心 为原点， cO Ow Zw Xw Yw Oc Zc Yc Xc o0(u0,v0) Pw R,t p v o x y 图 1. 摄像机模型平行于图象行和列的方向分别为 轴和X轴，光轴方向为 轴，
7、建立摄像机坐标cYcZ系，单位为毫米。以摄像机初始位置的坐标系作为世界坐标系 。摄像),(wwY机坐标系与世界坐标系之间的关系可以用旋转矩阵 和平移向量 t 来描述，对于初始状R态 、t 都为 0。另外以摄像机光轴与图象平面的交点原点 ，图象行和列分别为o轴和 轴，建立图象坐标系，单位为毫米。xy由于计算机图象均以象素为单位，所以为处理方便还建立单位为象素的计算机图象坐标系，以图象左上角为原点 ， 轴和 轴分uv别平行于 轴和 轴。xy3 摄像机自标定方法首先确定三维空间中的点投影到二维图象上的点的变换与摄像机内外参数之间的关系。假定某一空间点 ，其在图象平面上投影为 ，则它们的关系如下：),
8、(wZYXP),(vupwTPtRKMp10（1）其中 为摄像机外参数矩阵，旋转矩阵 R 是 33 的正交单位矩阵，0TtR为三维平移向量； 为摄像机内参数Tzyxtt, 1010vuvuKdyfxfu矩阵，f 为摄像头焦距， 为每一个象素在 x 轴与 y 轴方向上的物理尺寸， 为yxd, ),(0vu摄像机光轴与图象平面的交点。通过极线约束的几何关系可知，两相邻图象的一对对应点 与 之间满足如下关系：m0FmT（2）其中 F 是一个 3 阶秩为 2 的矩阵，称为基本矩阵。基本矩阵可通过两相邻图象至少 7 对对应点求得。基本矩阵的通用表示形式为 5, 6：1RKtFT（3）其中 K 为摄像机内
9、参数矩阵， 为 的反对称矩阵 7，即tTzyxt, 032311xyxzyztttt（4）将（3）式变换为tFKRT（5）利用反对称矩阵 这个性质可把（5）式分0323121321 ttttt解成（6）（11）这 6 个约束方程：（6）)(00121 uvuu rfvfrfrfrf 023232312 vv（7）0)()( 3023130320210310210 rfvfufvffuffvfufrr1320 rv（9）0)()()()()( 1303203101220201 213 01231013121 rfvfufvufvfuf rr rffffff vuvu0)()()( ) 13032
10、03101220201 22313 13 rfvfufvufvfuf rrrfvu 其中 和 分别为 和 的第 i 行第 j 列的值。 可通过两幅图象的对应点求得， 则ijijFRFR可通过摄像头控制云台得知。在假定理想情况下， 、 不变，始终处于图象中心。由上0面这 6 个约束方程求解 、 二元未知数得到 。uvK一旦 已知，利用式（5）求出位移向量 ， 。在噪声存在的Kt ),(),(213ttzyx（11）（10）（8）情况下式（5）中的右式 并不是一个严格的反对称矩阵，所以一般采用下式来求得位移t向量：TTzyx tttt ),(21),( 1232123（12）4 实验结果实验在移动
11、机器人的主动视觉平台上进行。该平台采用的是单目，即一个 CCD 摄像头（分辨率 512512，标准焦距 16mm） ，安装高度为 13cm。摄像头通过底座的旋转台旋转对同一场景实现不同位置的观测。因此，不需考虑双目中两摄像头参数之间不同的问题，从而简化了标定过程。摄像头自带云台可进行扫视、俯仰，其旋转角度自设定。实验中利用 Harris 8提出的特征角点提取方法找到两幅图的特征点。图 2. 两幅图象的匹配特征点用最大相关性匹配出两幅图中的对应点，得到基本矩阵。最后采用式（6）（11）解出 、 ，同时通过式（12）得到向量 t。表 1 为连续 3 次摄像机标定结果，其中 、uv h分别为摄像机水
12、平、垂直方向的旋转角度，标号为 0 的列代表初始状态，设定 、v u的初始值为 600。表 1. 连续 3 次摄像机标定结果0 1 2 3（degree ）h0 0 30 60（degree）v 0 0 0 10（mm）xt0 8.021 0.127 0.034（mm）y 0 10.843 2.218 0.815（mm）zt0 0 0 0u600 613.012 625.015 623.923v600 610.744 630.202 623.025另外还采用了 Kruppa 方程的方法求解，其结果为 ，与本文中提164.23vu出的方法的结果基本吻合。5 结论摄像机自标定技术是机器视觉的一个重
13、要研究内容，本文介绍的是一种基于反对称矩阵特性的摄像机自标定方法，适用于移动机器人单目视觉系统。该方法计算简单，计算量小，不需摄像机做严格地特殊运动，能在移动机器人漫游过程中实时地对摄像机标定。对于精度要求较高的机器视觉系统，可在该方法的基础上改进，即将 6 个约束方程采用最小二乘法获得其参数，包括摄像机内参数 、 、 和 ，及摄像机位移向量 t。0uvuv这种方法在精度提高的同时也增大了计算量，因此使其能达到实时要求是今后研究的重点。参考文献1 S. J. Maybank, O. Faugeras. A Theory of Self-calibration of a Moving Camer
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