1、第 12 课时 圆锥曲线的共同性质教学过程一、 问题情境我们知道,平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离的比等于 1的动点 P 的轨迹是抛物线 .当这个比值是一个不等于 1 的常数时 ,动点 P 的轨迹又是什么曲线呢? 二、 数学建构问题 1 试探讨这个常数分别是 和 2 时,动点 P 的轨迹.方案 1 利用尺规作出几个特殊的点,从而猜想轨迹.方案 2 利用几何画板制作课件演示.可以得到:当常数是时,动点 P 的轨迹是椭圆;当常数是 2 时,动点 P 的轨迹是双曲线. 1问题 2 由上面问题的解决,同学可以猜想得出什么样的结论?解 平面内到一个定点 F 的距离
2、和到一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离的比等于 e 的动点P 的轨迹是圆锥曲线 .当 01 时,它表示双曲线;当 e=1 时,它表示抛物线.问题 3 以上的结论是否正确呢 ?如何证明?解 当 e=1 时,结论在抛物线标准方程的推导中已经得到证明,那么其他两种情况如何通过方程来证明呢?(思考片刻继续引导)关键在于如何建立坐标系才能使得轨迹的方程为标准方程. (思考片刻继续引导) 请同学们阅读教材第 55 页的思考后回答下面问题.问题 4 当 00,所以可令 b2=a2-c2,这样方程( *)可化为 + =1(ab0).这就证明了,当 0c 0)时,这个点的轨迹是椭圆,方程为 + =1(ab
3、0, b2=a2-c2),这个常数就是椭圆的离心率 .类似地,我们可以得到:当点 P 到定点 F(c,0)的距离和它到定直线 l:x= 的距离的比是常数(ca0)时,这个点的轨迹是双曲线,方程为 - =1(a0,b0,其中 b2=c2-a2),这个常数就是双曲线的离心率.这样,圆锥曲线可以统一定义为平面内到一个定点 F 和到一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹 .当 01 时,它表示双曲线;当 e=1 时,它表示抛物线.其中 e 是圆锥曲线的离心率,定点 F 是圆锥曲线的焦点, 定直线 l 是圆锥曲线的准线.由前面的研究可知:点 F(c,0),直线 l:x= 分
4、别为椭圆 + =1(ab0)的焦点、准线;点 F(c,0),直线 l:x= 分别为双曲线 - =1(a0,b0)的焦点、准线.根据图形的对称性可知,椭圆和双曲线都有两条准线 ,中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上的椭圆 + =1(ab0)或双曲线 - =1(a0,b0),与焦点 F1(-c,0),F2(c,0)对应的准线方程分别为x=- ,x= .三、 数学运用【例 1】 求下列曲线的焦点坐标、准线方程:(1)25x2+16y2=400; (2)x2-8y2=32;(3)y2=16x.2 (见学生用书 P37)处理建议 引导学生将曲线方程转化为标准形式,再让学生根据定义求解.规范板书 解 (1)
5、 由 25x2+16y2=400,得 + =1,因此此椭圆的焦点在 y 轴上,且a=5,b=4,所以 c= =3,故曲线 25x2+16y2=400 的焦点坐标为 (0,3),准线方程为 y= .(2)由 x2-8y2=32,得 - =1,因此此双曲线的焦点在 x 轴上, 且 a=4 ,b=2,所以 c= =6,故曲线 x2-8y2=32 的焦点坐标为( 6,0),准线方程为 x= .(3)由 y2=16x,得 p=8,故曲线 y2=16x 的焦点坐标为( 4,0),准线方程为 x=-4.题后反思 要求圆锥曲线的准线方程、焦点坐标,必须先将曲线方程化为标准形式.变式 已知椭圆 + =1 的一条
6、准线方程为 y= ,求实数 m 的值.规范板书 解 由题意可知,a 2=m(m9),b2=9,所以 c= .由一条准线方程为 y= 可知 = ,解得 m=25 或 m= .【例 2】 已知椭圆 + =1 上一点 P 到右准线的距离是 2 b,求点 P 到椭圆左焦点的距离. 3 (见学生用书 P38)处理建议 引导学生根据圆锥曲线的统一定义,将点到准线的距离转化为其到相应焦点的距离.规范板书 解法一 由题意知,该椭圆的左、右焦点分别是(- b,0),( b,0),离心率为.设该椭圆的左、右焦点分别为 F1,F2,则由圆锥曲线的统一定义可知, = ,所以 PF2=3b.由椭圆的定义可知,PF 1=
7、4b-3b=b,即该点到椭圆左焦点的距离为 b.解法二 由题意知,该椭圆的左、右焦点分别是 (- b,0),( b,0),离心率为 .设该椭圆的左、右焦点分别为 F1,F2.因为椭圆两准线间的距离为 b,所以 P 到左准线的距离为 b,则由圆锥曲线的统一定义可知, = ,所以 PF1=b,即该点到椭圆左焦点的距离为 b.题后反思 椭圆和双曲线分别有两个焦点和两条准线,在解题过程中要注意对应,即左焦点对应左准线,右焦点对应右准线(或上焦点对应上准线,下焦点对应下准线).*【例 3】 已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 k(k0)的直线与 C 相交于 A,B 两
8、点. 若 =3 ,求斜率 k 的值.规范板书 解 设直线 l 为椭圆的右准线, e 为离心率.如图,分别过 A,B 作 AA1,BB1 垂直于 l,A1,B1 为垂足,过 B 作 BEAA1 于 E.由圆锥曲线的共同性质得 AA1= ,BB1= ,由 =3 ,得 AA1= ,所以 cosBAE= = = ,所以 sinBAA1= ,所以 tanBAA1= ,即 k= .(例 3)*【 例 4】 若椭圆 + =1 内有一点 P(1,-1),F 为其右焦点,椭圆上有一点 M 使 MP+2MF最小,则点 M 的坐标为 .提示 因为椭圆的离心率为,则 2MF 就等于点 M 到右准线的距离 d,所以MP
9、+2MF=MP+d.由点到直线的最短距离是垂线段得 可以得到 M .题后反思 先用圆锥曲线的统一定义将 MP+2MF 的最小值转化为 MP+d(d 为点 M 到右准线的距离)的最小值,再根据“点到直线的距离中垂线段最短 ”将问题解决.这是处理圆锥曲线中与曲线上的动点到焦点(或准线)的距离有关的最值问题的常用方法.四、 课堂练习1. 若抛物线的顶点在原点,准线与椭圆 + =1 的准线重合 ,则此抛物线的方程为 y2=16x.提示 由题意知椭圆的准线方程为 x=4,所以=4 ,即 p=8.2. 已知椭圆 + =1 上一点 P 到左焦点的距离为 12,则点 P 到右准线的距离为 10 . 提示 由题
10、意知点 P 到左准线的距离为 =15,两准线间的距离为 2 =25,故点 P 到右准线的距离为 10.3.已知 F1,F2 分别为双曲线 C: - =1(a,b0)的左、右焦点,曲线 C 的两条准线分别与 x 轴交于点 A,B.若 A,B 为线段 F1F2 的三等分点,则此双曲线 C 的离心率为 . 提示 由题意得 =3,即 e2=3.4.已知 P 为椭圆 C: + =1 上一点,且 P 到曲线 C 的右焦点 F 的距离为 3,求点 P 的坐标.解法一 椭圆 C: + =1 的右焦点为 F(2,0),设 P(x,y),则由题意可知 解得即点 P 的坐标为( 2,3).解法二 椭圆 C: + =1 的右准线的方程为 x=8,离心率 e=.因为 P 到曲线 C 的右焦点 F 的距离为 3,所以 P 到右准线的距离为 6.设 P(x,y),则 8-x=6,解得 x=2,代入 + =1,得 y=3,所以点 P的坐标为(2,3) .五、 课堂小结1.圆锥曲线的统一定义.2.会根据圆锥曲线的标准方程求准线方程.3.掌握圆锥曲线上的点到焦点的距离及该点到对应准线的距离之间的相互转化.
