1、,D det(aij) , 1,a2 a,1 ap1 1 2 2 q pn n q,a,1 ap1 2 p 2apnn,上页,下页,结束,返回,首页,第 一 章行 列 式,一,n阶行列式的定义a11 a12 a1na21 a22 a2nan1 an2 annt p1p2pna1p1 2 p npnp1p2pntq apt1a,上页,下页,结束,返回,首页,二,行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等,即|D|=|DT|;性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号;推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,上页,下页,结束,返回,首页,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元
2、素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.,an2 ann,an1,kai1,a11 a12 a1n,an2 ann,an1,ai2 ain,a11 a12 a1n,kai2 kain k ai1,推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面, a21,a2n a21 ,上页,下页,结束,返回,首页,性质 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零,a12a22an2,a11a21an1, (a1i a1 i) a1n (a2i a 2i) a2n (ani ani ) ann,性质5D ,a11 an1, ,a1i a1n a11 a2i ani
3、ann an1 ,a1i a1n a2i a2n ani ann,上页,下页,结束,返回,首页,性质 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变行列式按行（列）展开已知矩阵 A (aij);则n0 , 当 i j;nA a A, ,上页,下页,结束,返回,首页,三,克拉默法则,如果线性方程组,(1),a11x1 a12x2 a1nxn b1a21x1 a22x2 a2nxn b2 an1x1 an2x2 annxn bn的系数行列式不等于零，即,a21 a22 a2nan2 ann an1,a12 a1n,a11,D , 0,上页,下页,结束,返回
4、,首页,其中Dj是把系数行列式 D中第 j列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n阶行列式，即,bn,b1,an,j1ann,an1an,j1,a1,j1a1n,a11a1,j1,Dj ,.,DnD,xn ,D2D, x3 ,D2D, x2 ,D1D,x1 ,那么线性方程组1有解，并且解是唯一的，解 可以表为,上页,下页,结束,返回,首页,定理4 如果线性方程组1 的系数行列式 D 0, 则 1一定有解,且解是唯一的 .定理4 如果线性方程组1无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.定理5 如果齐次线性方程组(3)的系数行列式 D 0,则齐次线性方程组(3)没有非零解.定理5
5、如果齐次线性方程组(2)有非零解,则它的系数行列式必为零.,上页,下页,结束,返回,首页,计算（证明）行列式 用定义计算（证明）2 用数学归纳法3 用行列式的性质4 利用范德蒙行列式,上页,下页,结束,返回,首页,21页例题,3,2,1,5,1 12,1 0 53 1 3 4 1 3, D的（i , j）元的余子式和代数余子式记为Mij与Aij，求:,设 D ,11 12,1 1 14 1 3,解：,(1) A11 A12 A13 A14,(1)A11 A12 A13 A14,(2)M11 M21 M31 M41,1 0 5 r4 r3 3 1 3 r3 r1,5,1 1,1 0,0 2, r
6、,上页,下页,结束,返回,首页,1 11 1 2 21 1,1 1 0 5 (1)13 2 2 2 4.1 0 0,(2) M11 M21 M31 M41 A11 A21 A31 A41,1 5 2 1,1 1 0 51 3 1 3 1 4 1 3,1,1 5 2,r4 3 1 1 0 51 3 1 30 1 0 0, 0,r4 r3r3 r1,说明：此例利用了余子式与aij的值无关，而只与下标有关。,上页,下页,结束,返回,首页,a3,a2,a1,x,a2a2,a1x,xa1,a4 x, ,a3 an.,a3 an a3 an, an,0,0,1,0,0,0,1,1,1,1,a3,a2,a1
7、,D 1,0 ，其中 a1a2an 0,爪型行列式,(1) Dn1 a1 a2,(2),上页,下页,结束,返回,首页,第二章 矩阵及其运算1 矩阵的概念几种特殊矩阵：零矩阵、方阵、对角阵、单位阵、对称阵、行（列）向量、正交矩阵、正定矩阵等。2 矩阵的运算矩阵的数乘运算矩阵的乘法运算第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数不满足交换律与消去律, A11,A , , An1 , ,上页,下页,结束,返回,首页, An2 Ann , A12 A1n,A21A22A2n,称为方阵A的伴随矩阵。, | A | A|n1,行列式 A 随矩阵,方阵的伴 的各个元素的代数余子式Aij 所构成的如下矩阵,上页,下页
8、,结束,返回,首页, 矩阵的逆运算矩阵可逆的几个充要条件n阶方阵 A 可逆 n阶方阵 B，使得AB BA En n阶方阵B，使得ABEn(或BAEn) | A| 0求逆矩阵的方法,1若A可逆,则A 亦可逆,且A,上页,下页,结束,返回,首页, A.,1 1,1,1 1 3若A,B为同阶方阵且均可逆 ,则AB亦可逆 ,且1 1 1,X A B,X BA,X A CB,上页,下页,结束,返回,首页,解,1,1,1,1,矩阵方程AX B,XA B,AXBC,矩阵乘法的逆运算,上页,下页,结束,返回,首页,3 矩阵分块法矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证分块原则，取决于进行的运算同时兼顾矩阵结
9、构特点.分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似,上页,下页,结束,返回,首页,第三章 矩阵的初等变换与线性方程组一、初等变换与初等矩阵二、矩阵的秩及其相关性质三、线性方程组的解的判定定理 n元非齐次线性方程组 Ax b(1)无解 RA R(A,b);,(2)有唯一解 RA R(A,b) n;(3)有无穷多解 RA R(A,b) n. n元齐次线性方程组 Ax 0RA n Ax 0只有零解;RA n Ax 0有非零解 .,上页,下页,结束,返回,首页,一、求矩阵的秩二、求解线性方程组(含参数)三、求逆矩阵的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法,典,型 例 题,上页,下页,结束,返回,首页,
10、第四章 向量组的线性相关性向量组线性相关的充要条件（判定定理）给定向量组 A:1,2,m,则1,2,m线性相关的充要条件为(一) 存在不全为零的数 k1,k2,km 使k1 1 k22 kmm o(二) 齐次线性方程组(1,2,m)x o 有非零解，即R (1,2,m) m(三) 向量组 1,2,m (m 2)中至少有一个向量可以 被其它m 1个向量线性表示,上页,下页,结束,返回,首页,(二)齐次线性方程组(1,2,m)x o 只有零解，即R (1,2,m) m (三)向量组 1,2,m (m 2)中任何一个向量都不可 以被其它向量线性表示。因而线性无关也称作线性独立,1,k11 k22 k
11、mm o k22 kmm o，则必有k1 k2 km 0,向量组线性无关的充要条件（判定定理）给定向量组 A:1,2,m,则1,2,m线性无关的充要条件为(一) 对于任意一组不全为零的数 k1,k2,km,都有 若 k1,上页,下页,结束,返回,首页,性质(1) 包含零向量的任何向量 组是线性相关的 .(2)若向量组 A：1,2,m 线性相关,则向量组B :1,m,m1 也线性相关.反言之,若向量组B 线性无关,则向量组A也线性无关 .（3 ）m个n维向量组成的向量组，当维数 n小于向量个数 m 时一定线性相关 。特别的 n1个 n 维向量必线性相关。(4)设向量组A:1,2,m线性无关,而B
12、 :1,m,b线性相关,则向量 b必能由向量组A线性表示,且表示式是唯一的.,上页,下页,结束,返回,首页,最大线性无关向量组设有向量组A，如果在A中能选出r 个向量1,2,r，满足(1)向量组 A0 :1,2,r 线性无关；(2)向量组 A中任意 r 1个向量（如果 A中有 r 1个向量的话）都线性相 关.那么称向量组 A0 是向量组 A的一个最大线性无关向量组 （简称最大无关组） ;最大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A的秩，记作RA。只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0。,上页,下页,结束,返回,首页,最大无关组的等价定义 设向量组 A0 :1,2,r 是向量组 A的一个
13、部分组， 且满足 (1)向量组 A0 :1,2,r 线性无关; (2)向量组 A的任一向量都能由向量组 A0 线性表示； 那么向量组 A0 是向量组 A的一个最大无关组。,上页,下页,结束,返回,首页,齐次线性方程组解的结构把齐次线性方程组 Ax o的全体解向量所组成的集合记作 S ，并设 S0 :1,2,t 为 S 的一个最大无关组，则易知S k11 k22 ktt | k1,kt R 定理 设 mn 矩阵A的秩 R(A) r ,则 n 元齐次线性 方程组 Ax o的解集 S 的秩 RS n r。,Ax b的通解为,上页,下页,结束,返回,首页,非齐次线性方程组解的结构已知矩阵 Amn 的秩
14、为r ,设 为非齐次线性方程组Ax b的一个解，其对应的齐次方程组为 Ax o,设 Ax o的基础解系为 S0 :1,nr,Ax=o 的通解x k11 knrnr ,Ax=b 的 一个特解,上页,下页,结束,返回,首页,一、正交矩阵AAT E A1 ATn,第五章,相似矩阵及二次型,上页,下页,结束,返回,首页,Ax x,使关系式,成立,那么,这样的数称为方阵A的特征值,非零向 量x称为A的对应于特征值的特征向量.AE 0称为方阵A的特征方程.f () AE 称为方阵A的特征多项式.,二、方阵的特征值与特征向量设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量x,1 是 的特征值; 1 A 是 的,上页,
15、下页,结束,返回,首页,1 A A,(3)当A可逆时,特征值.()是(A) a0E a1A a mAm.(A)的特征值.其中() a0 a1 a m m,特征值的一些结论(1) 1 2 n a11 a22 a nn;(2) 1 2 n A .设是A (a ij)nn的特征值,则T(2) k是Ak的特征值(k为任意自然数);,上页,下页,结束,返回,首页,设1,2,m是方阵A的m个特征值, p1, p2, pm依次是与之对应的特征向量 .如果1,2,m各不相等,则 p1, p2, pm 线性无关. 若 p1, p2 是矩阵A的两个属于特征值的特征向量，则 k1p1 k2p2 0仍是 A的属于的特
16、向量。若 p1, p2 是矩阵A的两个属于不同特征值 的特征向量，则 k1p1 k2p2 不是 A的特向量。,1,推论 若n 阶方阵A与对角阵, , ,上页,下页,结束,返回,首页,三 相似矩阵,设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使,定义,-1则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.对A进-1称为把A变成B的相似变换矩阵.定理1 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项,式相同,从而A与B的特征值亦相同.,n,2,相似,则1,2,n即是A的n个特征值.,上页,下页,结束,返回,首页,定理4 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.,四,矩阵的
17、对角化,推论,则 A与对角阵相似,如果 n阶矩阵 A的 n个特征值互不相等，,上页,下页,结束,返回,首页,(1)实对称矩阵的特征值为 实数.(2)实对称矩阵的属于不同 特征值的特征向量必正交.(3)若是实对称矩阵 A的r重特征值,则对应的必有r个线性无关的特征向量 .(4)实对称矩阵必可对角化 .即若A为n阶实对称阵,则必有正交阵 P,使得 P 1 AP ,其中是以A的n个特征值为对角元素的 对角阵.,五,实对称矩阵的对角化,上页,下页,结束,返回,首页,f,六 二次型 x1,x2,xn a11x1 2 a22x2 2 annxn 2, 2 na12x1x2 2a13x1x3 2an1,nx
18、n1xnij i ji, j1定义 只含有平方项的二次型2 2 2称为二次型的标准形（或法式）若标准形的系数只在 1，-1，0三个数中取值，即f y1 2 y2 p y2 p1 yr 2称为二次型的规范形, k1, ( y1, y2, yn), , ,y1, ,上页,下页,结束,返回,首页, ,k 2,k n, y2yn,也就是要使 C TAC 成为对角矩阵 .,f xT Ax CyT ACy yTCT ACy. k1y1 2 k2y2 2 knyn 2,上页,下页,结束,返回,首页,化二次型为标准形(1)任给可逆矩阵C,令B CT AC,如果A为对称阵,则B亦为对称阵,且R(B) R(A)ni, j1有正交变换 x Py,使f化为标准形2 2 2其中 1, 2, n是f的矩阵A (aij)的特征值.,上页,下页,结束,返回,首页,1.将二次型表成矩阵形式 f xT Ax,求出A;2.求出A的所有特征值1,2,n;3.求出对应于特征值的线 性无关的特征向量1 ,2 , ,n; 4. 将属于特征值i的特征向量正交化,单位化,得1,2,n,记C 1,2,n;5.作正交变换 x Cy,则得f的标准形f 1 y1 2 n yn 2.,用 正 交 变 换 化 二 次 型 为 标 准 形 的 具 体 步 骤,
