1、4.4 线性方程组的解的结构,n个未知数的齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)n n个未知数的非齐次线性方程组Axb有解的充分必要条件是R(A)R(A b) 且当R(A)R(A b)n时方程组有唯一解 当R(A)R(A b)n时方程组有无限多解,上页,下页,铃,结束,返回,补充例题,首页,齐次线性方程组解的性质,性质1 若x1 x2为方程Ax0的解 则x12也是Ax0的解,这是因为,000,A1A2,A(12),下页,齐次线性方程组解的性质,性质1 若x1 x2为方程Ax0的解 则x12也是Ax0的解,性质2 若x1为方程Ax0的解 k为实数 则xk1也是Ax0的解
2、,这是因为,A(k1),k00,k(A1),下页,齐次线性方程组解的性质,性质1 若x1 x2为方程Ax0的解 则x12也是Ax0的解,性质2 若x1为方程Ax0的解 k为实数 则xk1也是Ax0的解,设S是方程Ax0的解的集合 S0 1 2 t是S的一个最大无关组 那么一方面 方程Ax0的任一解都可由S0线性表示 另一方面 S0的任何线性组合 xk11k22 ktt 都是方程Ax0的解 因此上式便是方程Ax0的通解,说明,下页,说明,当R(A)rn时方程组Ax0的任何nr个线性无关的解都可构成它的基础解系,齐次线性方程组解的结构,齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系
3、,齐次线性方程组的基础解系,设1 2 t为方程Ax0的基础解系 则方程Ax0的通解为 xc11c22 ctt (c1 c2 ctR),定理 设mn矩阵A的秩R(A)r 则n元齐次线性方程组Ax0的解集S的秩RSnr,下页,用初等行变换把n元齐次线性方程组Ax0的系数矩阵A化为行最简形,则方程组Ax0的通解为,其中xr1 xn为自由未知数,求基础解系的方法,下页,求基础解系的方法,其中xr1 xn为自由未知数,方程组Ax0通解可以写成,令(xr1 xr2 xn)T(10 0)T (01 0)T (00 1)T 得到nr个解向量,这就是方程组的基础解系,1(b11 br1 1 0 0)T 2(b1
4、2 br2 0 1 0)T nr(b1 nr br nr 0 0 1)T,下页,对系数矩阵A作初等行变换变为行最简形,解,于是方程组的通解为,其中x3 x4为自由未知数,令(x3 x4)T(7 0)T 得 1(2 5 7 0)T令(x3 x4)T(0 7)T 得 2(3 4 0 7)T 故方程组的基础解系为1 2 方程组的通解又可表示为 xc11c22 (c1 c2R),下页,例2 设AmnBnl0 证明R(A)R(B)n 证 记B(b1 b2 bl) 则A(b1 b2 bl)( 0 0 0) 即 Abi0(i1 2 l) 表明矩阵B的l个列向量都是齐次方程Ax0的解 设方程Ax0的解集为S
5、由biS 知有R(b1 b2 bl)RS 即R(B)RS,所以 R(A)R(B)n,R(A)RSn,又因为,RSnR(A),下页,例3 证明矩阵Amn与Bln的行向量组等价的充分必要条件是齐次线性方程Ax0与Bx0同解 证 条件的必要性是显然的 下面证明条件的充分性 设方程Ax0与Bx0同解 从而也与方程,即 R(AT)R(BT)R(AT BT) 知AT与BT的列向量组等价 即A与B的行向量组等价,同解 设解集S的秩为t 则三个系数矩阵的秩都为nt 故,提示(推论) 向量组A a1 a2 am与向量组B b1 b2 bl等价的充分必要条件是R(A)R(B)R(A B),下页,例4 证明R(AT
6、A)R(A) 证 设A为mn矩阵 x为n维列向量 若x满足Ax0 则有ATAx0 即 (ATA)x0 反之 若x满足(ATA)x0 则xT(ATA)x0 即 (Ax)T(Ax)0 从而推知 Ax0,因此R(ATA)R(A),综上可知方程组Ax0与(ATA)x0同解,下页,非齐次线性方程组解的性质,性质3 设x1及x2都是方程组Axb的解 则x12为对应的齐次线性方程组Ax0的解,这是因为,bb0,A1A2,A(12),下页,非齐次线性方程组解的性质,性质3 设x1及x2都是方程组Axb的解 则x12为对应的齐次线性方程组Ax0的解,性质4 设x是方程组Axb的解 x是方程组Ax0的解 则x仍是
7、方程组Axb的解,0bb,AA,A(),这是因为,下页,非齐次线性方程组解的性质,性质3 设x1及x2都是方程组Axb的解 则x12为对应的齐次线性方程组Ax0的解,性质4 设x是方程组Axb的解 x是方程组Ax0的解 则x仍是方程组Axb的解,若*是方程组Axb的某个解 1 2 nr是方程组Ax0的基础解系 则方程组Axb的通解为 xk11k22 knr nr* (k1 knr R),非齐次线性方程组解的结构,下页,因为增广矩阵,解,可见R(A)R(B)2 所以方程组有无限多解 其通解为,令x2x40 得非齐次方程组的,令(x2 x4)T(1 0)T (0 1)T 得对应齐次方程组的基础解系,1(1 1 0 0)T 2(1 0 2 1)T,非齐次方程的通解又可写为,xc11c22* 其中c1 c2为任意实数,B,一个解(特解) *(1/2 0 1/2 0)T,对应齐次方程组的通解为,结束,
