1、6 行列式按行(列)展开,对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. 本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.,一、引言,结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示.,思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？,例如,把 称为元素 的代数余子式,在n 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划后，留下来的n1阶行列式叫做元素 的余子式，记作 .,结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.,引理 一个n 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,即有,又,从而,下面再
2、讨论一般情形.,分析,当 位于第1行第1列时,（根据P.14例10的结论）,我们以4阶行列式为例.,思考题：能否以 代替上述两次行变换？,思考题：能否以 代替上述两次行变换？,答：不能.,被调换到第1行，第1列,二、行列式按行（列）展开法则,定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,同理可得,例（P.12例7续）,证明 用数学归纳法,例 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,所以n=2时(1)式成立.,假设(1)对于n1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行 减去前行的 倍：,按照第1列展开，并提出每列的公因子 ，就有,n1阶范德蒙德行列式,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,分析 我们以3阶行列式为例.,把第1行的元素换成第2行的对应元素，则,定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,综上所述，有,同理可得,例 计算行列式,解,例 设 , 的 元的余子式和代数余子式依次记作 和 ，求,分析 利用,及,解,
