1、1. 说出基本初等函数、复合函数、初等函数的概念，能将初等函数分解成基本初等函数； 2. 掌握数列极限的概念，会计算数列极限； 3. 解释函数极限的概念，会计算函数极限；能熟练运用两个重要极限进行计算； 4. 说出无穷小量的概念，能运用无穷小量的性质计算极限； 5. 说出函数连续的概念，会判断函数在所给点是否连续，会求函数的间断点，会用初等函数的连续性求极限，了解闭区间上连续函数的性质；,第8章 极限与连续,第一节 数列的极限,一、数列极限的定义 定义1 给定一个数列a1 ，a2 ，a3 ，an ，如果当n无限地增大时，an无限地趋近于某一个确定的常数A，则称数列an 当n 时以A为极限，记为
2、 an = A或 an A(n ) ，如果数列有极限，则称数列是收敛的，如果数列没有极限，则称数列是发散的。,数列极限的 - N定义： 设an是一个数列，A是一个确定的常数，如果对于任意给定的正数，总存在正整数N，使得当n N时，总有|anA|，则称数列an当n 时以A为极限，记为an = A 或 an A (n )。,例 确定下列数列的极限（1） 1， ， ， ，（2） 2， ， ， ，（3） ， ， ， ， 解 （1）当n 时， 0， 所以 。 （2）当n 时， 0，所以 1， 所以 。 （3）当n 时， 0，所以 0，所以 1， 所以 。,二、数列极限的性质 定义2 （数列的有界性）设a
3、n是一个数列，如果存在一个常数M，使得对于数列an中的任何一项an 都有anM，则称数列an有上界，称M是数列an的一个上界。如果这样的M不存在，则称数列an无上界；如果存在一个常数m，使得对于数列an中的任何一项an 都有anm，则称数列an有下界，称m是数列an的一个下界。如果这样的m不存在，则称数列an无下界；如果存在一个正数K，使得对于数列an中的任何一项an都有 |an|K，则称数列an有界，如果这样的K不存在，则称数列an无界。,下面给出数列极限的性质： 性质1 （极限的惟一性）数列an不能收敛于两个不同的极限。 性质2 （收敛数列的有界性）如果数列an收敛，那么数列an一定有界。
4、 性质3 （收敛数列与其子数列间的关系）如果数列an收敛于A，那么它的任一子数列也收敛，并且极限也是A。,三、极限存在准则 准则 如果数列an，bn，cn满足： （1）anbncn，（n =1，2，3，）； （2）an，cn的极限都存在，且 an= cn=A； 则数列bn的极限也存在，且 bn=A 。 准则又称夹比定理、夹挤定理或两边夹法则。准则 单调有界数列必有极限。,四、数列极限的运算 定理1 如果数列an和bn的极限都存在，an=A， bn=B则数列anbn的极限也存在，且 (anbn)=AB （可推广到有限个数列的代数和）。,定理2 如果数列an和bn的极限都存在，an=A， bn=B
5、，则数列an bn的极限也存在，且 (anbn)=AB （可推广到有限个数列的乘积）。,定理3 如果C是一个确定的常数，则 C = C 定理4 如果数列an和bn的极限都存在， an=A ， bn=B (B 0) 则数列的极限也存在，且,第二节 函数的极限,一、初等函数 （一）基本初等函数 1、常函数y = C（C为任意常数）,O,x,y,y=2,2、幂函数 y = x （为实数且为常数）,x,y,x,y,O,O,O,x,y,y=x,y=x2,y=x-1,3、指数函数 y = a x（a0且a1，a是常数）,x,O,y,O,x,y,y=ax a1,y=ax 0a1,4、对数函数 y = log
6、 a x（a0且a1，a是常数）,x,x,O,O,y,y,y=logax a1,y=logax 0a1,5、三角函数 三角函数包括下列6个函数： 正弦函数 y = sin x； 余弦函数y = cos x； 正切函数 y = tan x； 余切函数y = cot x； 正割函数 y = sec x； 余割函数y = csc x；,正弦函数y = sin x的性质定义域是R，值域是-1, 1，是奇函数，是周期函数，最小正周期是2。 余弦函数y = cos x的性质：定义域是R，值域是-1, 1，是偶函数，是周期函数，最小正周期是2 正切函数y = tan x的性质： 定义域是 ，值域是R，是奇函
7、数，是周期函数，最小正周期是,余切函数y = cot x的性质：定义域是 ，值域是R，是奇函数，是周期函数，最小正周期是 正割函数y = sec x的性质：定义域是 ，值域是 1，是偶函数，是周期函数，最小正周期是2 余割函数y = csc x的性质：定义域是 ，值域是 1，是奇函数，是周期函数，最小正周期是2,6、反三角函数 反三角函数包括下列4个函数： 反正弦函数y = arcsin x；反余弦函数y = arccos x； 反正切函数y = arctan x；反余切函数y = arccot x,（二）复合函数 定义1 假设有两个函数y = f (u)，u = (x)，如果对于每一个函数值
8、u = (x)，f (u)都有意义，则称y是x复合函数，记作y = f (x)，其中u称为中间变量。 例 写出下列复合函数 （1），u = sin x； （2）y = e u，u = tan， 解 （1） ； （2）,（三）初等函数 定义2 基本初等函数经有限次四则运算以及复合运算而得到的函数，叫做初等函数。目前我们见到的大多数函数都是初等函数。,二、函数极限的定义 定义3 对于函数y = f (x)，如果当x无限地增大时，函数值f (x)无限趋近于一个确定的常数A，则称函数y = f (x)当x + 时以A为极限，记作f (x) = A或 f (x) A (x +)。 定义4 对于函数y =
9、 f (x)，如果当x无限地变小（x的绝对值无限地增大）时，函数值f (x)无限趋近于一个确定的常数A，则称函数y = f (x)当x 时以A为极限，记作 f (x) = A或f (x) A (x )。,定义6 对于函数y = f (x)在x0附近有定义（在x0可以没有定义），如果当x无限地趋近于x0（始终不等于x0）时，函数值f (x)无限趋近于一个确定的常数A，则称函数y = f (x)当 x x0时以A为极限，记作f (x) = A 或f (x) A (x x0)。,定义7 对于函数y = f (x)在x0附近有定义（在x0可以没有定义），如果当x从大于x0的方向无限地趋近于x0（始终不
10、等于x0）时，函数值f (x)无限趋近于一个确定的常数A，则称A是函数y = f (x)当x x0时的右极限，记作 f (x) = A 或f (x) A (x x0)。,定义8 对于函数y = f (x)在x0附近有定义（在x0可以没有定义），如果当x从小于x0的方向无限地趋近于x0（始终不等于x0）时，函数值f (x)无限趋近于一个确定的常数A，则称A是函数y = f (x)当x x0时的左极限，记为 f (x) = A或f (x) A (x x0)。,定理1 函数极限 f (x)存在的充分必要条件是函数y = f (x)在x0点的左右极限都存在且相等，即 f (x) = f (x)。,三、
11、无穷小量与无穷大量 （一）无穷小量的概念 定义9 在某一极限过程中，以零为极限的变量，称为无穷小量，简称无穷小。 定理2 在某一极限过程中，函数f (x)以常数A为极限的充分必要条件是f (x) = A，是同一极限过程中的无穷小量。 （二）无穷大量的概念 定义10 在某一变化过程中，绝对值无限增大的变量，称为无穷大量，简称无穷大，记作。,无穷小的阶 定义11 设在当x x0（或x ）时，和都是无穷小量，且 0，则有 (1) 如果 ，那么称当x x0（或x ）时，是比高阶的无穷小（也可以说是比低阶的无穷小）； (2) 如果 （C是不等于0的常数），那么称当x x0（或x ）时，与是同阶无穷小；（
12、3）如果 ，那么称当x x0（或x ）时，与是等价无穷小。,（四）无穷小量的运算 定理3 有限个无穷小量的代数和是无穷小量。 定理4 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。 定理5 有限个无穷小量的乘积是无穷小量。,四、函数极限的运算 定理6 设在当x x0（或x ）时，函数f (x)的极限为A，函数g (x)的极限为B， 那么 （1） f (x)g (x) = AB （2） f (x) g (x) = A B （3） （4） C f (x) = C A（C为常数） （5） （K为常数，且A K有意义）,五、两个重要极限及其应用 重要极限1 重要极限2,六、渐近线定义12 设y = f (x)是
13、一个函数，当x 时，f (x) C，则直线y = C就是函数y = f (x)的一条水平渐近线（平行于x轴）。当x C（或x C）时，f (x) ，则直线x = C就是函数y = f (x)的一条垂直渐近线（平行于y轴）。,第三节 函数的连续性,一、连续函数的概念 定义1 如果自变量x由初值x0变到终值x1，则x1x0称为自变量在点x0的增量，记为x = x1x0，当x0时，表示自变量x是增加的，当x0时，表示自变量x是减少的。自变量的终值x1也可表示为x0x，当自变量x由初值x0变到终值x0x时，对应的函数值也从f (x0) 变到f (x0x)，用y表示函数值的改变量，即y = f (x0x
14、)f (x0)，y也称之为函数值的增量。当y0时，表示函数值是增加的，当y0时，表示函数值是减少的。,定义2 设函数y = f (x)在点x0的某个邻域内有定义，如果当自变量的增量x趋向于零时，函数值的增量y = f (x0x)f (x0) 也趋向于零，即 y = f (x0x)f (x0) = 0，那么称函数y = f (x)在点x0处是连续的。,定义3 如果函数y = f (x)满足以下三个条件： （1）y = f (x)在点x0的某个邻域内有定义； （2） f (x)存在； （3） f (x) = f (x0)。 则称函数y = f (x)在点x0处是连续的。,定义4 如果函数y = f
15、 (x)在开区间(a, b)内每点处都连续，则称函数在开区间(a, b)内连续；如果函数y = f (x)在开区间(a, b)内连续，并且在区间的左端点a处右连续 （ f (x) = f (a)），在区间的右端点b处左连续 （ f (x) = f (b)），则称函数y = f (x)在闭区间a, b上连续。,二、函数的间断点 (一) 间断点的概念 根据定义，函数y = f (x)在x0处连续必须满足三个条件： （1）y = f (x)在x0处有定义； （2） f (x)存在； （3） f (x) = f (x0)。 如果这三个条件有一个不满足，则称x0为函数y = f (x)的间断点（或不连续
16、点）。,(二) 间断点的分类设函数y = f (x)在x0处不连续，如果函数y = f (x)在x0处的左右极限都存在，则称x0是函数y = f (x)的第一类间断点。否则，称x0是函数y = f (x)的第二类间断点；如果x0是函数y = f (x)的第一类间断点，并且函数y = f (x)在x0处的左右极限相等，则称x0是函数y = f (x)的可去间断点；可去间断点可以通过补充定义变成连续点。,三、初等函数的连续性 （一）连续函数的性质 连续函数的性质 （1）两个连续函数的代数和（和或差）仍是连续函数； （2）两个连续函数的乘积仍是连续函数； （3）两个连续函数的商（分母不为零）仍是连续
17、函数； （4）有反函数的连续函数的反函数仍是连续函数； （5）两个连续函数的复合函数仍是连续函数。,（二）初等函数的连续性 定理2 初等函数在其定义域内都是连续函数；,四、区间上连续函数的性质定理3 （最大值与最小值定理）如果函数y = f (x)在闭区间a, b上连续，则函数y = f (x)在闭区间a, b上必有最大值与最小值。推论1 （有界性定理）如果函数y = f (x)在闭区间a, b上连续，则函数y = f (x)在闭区间a, b上必有界。定理4 （介值定理）如果函数y = f (x)在闭区间a, b上连续，则对于f (a)与f (b)之间的任意一个数，在闭区间a, b上至少存在一点，使得f () = 。推论2 （根的存在定理）如果函数y = f (x)在闭区间a, b上连续，并且f (a)与f (b)异号，在闭区间a, b上至少存在一点，使得f () = 0。,
