1、高等数学院系_学号_班级_姓名_得分_题 号 选择题 填空题 计算题 证明题 其它题型总 分题 分 20 20 20 20 20 核分人得 分 复查人一、选择题（共 20 小题，20 分）1、 设 是由 z 及 x2+y2+z21 所确定的区域，用不等号表达 I1，I 2，I 3 三者大小关系是A. I1I2I3; B. I1I3I2; C. I2I1I3; D. I3I2I1.答 ( )2、 设 f(x,y)为连续函数，则积分可交换积分次序为答 ( )3、 设 是由曲面 z=x2+y2,y=x,y=0,z=1 所围第一卦限部分的有界闭区域，且 f(x,y,z)在 上连续，则 等于(A) (B
2、) (C) (D) 答 ( )4、 设 u=f(t)是(,+)上严格单调减少的奇函数， 是立方体：| x|1;|y|1;| z|1.I= a,b,c 为常数，则(A) I0 (B) I0 (B) Ib0)所确定的闭区域。试计算7、 计算二重积分其中 D：0ysinx, .8、 计算二重积分 其中 D 是由抛物线 y2=2px 和直线 x=p(p0)所围成的区域。9、 设 是由曲面 z=x2+y2,z=2(x2+y2),xy=1,xy=2,y=2x 及 x=2y 所围位于 x0 及 y0部分的闭区域。试计算 I=10、 计算三重积分 I= ，其中 是由所围位于 部分的立体11、 设 是由 a2x
3、 2+y22a 2 (a0)，y0，z0 以及 所确定的闭区域。试计算12、 计算二重积分 其中 D：x 2+y21.13、 由二重积分的几何意义，求14、 计算二重积分 其中积分区域 D 是 x2+y2a 2 (a0).15、 设 是由 以及 0zsin(x+y) 所确定的立体。试计算16、 计算二次积分 17、 计算二重积分其中18、 计算二重积分 其中 D：xy ,0x1.19、 设 是由 ,y=0,z=0 及 所围的有界闭区域。试计算.20、 计算二重积分 其中 D 是由直线 x=2,y=0,y=2 及左半圆x= 所围成的区域。四、证明题（共 20 小题，20 分）1、 试证：在平面薄
4、片关于所有平行于 oy 轴的轴的转动惯量中，对于穿过重心的轴所得的转动惯量最小。2、 设 f(t)是连续函数，证明 3、 锥面 x2+y2z 2=0 将闭区域 x2+y2+z22az (a0)分割成两部分，试证其两部分体积的大小之比为 3：1.4、 设函数 f(x,y)在有界闭域 D 上连续，且 D 可以分为两个闭域 D1 和 D2，证明5、 设 f(u)为可微函数，且 f(0)=0,证明 6、 设函数 f(x,y)在有界闭域 D 上连续，且 M，m 分别是 f(x,y)在 D 上的最大值与最小值，证明：其中 是 D 的面积。7、 设 为单位球体 x2+y2+z21,试证可选择适当的坐标变换，
5、使得(a2+b2+c2=1)8、 设 f(x,y)为区域 D： 上的连续函数，试证9、 设函数 f(x,y)和 g(x,y)在 D 上连续，且 f(x,y)g( x,y),(x,y)D，利用二重积分定义证明：10、 设 f(x)是a,b上的连续正值函数，试证不等式： 其中 D：axb,ayb.11、 设 f(u)为连续函数，试证 12、 设 是上半单位球体 x2+y2=z21,z0,f (x,y,z)在 上连续，试利用球面坐标积分方法证明 ( ， ， ) 使得fxyzvf,)d,()(.213、 设 p(x)是a,b上的非负连续函数， f(x),g(x)是a,b上的连续单增函数，证明14、 设
6、 f(x)是0,1 上的连续单增函数，求证：15、 设 为由 1 所确定的立体(0 abc)，其密度函数 = (z)为关于 z 的偶函数。试证：对任意的(x 0,y0,z0) ，关于( x0,y0,z0)的转动惯量满足 I(x0,y0,z0)=(xx 0)2+(yy 0)2+(zz 0)2 (z)dvI (0,0,c).16、 设 是由曲面(a 1x+b1y+c1z)2+(a2x+b2y+c2z)2+(a3x+b3y+c3z)2=1 所围的有界闭区域，,f(x,y,z)在 上连续，试证： ( ， ， ) 满足.17、 证明： 其中 n 为大于 1 的自然数。18、 设 f(x,y,z)在有界闭
7、区域 上连续，若 f(x,y,z)dv=f(x0,y0,z0)V,V 为 的体积，试证：当 f(x0,y0,z0)取到 f(x,y,z)的最大值或最小值时 f(x,y,z)在 必是一个常数。19、 设 为区域 x2+y2+z21,P 0(x0,y0,z0)为 外的一点，试证：。20、 设 f(x)是0,1 上的连续正值函数，且 f(x)单调减少，证明不等式：五、其它题型（共 20 小题，20 分）1、 设 f(x,y)为连续函数，交换二次积分 的积分次序。2、 按照三重积分的定义： .试问这里的 ,( i, i, i)分别代表什么 ?3、 设 f(x,y)是连续函数，交换积分的积分次序。4、
8、设 f(x,y)为连续函数，交换二次积分 的积分次序。5、 是由 x2+y2+z2 2Rz (R0)所确定的立体，试将 化成球面坐标fxyd()下的三次积分式。6、 在形状为 z=x2+y2 的容器内注入 k 立方单位的水，问此时水平面高度为多少，并求出高度对 k 的变化率。7、 设 f(x,y)为连续函数，交换二次积分的积分次序。8、 试求由封闭曲面(x 2+y2+z2)2=az(x2+y2), (a0)所围立体的体积。9、 设 是由 z=x2+y2,x2+y2=1 以及 z=0 所围的有界闭区域，试将 I=分别化成直角，柱面及球面坐标下的三次积分式。10、 将积分 化为在极坐标系中先对 r
9、 积分的累次积分。11、 是边长分别为 a,b,c 的长方体，若其内任一点处的体密度等于该点到一顶点距离的平方，试求 是质量。12、 F(t)= ,其中 f(u)为连续的偶函数，区域 t:由|x+y+z| t,|xy+z |t,|x+yz|t 来确定。求 。13、 设 f(x,y)是连续函数，交换积分的积分次序。14、 平面薄片由曲线 ,x=0 及 所围成，其面yexyxsin,sin2211密度函数为 (x,y)=x.试求薄片质量。15、 将积分 化为在极坐标系中的累次积分，其中 D 是由直线y=x,y= x及 y=1 所围成的区域。16、 设 是由 以及 1x 2+y2+z24 所确定的闭区域，试将化成球面坐标下的三次积分式。17、 空间立体 r2x 2+y2+z2R 2,z0 (01), z=0 所围空间立体的体积。19、 设 f(x,y)为连续函数，交换二次积分 的积分次序。20、 设扇形薄片由极坐标下| | 与 ra (a0)所确定，而薄片上各点的面密度等于该点到直角坐标下 y 轴的距离，试求其质心坐标。
