1、高等数学院系_学号_班级_姓名_得分_题 号 选择题 填空题 计算题 证明题 其它题型总 分题 分 20 20 20 20 20 核分人得 分 复查人一、选择题（共 20 小题，20 分）1、曲线积分 的值(A)与曲线 L 及起点、终点均有关 (B)仅与曲线 L 的起点、终点有关(C)与起点、终点无关 (D)等于零答( )2、设某个力场的力的方向指向 y 轴的负向，且大小等于作用点(x ,y)的横坐标的平方。若某质点，质量为 m，沿着抛物线 1x=4y 2 从点(1 ，0)移动到点(0， )，则场力所做的功为答( )3、设 ，则 U(x,y)=答( )4、用格林公式计算 ，其中 C 为圆周 x
2、2+y2=R2,其方向为逆时针方向。则得答( )5、设 dU=y+ln(x+1)dx+(x+1e y)dy, 则 U(x,y)=(A) yx00 d)1()1ln(B) yxxel(C) y0 d)1()ln(D) yyxx0ed1l(答 ( )6、7、设 C 为任一条光滑简单闭曲线，它不通过原点，也不围住原点，且指定一个方向为正方向。则(A)4 ； (B)0；(C)2 ； (D) 。答( )8、某物质沿曲线 C： ，0 1 分布，其线密度为 ，则它的质量32tzytxM=答( )9、设 L 是 xoy 平面上的一条光滑曲线弧，函数 f(x,y)在 L 上有界。用 L 上的点M1，M 2，M
3、n1 把 L 分成 n 个小段。设第 i 个小段的长度为 S i( i, i)为第 i 小段上的一点，i=1,2, ,n。则函数 f(x,y)在曲线 L 上的对弧长的曲线积分(A) niiSf1) ,(B) niif10) ,(lim(C) ,且极限值与 L 的分法无关，与( i, i)的取法无关。niiSf10) ,(li(D) ，其中 S i 必须有相等的长度。niif10) ,(lim其中入为 S i 的长度的最大值。答( )10、设 C 是从 A(1，1)到 B(2，3)的一个直线段，则答( )11、设 L 是 |y|=1x 2 表示的围线的正向，则 Lyx2d(A) 0. (B) 2
4、 .(C) . (D) . 2 ln4答 ( )12、单连通域 G 内函数 P(x,y),Q(x,y)具有一阶连续偏导数，则 在 G 内与路径无关的充要条件是在 G 内恒有答( )13、设 C 为从 A(0，0)到 B(4，3)的直线段，则答( )14、设曲线 C 是由极坐标方程 r=r( )( 1 2)给出，则答( )15、16、17、设 C 是抛物线 y2=x 上从(1 ，1)到(1，1) 的一段弧，则(A) (B) (C) (D)0答( )18、 设 F=3x2i+2y3j+4z4k,则 divF(1,1,0) 为(A). 6i+6j (B). 12 (C). 28 (D). 3i2j+
5、4k答 ( )19、设 C 为曲线 0t 则答( )20、设 是某二元函数的全微分，则 m=A.0; B.1;C.2; D.3.答( )二、填空题（共 20 小题，20 分）1、设 L 由 y=x2 及 y=1 所围成的区域 D 的正向边界，则2、 设函数 f(x,x+y,xz)对各变元具有一阶连续偏导数，则 gradf=_.3、设力 的模 , 的方向与 相同，则在力 的作用下，质点沿曲线 L： 正向绕行一周，力 所做的功可用曲线积分表示为_.4、设 f(x,y)在 具有连续的二阶偏导数，L 是椭圆周 的顺时针方向，则 的值等于 _.5、 设是柱面 x2+y2=4 介于 1z 3 之间部分曲面
6、，它的法向指向含 oz 轴的一侧，则 =_.6、 设向量场 A=(3xy2+z2)i+(y3x 2z2)j+xyzk,则 A 在点 M(1， 21)处的旋度rotA M=_.7、柱面 以 xoy 平面上的线段 L 为准线，母线平行于 oz 轴，则介于平面 z=0 及曲面 z=1+x2+y2 之间的部分的面积可用曲线积分表示为_.8、 设是柱面 x2+y2=9 的介于平面 z=0 及 z=2 间的部分曲面的外侧，则=_.9、 L 是 xoy 平面上具有质量的光滑曲线，其线密度为 (x,y)，则 L 关于 ox 轴的转动惯量用曲线积分表示为_. ( (x,y)为连续函数) 。10、 向量场 A=x
7、2yi+yz2jxyzk 在点(x,y,z)处的散度 divA(x,y,z)为_.11、 设函数 u(x,y,z)和 v(x,y,z)都具有一阶连续偏导数，则点(x ,y,z)处 u=u(x,y,z)在v=v(x,y,z)的梯度方向上的方向导数取最大值的条件是_.12、 函数 u=arctan 的等值面方程为_.13、设 L 为沿抛物线 y=x2 上从点(1，1) 到点(2，4) 的一段曲线弧，则对坐标的曲线积分 可化成对弧长的曲线积分 _，其中 P(x,y)和Q(x,y)是在 L 上的连续函数。14、 设 u=2x+3xy+4xyz,则函数 u 在点(1，1，2)处的梯度是_.15、若 是某
8、二元函数的全微分，则m=_.16、 设是 xoy 面上的闭区域 的上侧，则 (x+y+z)dydz=_.17、18、设 C 为正向圆周 x2+y2=a2,则 19、已知 L 是平面上从原点到点(2 ，1)的直线段，则 20、三、计算题（共 20 小题，20 分）1、计算曲线积分 ，式中 L 是 O(0，0) 沿曲线 到 B(2，2)，再沿直线 y=2 到 A(0，2) ，最后沿 y 轴回到 O(0，0) 。2、 设一刚体以常角速度 依逆时针方向绕 z 轴正向旋转，求刚体上任一点 P(x,y,z)处的速度 v 的散度。3、计算曲线积分 式中 L 是从 A(1，3)沿直线 x+y=4 到 B(3，
9、1)，再从 B 沿曲线 xy=3 回到 A 点的闭路径。4、计算 ，式中 L 为沿正向椭圆周：5、 计算 其中是锥面 在 xoy 面上方的部分曲面的上侧。6、计算曲线积分 ，式中 L 是从 O(0，0) 沿曲线 至点 B(2，0)的上半椭圆。7、 若 其中是八面体|x|+|y |+|z|a 的表面，则正数 a 应等于多少?8、计算曲线积分 ，式中 L 是正向圆周 9、计算 , 其中 L 是星形线 Lsyxd)(210、 计算 其中为锥面 及平面 z=2 所围成立体 的表面外侧。11、 计算 其中是由x=0,y=0,z=0 及 在第一卦限中所围成的立体 的表面的外侧。12、 计算 其中是曲线段(
10、1y3) 绕 Oy 轴旋转一周所成的曲面，其法线向量与 oy 轴正向的夹角恒大于 。13、 计算 其中为由曲面 y=z2+x2 与平面 y=1,y=2 所围成的立体 的表面的外侧。14、计算曲线积分 ，其中 L 是以 A(1， 0)，B(0， 1)及 E (1， 0)为顶点的三角形正向周界。15、设 L 是由 1y , 1x4 所确定的区域 D 的正向边界，计算 x16、计算曲线积分 ，其中 L 是边长为 2，原点为形心的正方形边界正向。17、 设 f(x,y,z)=xlnyylnx+xyz,又两点 A(1，1，3) ，B(3，2，1)，(1) 求 f(x,y,z)在点 A 沿 AB 方向的变
11、化率。(2) f(x,y,z)在点 A 沿什么方向的变化率最大?最大变化率是多少?18、 计算 其中是平面 x+y+z= 在第一卦限的部分曲面。19、 计算 其中是平面 在第一卦限部分的曲面块，r 为的法线向量 与 z 轴正向所夹的角。20、计算曲线积分 ，其中 L 是由 A(a,0)沿 到 B(0，a) 的弧段。 (a0)四、证明题（共 20 小题，20 分）1、 设向量场 A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,其中 P，Q，R 对 所含变量具有一阶连续偏导数，函数 u(x,y,z)对所含变量具有一阶连续偏导数，证明 rot(uA)=urotA+graduA.2、设
12、 ，其中 L 是椭圆 x2+4y2=8 的正向，试证明| I|e 2S, S 是此椭圆的周长。3、证明：对于 xoy 平面上的任意简单闭曲线 L 及一常向量 有式中 是曲线 L 的单位切线向量。4、设 f(u)在 1 u4 上有连续的一阶导数，域 D 由 y=x, y=4x,xy=1 与 xy=4 所围成，L是 D 的逆时针方向的边界，求证： 5、 证明光滑闭曲面 所围立体 的体积为其中 cos ,cos ,cos 是曲面的外法线方向的方向余弦。6、 验证向量场 A=ex+2y+3z(x+2y+3z+1)i+(2x+4y+6z+2)j+(3x+6y+9z+3)k是有势场，并验证函数 u=ex+
13、2y+3z(x+2y+3z)+c 为 A 的势函数，其中 c 为任意常数。7、 试证明 其中是八面体 |x|+|y|+|z|a 的表面，a 为正数。8、 试证对于空间任意一条简单闭曲线 C，恒有 c(2x+y)dx+(4y+x+2z)dy+(2y6z)dz=0.9、 设函数 , 及 在闭域 D 及其边界 C 上具有一阶连续偏导数，)(yxuv),(yx证明。 (式中 c+边界 cyxvyvx DcD ddd 的正方向)10、 设为空间任一有界闭的平面图形(不平行各坐标面 )试证明的形心在各坐标面上的投影是在相应坐标面上的投影域的形心。11、设 L 为对称于坐标轴的任意正向光滑闭曲线，试证明：1
14、2、 验证 2xyezdx+x2ezdy+x2yezdz=0,其中 为任一条有向的光滑封闭曲线。13、设 f(a)在 1u4 上有连续一阶导数，区域 D 由 y=x, y=4x, xy=1 与 xy=4 围成，C为 D 的逆时针方向的边界。求证：14、 设函数 u(x,y,z)在二维单连域 G 中具有连续的二阶偏导数，是 G 中的有界闭域 的光滑边界曲面，且在 内有 ，试证明：若函数 u 在022zuyxu上取零值，则在 内 u0.15、若 f(u)为连续函数， L 为单连通区域 G：xy0 内的任意简单曲线，则曲线积分的值与路径无关。16、 设函数 u(x,y,z),v(x,z)在二维单连域
15、 上具有二阶连续偏导数，是有界闭域 的光滑边界曲面，n 是的外法线向量。试求证：zyxvuSnvDd)(d 其中 2222, zyxzyux 17、 设函数 u(x,y,z)在二维单连通域 G 中具有连续的一阶偏导数，是 G 中的有界闭区域 的光滑边界曲面，在 内部 ux0,u y0,u z0,在上 u=0.试证明在 内 u0.18、 验证向量场 A=x+ycos(xy)i+y 2+xcos(xy)j+(2z+sinz)k 是有势场，并求其势函数。19、 设向量场 A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,其中 P，Q，R 对各变元具有一阶连续偏导数，函数 u(x,y,z
16、)对各变元具有一阶连续导数，证明 div(uA)=udivA+graduA20、 设向量场 A=(3x2+6xy22z)i+(4y 3+6x2yz) j+(5z4 y2x) k,证明存在可微函数 u(x,y,z),使得 du=A(idx+jdy+kdz),并求出 u(x,y,z).五、其它题型（共 20 小题，20 分）1、柱面的母线平行于 Z 轴，它与 xoy 平面的交线为 L：求 被曲面 所截下的部分的面积 A。2、设质线 L 的方程为 ，L 上的任意点(x,y)处的线密度为 求质线 L 的质心坐标( , ).3、设函数 Q(x,y)在 xoy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 与路径无
17、关，且对任意 t 恒有 ，求函数 Q(x,y).4、设力场 物体沿着摆线 从 t=0 运动到t=2 。求力所做的功。5、已知曲线 L 的极坐标方程为 r= (0 ),L 上任一点处的线密度为 ，试求该曲线段关于极轴的转动惯量。6、设力场 物体从点 A(0，0)运动到 B(2，1) ，问力做了多少功?7、计算心脏线 所围图形的面积。8、设曲线段 L 的极坐标方程为 r = (0 )其中任一点处线密度为21，求该曲线的质量。419、 求由柱面 x2 = ay , z2 = ay 和平面 y = 2a 所围成的立体 的表面积，其中 a 为正数。10、在变力 的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面ky
18、jiyF上第一卦限的点 M( ， ， )。试问，当 、 、 取何值时，力 所作的功 W 最大? 并求出 W 的最大值。11、求质点沿椭圆 4x2+y2=4 的逆时针方向绕行一周时，力 jxyixyF)2()3(所做的功。12、 设面密度为 1 的锥面为 ， 0zh,a 为正数。求对 ox 轴的转动惯量。13、求圆柱面 x2+y2=2ax 被球面 x2+y2+z2=4a2 所截取部分的面积 A(a0).14、 求分布在抛物面 2az=x2+y2 被圆柱面 x2+y2=a2 截得的局部曲面的电荷总量。已知在抛物面的每一点的电荷密度等于 kz,k 为正数。15、 设向量场 A=(exsin2ycos
19、3z+mxz)i+nexcos2ycos3zj+(3e xsin2ysin3z+4xp)k,试确定常数 m,n,p 之值，使得 A 为有势场，并求势函数。16、平面力场 沿曲线 L：y=x 2 从点 A(1，1)到 B(2，4) 所做的功。17、求摆线 x=a(tsint). y=a(1cost) (0t 2 )的一拱 (线密度为 1)，关于 ox 轴的转动惯量 Ix.18、 设是柱面 x2+y2=1 的处于 z=1 与 z=H 间的一段曲面，H 为正数。若，则 H 为何值?19、 设有曲面壳的质量面密度 (x,y,z)= ,所围的空间 是由曲面z=ln(x2+y2)与平面 z=0 及 z=ln16 所围成的区域。试求该曲面壳对 oz 轴的转动惯量。20、试用曲线积分求由曲线 y=sinx (0x )绕 ox 轴旋转所得旋转曲面的面积 A。
