1、高等数学下册公式总结1、N 维空间中两点之间的距离公式： 的距离1212,n,np(x.)Q(y.)1PQ(y).x2、多元函数 求偏导时，对谁求偏导，就意味着其它的变量都暂时zf(x,)看作常量。比如， 表示对 x 求偏导，计算时把 y 当作常量，只对 x 求导就可以了。3、二阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关，即 。22zxy4、多元函数 的全微分公式： 。zf(x,y)zddx5、复合函数 ，其导数公式：u,v(t),(t)。dzuzdvtt6、隐函数 F(x,y)=0 的求导公式： ，其中 分别表示对 x,yXyFxy,求偏导数。方程组的情形： ：0F(x,yuv)G的 各
2、 个 偏 导 数 是， ， ， 。vuxFxFuvFyvGuFyuGv7、曲线 的参数方程是： ，则该曲线过点x(t),y(t),z(t)的法平面方程是：0M(x,yz)000t(t)(tz)切线方程是： 。000xy(t)(t)(t)8、曲面方程 0 在点 处的(,)Fxyz0M(x,yz)法线方程是： ，xyz)F切平面方程是： 。000()()()9、求多元函数 z=f(x , y)极值步骤：第一步：求出函数对 x , y 的偏导数，并求出各个偏导数为零时的对应的 x,y 的值第二步：求出 000xyf()Af(,)B,f(x,)C第三步：判断 AC-B2 的符号，若 AC-B2 大于零
3、，则存在极值，且当 A 小于零是极大值，当A 大于零是极小值；若 AC-B2 小于零则无极值；若 AC-B2 等于零则无法判断10、二重积分的性质：（1） (,)(,)DDkfxydkfxyd（2） ,(,)Dgfgxyd(3) 12(,)()()DDDfxyfxy(4)若 ，则,fdxy（5） ，其中 s 为积分区域 D 的面积Dd（6） ，则(,)mfxyM(,)mfxyMs（7）积分中值定理： ，其中 是区域 D 中的点(,)Dfds(,)11、双重积分总可以化简为二次积分（先对 y，后对 x 的积分或先对 x，后对 y 的积分形式） ，有的积分可以随意选择积分2 21 1() ()()
4、 ()(,),PxPbdDacyfxydffd次序，但是做题的复杂性会出现不同，这时选择积分次序就比较重要，主要依据通过积分区域和被积函数来确定12、双重积分转化为二次积分进行运算时，对谁积分，就把另外的变量都看成常量，可以按照求一元函数定积分的方法进行求解，包括凑微分、换元、分步等方法13、曲线、曲面积分：（1）对弧长的曲线积分的计算方法：设函数 f（x,y）在曲线弧 L 上有定义且连续，L 的参数方程为 ， ，则x(t)yt) 22L(x,y)dsf(t),(t)dt（2）格林公式： DQP( QyA14、向量的加法与数乘运算： ，则有 ， 12(,)(,)axzbxyz1(,)kaxyk
5、z，若 ，则121212(,)abxyz abA1122xyz15、向量的模、数量积、向量积：若 ，则向量 的模长1(,(,)xyz a；数量积（向量之间可以交换顺序，其结果是一个数值） 2211axyz bA ，其中 表示向量 的夹角，且22bAcos,baabA,ab,若 ，则有 0；向量积（向量之间不可以交换顺序，其结果仍是一个向量）a，其中 是 x 轴、112121212122()()()ijkbxyzyzixzjxyk,ijky 轴、z 轴的方向向量16、常数项无穷级数 ，令 称为无123nnuu123.nnsuu穷级数的部分和，若 ，则称改级数收敛，否则称其为发散的。其中关于无穷级
6、limxs数的一个必要非充分地定理是：若 收敛，则必有1nlim0nx17、三种特殊的无穷级数：（1）调和级数 是发散的，无须证明就可以直接引用1n（2）几何级数 ，当 时收敛，当 时发散aq11q（3）p 级数 ，当 时收敛，当 时发散1pnp18、正项级数 的判敛方法：u（1）比较判敛法：若存在两个正项级数 ， ，且有 ，若 收敛，则 收1nuvnunnv敛；若 发散，则 发散nvn（2）比较判敛法的极限形式：若 ，则 和 具有相同的敛散性lim,(0)nxlvnuv（3）比值判敛法：对于 ， ，若 ，则原级数收敛，若 ，则原级1nu1linxl1l数发散19、交错级数 的判敛方法：同时满
7、足 及 ，则级数收敛，否1()n 1nulim0nxu则原级数发散20、绝对收敛和条件收敛：对于 ，若 收敛，则称其绝对收敛；若 发散，1nu1n 1nu但是 收敛，则称其条件收敛1nu21、函数项无穷级数形如： ，通常讨论的1231()().().n nxxux是幂级数形如： ，0230 .n naaa（1）收敛半径及收敛区间： 则收敛半径 ，收敛区间则为 ，但1lim,nx1R(,)R是要注意的是，收敛区间的端点是否收敛需要用常数项级数判敛方法验证（2）几种常见函数的幂级数展开式： ， ，0!nxesix(21)n-1!x（ ）， ，20cos(1)!nnxx01n01()n22、常微分方
8、程的类型及解题方法：（1）可分离变量的微分方程： ，总是可以分离变量化简为 的形(,)yfx ()dyxff式，然后等式两边同时积分，即可求出所需的解（2）齐次方程： ，不同的是，等式右端的式子总是可以化简为 的形式，(,)yfx ()fx令 ，则原方程化简为可分离变量方程形式 来求解yux ()uxf（3）一阶线性微分方程：形如 的方程，求解时首先求出该方程对应的()ypxf齐次方程 的解 ，然后使用常熟变易法，令 ，把原方程()0ypxcQ()cux的解 带入原方程，求出 ，再带入 中，即求出所需的解uQ()ux()yuxQ（4）全微分方程：形如 的方程，只要满足(,),0xyd，则称其为
9、全微分方程，其解为(,)(,)pxy 00(,)(,)xyupdxd（5）二阶微分方程的可降阶的三种微分方程：第一种： 的形式，只需对方程连续两次积分就可以求出方程的解()yfx第二种： 的形式，首先令 ，则原方程降阶为可分离变量的一阶微分方,yz程 的形式，继续求解即可(,)zfx第三种： 的形式，同样令 ，由于 ，所以,yfyzdzydzyx 原方程转化为一阶微分方程 的形式，继续求解即可(,)dzf（6）二阶常系数齐次微分方程： ，求解时首先求出该方程对应的特征方0ypq程 的解 ，若实根 ，则解为 ；若实根 ，则20rpq1,2r12r12rxrxyce12r解为 ；若为虚根 ，则解为12()xyceabi12(osin)ab（8）二阶常系数非齐次微分方程： ，求解时先按（7）的方法求)rxmypqPe其对应的齐次微分方程的通解 ，然后设出原方程的特解 ，其中1 yk()rxmQe是和 同次的多项式，含有相应的未知系数，而 k 根据特征方程的解 与 r()mQx()P 1,2的关系取值，若 r 与特征根不相等，则 k 取 0；若 r 和一个特征根相等，则 k 取 1；若 r 和特征根都相等，则 k 取 2，将特解代入原方程求出相应的未知系数，最终原方程的解即通解加上特解，即 1y
