1、2.7微分方程初步2.7.1 概说涉及到量的变化率满足的制约关系，通常是含有导数的方程微分方程。简单例子：（1）放射性物质，在每一时刻 ，衰变的速率 （由于是减少，因此 ，速率为tdmt0dmt标量，是正值）正比于该放射性物质尚存的质量，因此质量应满足一下微分方程。 kt（2）质量为 的物体自由落体，取坐标轴沿竖直方向指向地心，下落距离 应该m ()yt满足牛顿第二定律 ，即Fa2dymgt（3）质量为 的跳伞员下落，所受空气阻力正比下降的速度，取坐标轴沿竖直方向指向地心，则 时刻下降距离 满足t()yt2dymgktt（1）如下图所示，钢球在以水平光滑杆上，受到弹力而来回整栋，原点位置为 ，
2、钢球O在 时刻的坐标 满足微分方程t()xt2dxkmt如果钢球还受到一个与速度成正比，方向与速度相反的阻尼力的作用，那么它所满足的微分方程是 2dxkhtt总结：最简单的一阶微分方程是 ()ftd其中 是自变量，上述方程的一般解应该是t ()xftC最简单的 阶方程n()ndxftt它等价于说 是 的原函数，即1ndxt()ft1()ndxftdCt则再次积分，一直积分下去得到 11()()!nntxftdt t 2.7.2 一阶线性微分方程考察下面的方程 ()dxatbt方程中有未知函数的一阶导数，且其一阶导数的系数为常数，其余部分未知函数最高层次数为一次，称为线性，上述方程为一阶线性微分
3、方程。如果 ，则称为一阶线性常()0at微分方程。试着求解上述方程，方程两端都乘以 ，得到()atde()()()atdtatdxxbe 即为下面的形式 ()() ()atdatd atdexexe 即 ()()atdatdbe于是有 ()()atdatdxeC那么有 ()()atdatdbe这就是一阶线性微分方程的一般解。这个解法的关键部分是以 乘以方程两端。()atde简单的例子（1）质量为 的跳伞员下落，所受空气阻力正比下降的速度，取坐标轴沿竖直方向指向m地心，则 时刻下降距离 满足t()yt2dymgktt由于速度 ，因此方程化为dyvtdvkgt方程两边同时乘以 ，则有()ktatd
4、meekkktttmmdvege即有 ktmktdvegt得到 kkttmveC即 kkktt tmmggvee 跳伞的初始速度为 0，即 ，则,0t 0tgvCk所以 m则跳伞速度为 1ktmgve由于 ，因此有dyvt1kkt tmmggvdtedteC跳伞的初始位移为 0，即 ，则,0ty00tgk则 mC因此有 1ktmgytek自然界有一些量，它的减少正比于该量本身数值，这样的量 应该满足一下的微分方程xdxkt即 0t解这微分方程得到 ktxCe设 时 的值为 ，则有 ，量 的变化规律为0tx00ktxe2.7.3 变量分离型微分方程先看一个简单的例子，考察一阶线性方程 ()dxa
5、t我们把这个方程改写为 ()tx如果 是方程的解，那么它能使上式成为恒等式，两边求不定积分得()xt()datCx因此得到 ln|()t()atdCxe令 ，则得到Ce()atdxe因此我们可以得到结论，方程 ()t的一般解为 ()atdxCe（一般的变量分离型方程）对于一般的变量分离型方程 ()ftgxd事实上，如果 ，那么方程可以改写为()0gx()xftg再对两边求不定积分得到 ()(dxftC另外，如果有 能使得 ，那么常值函数 也是原方程的解。0x0()g0x（经过换元后得到变量分离型方程）（1）考察方程 dxft换元，引入新的未知数 ut我们得到 x()dtdtt代入原方程得到 (
6、)utfdtt这又是一个变量分离型方程，我们有 ()utf()dtCf则有 ln|()utf（2）考察方程 dxtft变换方程 dxxtfgtt换元，令 xut我们得到 dxt代入原方程，我们有dutf这是一个分离变量型的方程，得到 dtuf两边取积分得到 dtCuf则得到 ln|dtuf（3）考察方程 dxtft这个方程可以化成（2）中的形式，取 和 满足00xt作如下变换 0xt则有 0()dxtt00 0()()()0x xtxtff ftfff作换元，令u我们得到 du代入原方程，我们有 ufdudfduCfln|uf求解方程后只要将值还原为还原前的值。2.7.4 实变复值函数对于代数
7、方程式，我们已经有过这样的经验：即使是实系数的代数方程，为了弄清楚它的根的状况，最好到更广泛的复数范围内加以讨论。在处理微分方程的某些问题时，例如求解高阶常系数线性微分方程的时候也会遇到类似的问题：虽然是“实”的微分方程，所求的也是实解（实值函数解） ，但中间过程却需要在更广泛的复值函数范围内进行讨论。本节为这一讨论做准备。（1）复数与平面向量，复数序列的极限我们把形状如 wuiv的数称为复数，这里 是虚单位，而 都是实数，分别称为实部和虚部，记为1i,ReIm复数的加法和乘法定义如下： 121212()()()()uiviuiv121212121212()() ()()uiviivvviuv
8、1 1222222()()uuiuiiii 作除法时要求 ，即 。0v20v复数 可以解释为平面直角坐标系中坐标为 的点，这点的极坐标为 ，wui(,)uv(,)rx()yiOr(,)uv其中， ，2ruvcosurinvr我们把(cosin)wr称为复数的极坐标表示， 和 分别称为复数的模和幅角，分别用符号 和 表示。r|wArg采用这种表示来计算复数的乘方特别方便： (cosin)nr证明：当 时明显成立，假设当 时成立，有1nk(csi)wrk则当 时，有k 11(oin)(osin)(csi)csicicos)(1kkkwrr kkik所以对 也成立，故而有n(cosin)nwr复数
9、还可以解释为长为 方位角为 的一个平面向量，多个复数之和wuiv|Argw就可以理解为多个平面向量之和。复数的模正好是向量的长度，它满足一下不等式： 1212|意味着三角形的两边之和大于第三边。也可以用代数方式证明这个不等式。化为代数表达，也就是证明： 2222111()()uvuvv这个采用逆向证明法很容易证明，不等式还可以推广到 个复数的情形，则m1212| |mww 定理 1：复数序列 收敛于 的充分必要条件是序列 和序列 分别nnuivCAiBnunv收敛于 和 。AB（实变复值函数）设 ， ，我们把从 到 的映射DRECDE()wft称为实变复值函数，设 ， ， 、函数 相当于一对实
10、函uivfti()wft数，()ut()vt引入实变复值函数作为工具，是为了更方便地研究实函数。定理 1：设实变复值函数 在 有定义，而 ，则()()ftit0,)UtCAiB的充分必要条件是0lim()tfC，0lim()tu0li()tv定理 2：设实变复值函数 在 有定义，则 在 点连续的充()()ftit0,)Ut()ft0分必要条件是： 和 在 点连续。t0定理 3：设实变复值函数 在 有定义，则 在 点可导的充()()ftit0,)t()ft0分必要条件是： 和 在 点可导。且t000()()fttit实函数的复合函数求导法则同样适用于实变复值函数的复合函数求导。定理 4：为使实变
11、复值函数 是实变复值函数 的原函()()Ftit()()ftit数，必须而且只许 和 分别是 和 的原函数。记为t()()ftdFtC() ()ftdiit其中 可以是复数。C（欧拉 Euler 公式）在推导过程中，会用到下面几个常见的极限， ，10lime0ln(1)i0arctnlim1当 时， ；0ali1liannae当 时， ；0limli1nn因此有 lim1,naeR定义：对于 ，我们规定caibClince下面来求解 。ce将复数 写成极坐标的形式1n 11cosincaibabwirnn其中，21abrnarct1n那么有 1cosin ncwr由前面的知识可得 cosins
12、in nrr因此有 1cosinrlim1liilimcosincossnlinc nne rr 下面分别求出各部分的极限： 2 22 211n nnababr2ll2nrn因此有（可用其同阶的无穷小替代） 2 2limnlin1lim2abnabr an则有 lnlinliinrraree而 limliarctnlim11bbnna因此得到 li1licoslisinlcosinnc n aer eb 即，其中sicaebci或者 osinaibeb（1）如果 ，那么有0acsiibe（2）令 分别为 和 ，我们得到bos,sin22ibiibiee（3）推广到复数的指数运算 1212cce
13、证： 1212212121212 2112122()()(cosin)(cosin)i(scosin)aibiaaaibceebbee（4）令 ， ，则得到02cosin2iei令 ， ，则得到0abcosin1ie令 ， ，则得到2k2i2ikk特别的 ，有121ie它将数学中最重要的五个数字 联系在一起。1,利用欧拉公式，我们将复数的极坐标形式 写成(cosin)wrie这里 为复数的模， 为幅角，rcosini是一个模为 1 的复数，它表示与极轴夹角为 的一个单位向量。|1ie再看复数 2(cosin)sicossin2iie e 因为 22iiiiee所以 是与 垂直的一个单位向量。如
14、下图所示。iei Oiei（应用欧拉公式讨论实变复值函数）考察实变复值函数，()()titfe这里 ， ，根据欧拉公式有tRiC,R()() (cosin)tittitfeet那么求导数得到 2()cosin)(cosin)i cossi2ttt ttittitti ifeete tee()titite因此得到，对于 ，下面的求导公式也成立。iCtte因此得到关于原函数不定积分的相应公式。 1ttdC（1）例如，已知 ，试求下面的不定积分。,abR，cosatebtsinatebdt令 ，则所求的不定积分恰好为下式的实部和虚部i()2222(cosn)1cosin)()csi)(sicos)onat ttaibttattat aetdCeABtiiebtbttAiBteAieb 2int bt由于对于实变复值函数 ()()ftit()ddtitC因此有 2cosincos()at atbttebteAiint tdB其中 ， 为任意实数。AB
