1、1第一章实数集与函数1实数授课章节：第一章实数集与函数1 实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质教学重点：(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式 （它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用教学方法：讲授 （部分内容自学）教学程序：引 言上节课中，我们与大家共同探讨了数学分析这门课程的研究对象、主要内容等话题从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题为什么从“实数”开始答：数学分析研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继
2、课复变函数研究的是定义在复数集上的函数） 为此，我们要先了解一下实数的有关性质一、实数及其性质1、实数 (,qp 有 理 数 :任 何 有 理 数 都 可 以 用 分 数 形 式 为 整 数 且 0)表 示 ，也 可 以 用 有 限 十 进 小 数 或 无 限 十 进 小 数 来 表 示 .无 理 数 :用 无 限 十 进 不 循 环 小 数 表 示 . |Rx一-一问题有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的为以下讨论的需要，我们把“有限小数” （包括整数）也表示为“无限小数”为此作如下规定：对于正有限小数 其中012.,nxa，记 ；009,i na 为 非 负 整 数 01.
3、()9nxa 对于正整数 则记 ；对于负有限小数（包括负整数）0,x().9x，则先将 表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号0 表示为yy0 .例： ；202利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示在此规定下，如何比较实数的大小？2、两实数大小的比较1）定义 1给定两个非负实数 ， . 其中01.nxa 01.nyb 为非负整数， 为整数， 若有0,ab,kab(,2) 9,kk，则称 与 相等，记为 ；若 或存在非负整数 ，,2k xyxy0al使得 ，而 ，则称 大于 或 小于 ，分别记为,01,kl 1llbx或 对于负实数 、 ，若按上述规定分别有 或 ，xyx y则分
4、别称为 与 （或 ） yyx规定：任何非负实数大于任何负实数2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较） 定义 2（不足近似与过剩近似）： 为非负实数，称有理数01.na 为实数 的 位不足近似； 称为实数 的 位过剩近01.nnxa xnnxxn似， .,对于负实数 ，其 位不足近似 ； 位01.nxa 01.nnxa过剩近似 .n注：实数 的不足近似 当 增大时不减，即有 ； 过剩近xnx012x似 当 n增大时不增，即有 x012命题：记 ， 为两个实数，则 的等价条01.nxa .nyb xy件是：存在非负整数 n，使 （其中 为 的 位不足近似， 为 的nxxn位过剩近似） n命
5、题应用例 1设 为实数， ，证明存在有理数 ，满足 ,xyyrxry证明：由 ，知：存在非负整数 n，使得 令 ，则nxy12nr为有理数，且32.901.9 ； ；3即 nnxryxry3、实数常用性质（详见附录 ） 28930P1）封闭性（实数集 对 ）四则运算是封闭的即任意两个实数的R,和、差、积、商（除数不为 0）仍是实数2）有序性： ，关系 ，三者必居其一，也只居其一.,ab,ab3）传递性： ， c， ， ca若 ， 则4）阿基米德性： 使得 ,0RnNb5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数6）一一对应关系：实数集 与数轴上的点有着一一对应关系例 2设 ，证明：若对任何正数
6、 ，有 ，则 ,abaa（提示：反证法利用“有序性” ，取 ）b二、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数 的绝对值的定义为 a,0|a2、几何意义从数轴看，数 的绝对值 就是点 到原点的距离 表示就是数轴|a|xa上点 与 之间的距离xa3、性质1） （非负性） ； |0;|02） ；|a3） ， ；|hh| .(0)aha4）对任何 有 （三角不等式） ；,bR|bb5） ； |a6） （ ） |b0三、几个重要不等式1、 ,22a.1sinx. sinx42、均值不等式:对 记,21Rna(算术平均值),1 )( nii aaM(几何平均值),)(121ninniaG(调和平均值).1121
7、 ninii aaaH有平均值不等式: 即：),( )(iiiMG121212 nnnaa等号当且仅当 时成立.n3、Bernoulli 不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)有不等式,1x(1, .nxN当 且 , 且 时,有严格不等式0N2.1)(nx证：由 且x 1)( nnx.1)(nn.x4、利用二项展开式得到的不等式:对 由二项展开式,0h,!3)2(1!2)()1( 3nn hnh有 上式右端任何一项.h 练习P45课堂小结：实数： .一 实 数 及 其 性 质二 绝 对 值 与 不 等 式作业P41(1)，2(2)、(3)，32数集和确界原理授课章节：第一章实数集与函数2 数集
8、和确界原理5教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.教学要求：(1)掌握邻域的概念；(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.引 言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章1 实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！1、证明：对任何 有：(1) ；(2) xR|1|2|x.|2|3|x（ ）1(),1xx（ ）（ ）,2123.x（ ）
9、 三 式 相 加 化 简 即 可2、证明： .|yx3、设 ，证明：若对任何正数 有 ，则 .,abRabab4、设 ，证明：存在有理数 满足 .xyryrx引申：由题 1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.本节主要内容：1、先定义实数集 R中的两类主要的数集区间与邻域；2、讨论有界集与无界集；3、
10、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一 、区间与邻域1、区间（用来表示变量的变化范围）设 且 . ，其中,abR有 限 区 间区 间 无 限 区 间6|(,)|,|,)(xRabxabR 开 区 间 : 闭 区 间 : 有 限 区 间 闭 开 区 间 :半 开 半 闭 区 间 开 闭 区 间|,).(|,.)| .xRaxxR无 限 区 间2、邻域联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.与 邻近的“区域”很多，a到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于 的对称区间” ；如何用数学语言来表达呢？（1） 的 邻域：设 ，满足不等式 的全体实数 的集a,0aR|xx合称为点
11、 的 邻域，记作 ，或简记为 ，即(;)U()Ua.(;)|,Ux其中 a称 为 该 邻 域 的 中 心 ， 称 为 该 邻 域 的 半 径 .（2）点 的空心 邻域.(;)0|(,)(,)(o oxaaUa（3） 的 右邻域和点 的空心 右邻域a00(;),)(;.UUxaaa （4）点 的 左邻域和点 的空心 左邻域00(;),();) .x（5） 邻域， 邻域， 邻域（其中 M为充分大的正数） ；()|,Ux()Ux二 、有界集与无界集71、 定义 1（上、下界）：设 为 中的一个数集.若存在数 ，使得一切SR()ML都有 ，则称 S为有上（下）界的数集.数 称为 S的xS()MxL上界
12、（下界） ；若数集 S既有上界，又有下界，则称 S为有界集.闭区间 、开区间 为有限数） 、邻域等都是有界数集， ,abba,( )集合 也是有界数集.),sin xyE若数集 S不是有界集，则称 S为无界集.等都是无界数集, ) 0(,) (,) (集合 也是无界数集. 1, , xyE注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与 S的关系如何？看下例：例 1 讨论数集 的有界性.|Nn为 正 整 数解：任取 ，显然有 ，所以 有下界 1；0n01N但 无上界.因为假设 有上界 M,则 M0，按定义，对任意 ，都 0nN有 ，这是不可能的，如取0M则 ，且 .1nM（ 符 号 表 示
13、不 超 过 的 最 大 整 数 ） ， 0n0M综上所述知： 是有下界无上界的数集，因而是无界集.N例 2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.问题：若数集 S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个).三 、确界与确界原理1、定义定义 2（上确界） 设 S是 R中的一个数集，若数 满足：(1) 对一切有 （即 是 S的上界）; (2) 对任何 ，存在 ，使得,xS 0xS（即 是 S的上界中最小的一个） ，则称数 为数集 S的上确界，记作0sup.8从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.命题 1 充要条件s
14、upME1） ；,x2） .00,oSxM使 得证明：必要性，用反证法.设 2）不成立，则， 与 是上界中最小的一个矛盾.0,o使 得 均 有充分性（用反证法） ，设 不是 E的上确界，即 是上界，但 .0M0令 ，由 2） ， ，使得 ，与 是 E的上界矛0M0x0x0盾.定义 3（下确界）设 S是 R中的一个数集，若数 满足：（1）对一切有 （即 是 S的下界） ；（2）对任何 ，存在 ，使得,xS0xS（即 是 S的下界中最大的一个） ，则称数 为数集 S的下确界，记作0.inf从定义中可以得出：下确界就是下界中的最大者.命题 2 的充要条件：ifS1） ；,xE2） 0， 00,x有
15、.上确界与下确界统称为确界.例 3（1） 则 1 ； 0 .,) 1(nSsupSinfS（2） 则 1 ； 0 .),0( ,i xyEsupinfS注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.命题 3：设数集 有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.A证明：设 ， 且 ，则不妨设supsAx有 对 ， 使 ，矛盾.sup0x0x9例： ， ，sup0Rsup1nZ1inf2Z则有 .5,39Eif5E开区间 与闭区间 有相同的上确界 与下确界,ab,abba例 4设 和 是非空数集，且有 则有 .SA.ASinfi ,supASS例 5设 和 是非空数集.若对 和 都有 则有Bx,Byy
16、xinfsup证明： 是 的上界, 是 的下界,yA.sup yAsup .ifs BA例 6 和 为非空数集, 试证明:.BS. inf, miinfBAS证明： 有 或 由 和 分别是 和 的下界,有xA,xAif或inf . if, .if B即 是数集 的下界, ,mBS又 的下界就是 的下界,. inf,iif ASSA ,A是 的下界, 是 的下界, 同理有n ;infi.ifiB于是有 . inf, miBS综上,有 .nfA1. 数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例 3为例做解释.2. 确界与最值的关系:设 为数集.E（1） 的最值必属于 ,但确界未必,确界是一种临界点
17、.E（2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.（3）若 存在,必有 对下确界有类似的结论.maxsupax4. 确界原理:Th1.1(确界原理).设 非空的数集 .若 有上界，则 必有上确界；若 有SSSS下界，则 必有下确界.S10这里我们给一个可以接受的说明 非空， Ex，我们可以找到一,ER个整数 ，使得 p不是 上界，而 是 的上界.然后我们遍查1p9.,2.,1p和 1，我们可以找到一个 0q， 90，使得 0.qp不是E上界， )(0q是 E上界，如果再找第二位小数 1， , 如此下去，最后得到 210.，它是一个实数，即为 E的上确界.证明：（书上对上确界的情
18、况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设S中的元素都为非负数，则存在非负整数 n，使得1） Sx，有 n；2）存在 1，有 1x；把区间 ,(n10等分，分点为 n.1， .2， , .9, 存在 1n，使得1） ，有； 1.；2）存在 Sx2，使得 102.n再对开区间 10等分，同理存在 2，使得1(.,0n1）对任何 ，有 21.x；2）存在 2x，使 02n继续重复此步骤，知对任何 ,k，存在 kn使得1）对任何 S， k1021. ；2）存在 xk， k 因此得到 n21.以下证明 Sif（）对任意 ， x；（）对任何 ，存在 使 x作业：P9 1（1） ， （2） ； 2； 4（2
19、） 、 （4） ；3函数概念授课章节：第一章实数集与函数3 函数概念教学目的：使学生深刻理解函数概念.教学要求：（）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示法；（）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.教学重点：函数的概念.教学难点：初等函数复合关系的分析.教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学.教学程序：引 言11关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨论.一、函数的定义定义 设 ，如果存在对应法则 ，使对 ，存在唯一,DMRfxD的一个数 与之对应，则称
20、是定义在数集 上的函数，记作yfD:M.|xy数集 称为函数 的定义域， 所对应的 ，称为 在点 的函数值，记Df fx为 .全体函数值的集合称为函数 的值域，记作 .()fxf()D即 .()|(),fDyx几点说明（1）函数定义的记号中“ ”表示按法则 建立 到 的函数:fMfM关系， 表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作 .习惯|xy|()xf上称 自变量， 为因变量 .（2） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则.所以函数也常表示为： .(),yfxD由此，我们说两个函数相同，是指它们
21、有相同的定义域和对应法则.例如：1） （不相同，对应法则相同，定()1,fxR()1,0.gxR义域不同）2） （相同，只是对应法则的表()|,2(),.x达形式不同）.（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）.此时，函数的记号中的定义域可省略不写，而只用对应法则 来表示一个函数.即“函数 ”或f ()yfx“函数 ”.f（4） “映射”的观点来看，函数 本质上是映射，对于 ， 称为f aD()f映射 下 的象. 称为 的原象.fa()fa12（5）函数定义中， ，只能有唯一的一个 值与它对应，这样定义xDy的函数称为“
22、单值函数” ，若对同一个 值，可以对应多于一个 值，则称这种x函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称函数）.二 、函数的表示方法1 主要方法：解析法（公式法） 、列表法（表格法）和图象法（图示法）.2 可用“特殊方法”来表示的函数.1）分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示.例如 ， （符号函数）1,0sgn,x（借助于 sgnx可表示 即 ）.()|,fx()|sgnfxx2）用语言叙述的函数.（注意；以下函数不是分段函数）例 ） （取整函数）y比如： 3.5=3, 3=3, -3.5=-4.常有 , 即 .1x01x与此有关一个的函数 （非负小数函数）图y形是一条大锯，画出图看
23、一看.）狄利克雷（Dirichlet）函数 1,()0xD当 为 有 理 数当 为 无 理 数 ,这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形.它是周期函数，但却没有最小周期，事实上任一有理数都是它的周期.）黎曼（Riemman）函数 1,(,()001)ppxqNqR当 为 既 约 分 数当 和 内 的 无 理 数 .三 函数的四则运算给定两个函数 ，记 ，并设 ，定义 与12,fxDg12Df在 上的和、差、积运算如下：gD； ；()(),Fxf()(),Gxfgx.,Hgx若在 中除去使 的值，即令 ，可在()02()0,DxD13上定义 与 的商运算如下； .Dfg(),fxLDg注
24、：）若 ，则 与 不能进行四则运算.12Df）为叙述方便，函数 与 的和、差、积、商常分别写为：.,ffgfg四、复合运算引言在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系.例：质量为 m的物体自由下落，速度为 v，则功率 为E.2211Emgtvgt抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数 ，把 代2(),fvgt()vt入 ，即得f.21()fvtmgt这样得到函数的过程称为“函数复合” ，所得到的函数称为“复合函数”.问题 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；.2()arcsin,1,(),yfuDugxER就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数
25、”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）.2定义（复合函数） 设有两个函数 ，(),(),yfDugx，若 ，则对每一个 ，通过 对应 内唯一一个()ExfDExE值 ，而 又通过 对应唯一一个值 ，这就确定了一个定义在 上的函数，ufy它以 为自变量， 因变量，记作 或 .简记xy(),fgx(),yfgxE为 .称为函数 和 的复合函数，并称 为外函数， 为内函数， 为中间fgfg u变量.3. 例子14例 求 并求定义.1)( ,)( 2xgufy).()(xgff域.例 ._)( ,1)1(2xfxf 则.12xf) ( )xfA. B. C. D. ,2 ,12x,
26、2x.2x例 讨论函数 与函数 能否(),0)yfu2()1,ugR进行复合，求复合函数.4 说明）复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？例如： ，复合成：2sin,1yuvx.2si1,yx）不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定义域的变化. 2 2log1,(0)log,1.a ayxyuzx 2rcsinrcsinv 2i 2,.xuyyvx五、反函数.引言在函数 中把 叫做自变量， 叫做因变量.但需要指出的是，自变()yfxy量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如： 那2
27、(),1,fut么 对于 来讲是自变量，但对 来讲， 是因变量 .uf tu习惯上说函数 中 是自变量， 是因变量，是基于 随 的变化现()yfxyyx时变化.但有时我们不仅要研究 随 的变化状况，也要研究 随 的变化的状yx况.对此，我们引入反函数的概念.15.反函数概念定义设 Xf:R是一函数，如果 1x， X2, 由)(2121xx(或由 1)ff)，则称 f在 上是 1-1 的.若 Y:， (f，称 为满的.若 Xf是满的 1-1 的，则称 f为 1-1对应.:R是 1-1 的意味着 )(xy对固定 y至多有一个解x， Yf是 1-1 的意味着对 Y， )(f有且仅有一个解 .定义 设
28、 Xf:是 1-1对应. y, 由 )(xf唯一确定一个 x, 由这种对应法则所确定的函数称为 y的反函数，记为 )(1yf.反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域 YXf:1显然有 If:(恒等变换）1(恒等变换 )YXff:)(.从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为 )(1xy, 这样它的图形与 )(xfy的图形是关于对角线 对称的.严格单调函数是 1-1对应的，所以严格单调函数有反函数.但 1-1 对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子21,30)(xxf它的反函数即为它自己.实际求反函数问题可分为二步进行：1. 确定 YXf:的
29、定义域 X和值域 Y，考虑 1-1对应条件.固定 Yy，解方程 yx)( 得出 )(1yfx.2. 按习惯，自变量 、因变量 互换，得 )(1xf.例 求 2)(xesh：R R的反函数 .0 xy16解 固定 y，为解 2xe，令 zx，方程变为1z02y 2 ( 舍去 12y)得 )ln(2yx，即 ()ln2xshx，称为反双曲正弦.定理 给定函数 )(f，其定义域和值域分别记为 X和 Y，若在 Y上存在函数 yg，使得 fg(, 则有 )()1yfg.分析：要证两层结论：一是 )的反函数存在，我们只要证它是 1-1 对应就行了；二是要证 . 1()f证 要证 xfy的反函数存在，只要证
30、 )(xf是 到 Y的 1-1 对应.1， X2，若 (21fxf， 则由定理条件，我们有1)(fg 2g，即 Y: 是 1-1 对应.再证 . y， X，使得 )(xfy.y由反函数定义 )(1fx，再由定理条件.()()gf 1()gfy例 ，若 f存在唯一（ |）不动点，则 )(xf也 |不动点.:R证 存在性，设 * * x， * * ff，即 )(* xf是 f的不动点，由唯一性 )(x，即存在 的不动点 * .唯一性： 设 )(xf， )(fxf，说明 x是 的不动点，由唯一性， = * x.从映射的观点看函数.设函数 .满足：对于值域 中的每一个值 ，中(),yfxD()fDy有
31、且只有一个值 ，使得 ，则按此对应法则得到一个定义在()fy上的函数，称这个函数为 的反函数，记作()fD 1:(),(|)fDyx或.1(),()xff、注释a) 并不是任 0 y=f(x) y=f -1 (x) 0 y=f(x) 17何函数都有反函数，从映射的观点看，函数 有反函数，意味着 是与ff之间的一个一一映射，称 为映射 的逆映射，它把 ；()fD1f ()Db) 函数 与 互为反函数，并有: 1,fx1(),().fxyfc) 在反函数的表示 中，是以 为自变量， 为因变量.若1(),()xfyfDyx按习惯做法用 做为自变量的记号， 作为因变量的记号，则函数 的反f函数 可以改
32、写为1f(),().yxD应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已.但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别.六 、初等函数1.基本初等函数（类）常量函数 （为常数） ；yC幂函数 ；()xR指数函数 ；0,1ya对数函数 ；log(,)ax三角函数 ；sin,cs,cyytgxt反三角函数 .araro,xrxyarctgx注：幂函数 和指数函数 都涉及乘幂，而在()yxR(01)xy中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义.下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质.定义给定
33、实数 ，设 为无理数，我们规定：0,1axsup|,1|0rxx ar0， Xx有 ，即:f ()fM,取 m, 即可.f反之如果 , 使得 ，令 ，则()xfx0a1,，即 ，使得对 有 ，即 有界.0()fx0X()f:fR20例 2证明 为 上的无上界函数.1()fx(0,例 3设 为 D上的有界函数.证明：（1）,g；inf()if()inf()xDxxgx（2） .supsups()xDf例 4验证函数 在 内有界.325)(fR解法一 由 当 时,有,623)(22 xxx 0.56 )(22 xf,30对 总有 即 在 内有界.R,3)( f)(xfR解法二 令 关于 的二次方程
34、 有实数,25xy 0352yxy根.4 . ,425 ,0y解法三 令 对应 于是 , ,23tgx )., (x ttgtgtxf 2222 sec1oin6513535)(.2sin2 )( ,sin625txft二、单调函数 定义 3设 为定义在 D上的函数， （1）若f 1212,xDx，则称 为 D上的增函数；若 ，则称 为 D上的严格12()fx()fff增函数.（2）若 ，则称 为 D上的减函数；若 ，则称12()fxff 12()x为 D上的严格减函数.f例 5证明： 在 上是严格增函数.3y(,)证明：设 21x， )(212121 xx如 02，则 3如 1，则22112
35、0,21故 0321x即得证.例 6讨论函数 在 上的单调性.yxR，当 时，有 ，但此函数在 上的不是严格增函12,1212xR数.注：1）单调性与所讨论的区间有关.在定义域的某些部分， 可能单调，f也可能不单调.所以要会求出给定函数的单调区间；2）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于 轴的部分.更x准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于 轴的直线至多有一个交点.这一x特征保证了它必有反函数.总结得下面的结论：定理 1设 为严格增（减）函数，则 必有反函数 ，且(),yfxDf1f在其定义域 上也是严格增（减）函数 .f证明：设 在 上严格增函数 .对 .下面证明f (),()
36、yfxDfy一这样的 只有一个.事实上，对于 内任一 由于 在 上严格增函数，当x 1时 ，当 时 ，总之 .即11()fy1x1()ffy，从而, ,(yDDfx一例 7 讨论函数 在 上反函数的存在性；如果 在22x上不存在反函数，在 的子区间上存在反函数否？(,)(,)结论：函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关.例 8 证明： 当 时在上严格增，当 时在 上严格递减.xya101aR三、奇函数和偶函数定义 4. 设 D为对称于原点的数集， 为定义在 D上的函数.若对每一个f有（1） ，则称 为 D上的奇函数；（2） ，x()(fxff ()fxf则称 为 D上的偶函数.f注：（1）从
37、函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称） ，偶函数的图象关于 轴对称；y（2）奇偶性的前提是定义域对称，因此 没有必要讨论奇(),01fx偶性.（3）从奇偶性角度对函数分类： ；奇 函 数 :y=sin偶 函 数 g非 奇 非 偶 函 数 :ix+co既 奇 又 偶 函 数 0（4）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可四、周期函数1、定义设 为定义在数集 D上的函数，若存在 ，使得对一切 有f 0xD，则称 为周期函数， 称为 的一个周期.()(fxf f2、几点说明：（1）若 是 的周期，则 也是 的周期，所以周期若存在，则f()nN22不唯一
38、.如 .因此有如下“基本周期”的说法，即若在周sin,2,4yx期函数 的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为 的“基本周期” ，f f简称“周期”.如 ，周期为 ； i（2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1） ，不是周期函数；2） （为常数） ，任何正数都是它的1yxyC周期.第二章数列极限引 言为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势.例如有这么一个变量，它开始是 1，然后为 如此，一直无尽地1,234n 变下去，虽然无尽止，但它的变化有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零.我们就说，这个变量的极限为 0.在
39、高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关（如导数、微分、积分、级数等） ，并且在实际问题中极限也占有重要的地位.例如求圆的面积和圆周长（已知： ） ，但这两个公式从何而来？2,Srl要知道，获得这些结果并不容易！人们最初只知道求多边形的面积和求直线段的长度.然而，要定义这种从多边形到圆的过渡就要求人们在观念上，在思考方法上来一个突破.问题的困难何在？多边形的面积其所以为好求，是因为它的周界是一些直线段，我们可以把它分解为许多三角形.而圆呢？周界处处是弯曲的，困难就在这个“曲”字上面.在这里我们面临着“曲”与“直”这样一对矛盾.辩证唯物主义认为，在一定条件下，曲与直的矛盾可以相互转化.整个
40、圆周是曲的，每一小段圆弧却可以近似看成是直的；就是说，在很小的一段上可以近似地“以直代曲” ，即以弦代替圆弧.按照这种辩证思想，我们把圆周分成许多的小段，比方说，分成 个等长的n小段，代替圆而先考虑其内接正 边形.易知，正 边形周长为nn2sinlR显然，这个 不会等于 .然而，从几何直观上可以看出，只要正 边形的边l数不断增加.这些正多边形的周长将随着边数的增加而不断地接近于圆周长. 越大，近似程度越高.n但是，不论 多么大，这样算出来的总还只是多边形的周长.无论如何它只n是周长的近似值，而不是精确值.问题并没有最后解决.为了从近似值过渡到精确值，我们自然让 无限地增大，记为 .直观nn上很
41、明显，当 时， ，记成 .极限思想.nllimnl即圆周长是其内接正多边形周长的极限.这种方法是我国刘微（张晋）早在第 3世纪就提出来了，称为“割圆术”.其方法就是无限分割.以直代曲；其思想在于“极限”.除之以外，象曲边梯形面积的计算均源于“极限”思想.所以，我们有必要对极限作深入研究.231数列极限的概念教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题.教学要求：使学生逐步建立起数列极限的 定义的清晰概念.深刻理解数列N发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的定义证明数列的有关命题，并能运用 语言正确表述数列N 不以某实数为极限等相应陈述.教
42、学重点：数列极限的概念.教学难点：数列极限的 定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学程序：一、什么是数列1 数列的定义数列就是“一列数” ，但这“一列数”并不是任意的一列数，而是有一定的规律，有一定次序性，具体讲数列可定义如下；若函数 的定义域为全体正整数集合 ，则称 为数列.f N:fR注：1）根据函数的记号，数列也可记为 ；(),n2）记 ，则数列 就可写作为： ，简记为 ，()nfa()fn12,na na即 ；()|fnN3）不严格的说法：说 是一个数列.f2 数列的例子（1） ；（2） ；()1:,34n 11:2,435n（3） ； （4）2965 ()0二、什么是数列极限1引言对
43、于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的庄子. 天下篇引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺） ；第 1天截下 ，2第 2天截下 ，21第 3天截下 ，324第 天截下 ，n12n得到一个数列： 23,n 不难看出，数列 的通项 随着 的无限增大而无限地接近于零.1n一般地说，对于数列 ，若当 无限增大时， 能无限地接近某一个常ana数 ，则称此数列为收敛数列，常数 称为它的极限.不具有这种特性的数列就a不是收敛的数列，或称为发散数列.据此可以说，数列 是收敛数列，0 是它的极限.12n数列 都是发散的数列 .2,()n需要提出的是，上面
44、关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来.还有待进一步分析.以 为例，可观察出该数列具以下特性：1n随着 的无限增大， 无限地接近于 1 随着 的无限增大，1nan与 1的距离无限减少 随着 的无限增大， 无限减少|会任意小，只要 充分大.|n如：要使 ，只要 即可；|1|010n要使 ，只要 即可；|.任给无论多么小的正数 ，都会存在数列的一项 ，从该项之后 ，Na()nN.即 ，当 时， .1|n0,Nn1|n如何找？（或 存在吗？）解上面的数学式子即得： ，取1即可.这样 当 时， .1N0,n1|nN综上所述，数列 的通项
45、随 的无限增大， 无限接近于 1，11n即是对任意给定正数 ，总存在正整数 ，当 时，有 .此即N|25以 1为极限的精确定义，记作 或 .n 1limn1,n2.数列极限的定义定义 1 设 为数列, 为实数,若对任给的正数 ,总存在正整数 ,使得naaN当 时有 , 则称数列 收敛于 ,实数 称为数列 的极限,N|nana并记作 或 .limn()n(读作:当 趋于无穷大时, 的极限等于 或 趋于 ).由于 限于取正整nan数,所以在数列极限的记号中把 写成 ,即 或limna.()na若数列 没有极限，则称 不收敛，或称 为发散数列.nnn问题：如何表述 没有极限？ na3.举例说明如何用 定义来验证数列极限N例 1
