1、高一数学必修 11.知识点总结1、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性, (2) 元素的互异性, (3) 元素的无序性, 3.集合的表示： 如： 我校的篮球队员， 太平洋, 大西洋,印度洋,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合：A= 我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1） 列举法：a,b,c 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法x| x-32
2、3）语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4） Venn 图: 4、集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合(2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例：x|x 2=5 二、集合间的基本关系 1.包含关系子集 注意：B 包含 A 有两种可能（1）A 是 B 的一部分；（2）A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A 不属于 B 或 B 不属于 A2相等关系：A=B (55，且 55，则 5=5) 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 元素相同则两集合相等 即：即任何一个集合是它本身的子集。
3、真子集:如果 A 属于 B,且 A 不属于 B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集。如果 A 属于 B, B 属于 C ,那么 A 属于 C 如果 A 属于 B 同时 B 属于 A ，那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 1.规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 2.特点有 n 个元素的集合，含有 2n 个子集，2 n-1 个真子集 三、集合的运算运算类型交 集 并 集 补 集定 义由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫由所有属于集合 A或属于集合 B 的元素所组成的集合，设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由 S 中所有不属于A
4、的元素组成的集做 A,B 的交集记作A B（读作A交 B） ，即A B=x|x A，且 x B 叫做 A,B 的并集记作：A B（读作A 并B） ，即 A B =x|x A，或x B)合，叫做 S 中子集A 的补集（或余集）记作 ，即CSCSA= ,|Ax且韦恩图示A B图1A B图2性 质A A=A A =A B=B AA B AA B BA A=AA =AA B=B AA B A B B(CuA) (CuB)= Cu (A B)(CuA) (CuB)= Cu(A B)A (CuA)=UA (CuA)= 2.函数基本知识点总结1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系
5、 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，x A其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域 注意： 1定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一
6、些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 . (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.2值域 : 先考虑其定义域(1)观察法 (2)配方法(3)换元法3映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象） B（象） ”对于映射 f： A B 来说，则应满足：(1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B
7、 中都有象，并且象是唯一的；(2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。4函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数：一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数（2） 奇函数：一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判断函数奇偶性的步骤：首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对 1称；确定 f(x)
8、与 f(x)的关系； 2作出相应结论：若 f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) 3= 0，则 f(x)是偶函数；若 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是奇函数注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由f(-x)f(x)=0 或 f(x) f(-x)=1 来判定; (3)利用定5、函数的解析表达式（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的
9、主要方法有：1) 凑配法2) 待定系数法3) 换元法4) 消参法10函数最大（小）值（定义见课本 p36 页）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小） 1值利用图象求函数的最大（小）值 2利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 3如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b)；如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b)；6.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的
10、任意两个自变量 x1，x 2，当 x11，且 *nnN 负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作。n当 是奇数时， ，当 是偶数时，ann)0(|an2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，)1,0(*nNmanm ,1*n 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1） ra sr；),0(Ra（2） rsr)(；),(s（3） srab)(),0(R（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中 x 是自变量，函)1,0(ayx且数的定义域为 R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 12、指数函数的图
11、象和性质a1 01 00，a 0，函数 y=ax 与 y=loga(-x)的图象只能是 ( )2.计算： ; = ； = ;64log273 3log42 2log7l531 = 213431 0.6)(80. 75.03.函数 y=log (2x2-3x+1)的递减区间为 14.若函数 在区间 上的最大值是最小值的 3 倍，则 a= )0(log)axf 2,a5.已知 ， （1）求 的定义域（2）求使 的 的取1(且 ()fx()0fx值范围.第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 ，把使)(Dxfy成立的实数 叫做函数 的零点。0)(xfx2、函数零点的意
12、义：函数 的零点就是方程)(f实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的)(f xyx横坐标。即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴0)(xf)(xfyx有交点 函数 有零点)(fy3、函数零点的求法：（代数法）求方程 的实数根； 1 0)(xf（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与 2函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零)(xfy点4、二次函数的零点：二次函数 )0(2acbxy（1），方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程 有两相等实根，二次函02cbxa数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或x二阶零点（3），方程 无实根，二次函数的图2cx象与 轴无交点，二次函数无零点x
