1、高一数学 第八章 平面向量第一讲 向量的概念与线性运算一 【要点精讲】1向量的概念向量 ：既有大小又有方向的量。几何表示法 AB， a；坐标表示法 ),(yxjia。向量的模（长度） ，记作| AB|.即向量的大小，记作 |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.零向量 ：长度为 0 的向量，记为 0，其方向是任意的，规定 0平行于任何向量。 （与 0 的区别）单位向量 0a1。平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作 a b相等向量记为 b。大小相等，方向相同 ),(),(21yx21yx2向量的运算（1 ）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量 a，b，
2、奎 屯王 新 敞新 疆 在平面内任取一点 ，作 a， b，则向量 叫做 a 与ABCAb 的和，记作 a+b，即 a+b BC特殊情况：ab aba+bb aa+b(1) 三三三三三三三三三三三三CBDCBA Aab baAB BCC)2( )3(向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： DPQRA，但这时必须“首尾相连” 。向量减法： 同一个图中画出 ab、要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1 ）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2 ） 三角形法则的特点是“首尾
3、相接” ，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3 ）实数与向量的积3两个向量共线定理： 向量 b与非零向量 a共线 有且只有一个实数 ，使得 b= a。二 【典例解析】题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念例 1 判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)若ba则,(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点, 则终点也相同 (6)若 ， ，则 ；c(7)若 ， ，则 (8) 的充要条件是 且 ； ba/c/a/ba|ba/(9) 若四边形 ABCD 是平行四边形, 则 DABC,
4、练习. (四川省成都市一诊)在四边形 ABCD 中， “ ”是“四边形 ABCD 为梯形”的AB 2DC A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律例 2 化简 = )()(ACD练习 1.下列命题中正确的是 A BOB 0AC D0 CAD2.化简 得 DCAA B C DB03如图，D 、E、F 分别是ABC 的边 AB、BC 、CA 的中点，则( )A. 0 B. 0AD BE CF BD CF DF C. 0 D. 0AD CE CF BD BE FC 题型三: 结合图型考查向量加、减法例 3 在 所在的平面上
5、有一点 ，满足 ，则 与 的面PABPCBAC积之比是( )A B C D12334例 4 重心、垂心、外心性质练习: 1如图，在 ABC 中，D、E 为边 AB 的两个三等分点，=3a， =2b，求 ， CA CB CD CE 2 已知 求证=ab3 若 为 的内心，且满足 ，OAB()(2)0OBCOA则 的形状为（ ）CA.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形4已知 O、A 、B 是平面上的三个点，直线 AB 上有一点 C，满足 2 0 ，则 ( )AC CB OC A2 B 2 C. D OA OB OA OB 23OA 13OB 13OA 23OB 5已知平面上不
6、共线的四点 O，A，B，C .若 3 2 0，则 等于_OA OB OC |AB |BC |6已知平面内有一点 P 及一个 ABC，若 ，则( )PA PB PC AB A点 P 在ABC 外部 B点 P 在线段 AB 上 C点 P 在线段 BC 上 D点AB CDEP 在线段 AC 上7在 ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 2 ， ，则 等于( )AD DB CD 13CA CB A. B. C D23 13 13 23题型四: 三点共线问题例 4 设 是不共线的向量,已知向量 ,若21e 212121, eCDeBekAA,B,D 三点共线,求 k 的值例 5 已知 A、B、C
7、、P 为平面内四点， A、B、C 三点在一条直线上 =m +n ，求证： PC PA PB m+n=1练习：1已知： ，则下列关系一定成立212121 D , ),(3eee的是（ ）A、A ，B，C 三点共线 B、A，B，D 三点共线C、 C， A，D 三点共线 D、B ，C，D 三点共线2 (原创题) 设 a，b 是两个不共线的向量，若 2 akb， ab， 2ab，且AB CB CD A，B ，D 三点共线，则实数 k 的值等于_第 2 讲 平面向量的基本定理与坐标表示一 【要点精讲】1平面向量的基本定理如果 2,e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一
8、对实数 1使： 21ea其中不共线的向量 21,e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与 轴、 轴方向相同的_单xyBCAOMD位向量_ 、 作为基底 奎 屯王 新 敞新 疆 任作一个向量 ，有且只有一对实数 、 ，使ij axy得 ，把 叫做向量 的（直角）坐标，记作 axiyj 1 ),(yx(,)其中 叫做 在 轴上的坐标， 叫做 在 轴上的坐标， 式叫做向量的坐标表示 奎 屯王 新 敞新 疆 2 ay 2与 相等的向量的坐标也为 奎 屯王 新 敞新 疆 特别地， ， ， 奎 屯王 新 敞新 疆a),(yx(1,0)i(,1)j0(,
9、)特别提醒：设 ，则向量 的坐标 就是点 的坐标；反过来，点 的坐jiOAOAyxAA标 也就是向量 的坐标 奎 屯王 新 敞新 疆 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一),(yx对实数唯一表示 奎 屯王 新 敞新 疆3平面向量的坐标运算（1 ） 若 ， ，则 = ， = 1(,)axy2(,)bxyab12(,)xyab12(,)xy（2 ） 若 ， ，则 （3）若 和实数 ，则ABA )a(,)xy4向量平行的充要条件的坐标表示：设 =(x1, y1) ， =(x2, y2) 其中 abba ( )的充要条件是b0120xy二 【典例解析】题型一. 利用一组基底表示平面内的
10、任一向量例 1 在OAB 中， ，AD 与 BC 交于点OBDAOC2,4M，设 = ， = ，用 , 表示 .OAaBbaM练习:1若已知 、 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )1e2A 与 B3 与 2 C 与 D 与 21e1e212e1e2在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若 ，其中AC AE AF 、 R，则 _.题型二: 向量加、减、数乘的坐标运算例 3 已知 A（2,4） 、B（3,1） 、C（3, 4）且 , ,求点 M、N 的CAM3B2坐标及向量 的坐标.MN练习:1. (2008 年高考辽宁卷)已知四边
11、形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(1 ，2) ，C (3,1)，且 2 ，则顶点 D 的坐标为( )BC AD A(2， ) B(2， ) C(3,2) D(1,3)72 122若 M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 求 P 点的坐标；MPN3若 M(3, -2) N(-5, -1)，点 P 在 MN 的延长线上，且 , 12MN求 P 点的坐标；4.(2009 年广东卷文)已知平面向量 a= ,1x（ ） ，b=2,x（ ）， 则向量 ab ( )A 平行于 x轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于 y轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 5在三角形 ABC 中
12、，已知 A(2,3)，B(8 ，4)，点 G(2，1)在中线 AD 上，且 2 ，AG GD 则点 C 的坐标是( )A(4,2) B(4，2) C(4，2) D(4,2)6设向量 a(1 ，3)，b(2,4) ，c( 1，2)，若表示向量 4a、4b2 c、2( ac)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量 d 为( )A(2,6) B(2,6) C(2，6) D( 2，6)7已知 A(7,1)、B(1,4) ，直线 y ax 与线段 AB 交于 C，且 2 ，则实数 a 等于( )12 AC CB A2 B1 C. D.45 53题型三: 平行、共线问题例 4 已知向量 ， ，若 ，则
13、锐角 等于（ ）(1sin,)a1(,sin)2babA B C D30456075例 5 （2009 北京卷文）已知向量 (1,)(,)(),abckabRdab，如果 /cd那么 ( )A 1k且 与 同向 B k且 c与 反向C 且 c与 同向 D 1且 与 d反向练习：1若向量 =(-1,x)与 =(-x, 2)共线且方向相同，求 xab2已知点 O(0，0) ，A(1 ，2)，B(4，5)及 ，ABtOP求(1)t 为何值时，P 在 x 轴上？P 在 y 轴上？P 在第二象限。(2)四边形 OABP 能否构成为平行四边形？若能，求出相应的 t 值；若不能，请说明理由。3已知向量 a(
14、1,2) ，b(0,1)，设 ua k b，v2ab，若 uv，则实数 k 的值为( )A1 B C. D112 124已知向量 a(2,3) ，b( 1,2)，若 man b 与 a2b 共线，则 等于( )mnA B2 C. D212 125已知向量 (1 ，3)， (2，1)， (m1，m2)，若点 A、B 、C 能构成三角OA OB OC 形，则实数 m 应满足的条件是( )Am2 Bm Cm1 Dm1126已知点 )6,(4),0(,试用向量方法求直线 AC和 OB（ 为坐标原点）交点 P的坐标。题型四：平面向量综合问题例 6 已知 ABC的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c
15、，设向量 (,)mab， (sin,)BA， (2,)pba.（1） 若 m/ ，求证：ABC 为等腰三角形； （2） 若 p，边长 c = 2，角 C = 3，求 ABC的面积 .练习已知点 A(1,2)，B(2,8)以及 ， ，求点 C、D 的坐标和 的坐标AC 13AB DA 13BA CD 第三讲 平面向量的数量积及应用一 【要点精讲】（1 ）两个非零向量的夹角已知非零向量 a 与 a，作 OA ， B b，则A A（ ）叫 a与 b的夹角；说明：两向量的夹角必须是同起点的，范围 0180。C（2 ）数量积的概念非零向量 a与 b， = a bcos 叫做 a与 b的数量积（或内积）
16、。规定 0a；向量的投影：cos = |R，称为向量在 方向上的投影。投影的绝对值称为射影；（3 ）数量积的几何意义： ab等于 的长度与 b在 a方向上的投影的乘积.注意：只要 就有 =0，而不必 = 或 = 0由 = 及 0 却不能推出 = 得| | |cos 1=| |abcc|cos 2 及| |0，只能得到 | |cos 1=| |cos 2，即 、 在cbbc方向上投影相等，而不能得出 = (见图)c ( ) ( )，向量的数量积是不满足结合律的abc对于向量 、 ，有| | | |，等号当且仅当 时成立abab（4 ）向量数量积的性质向量的模与平方的关系：2|a。乘法公式成立22
17、abab； 22bab2ab；向量的夹角：cos =cos,a=221yxyx。（5 ）两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量 12(,)(,)axyb，则 ab= 12。（6 ）垂直：如果 与 的夹角为 900 则称 与 垂直，记作 a b。两个非零向量垂直的充要条件： O 021yx（7 ）平面内两点间的距离公式 设 ),(yxa，则2|或2|x。 12bca2121)()(| yxa(平面内两点间的距离公式) .二 【典例解析】题型一：数量积的概念例 1判断下列各命题正确与否：（1 ） 0a； （2） 0a； （3 ）若 0,abc，则；（4 ）若 bc，则 当且仅当时成立；（5 ） (
18、)()对任意 ,bc向量都成立；题型二. 求数量积、求模、求夹角的简单应用例 2 3120oab已 知 ， ， 与 的 夹 角 为 ， 求；21 3ab（ ） ； （ ） ； （ ） （ ） （ ） 4ab（ ）题型三：向量垂直、平行的判定例 3已知向量 )3,2(a， )6,(xb，且 ba/，则 x 。例 4已知 ， 1， ,m2n，按下列条件求实数 的值。（1 ） mn；（2 ） /n； ()。例 5已知： 、 、 是同一平面内的三个向量，其中 =（1 ，2）abca（1 ） 若| | ，且 ，求 的坐标；52a/c（2 ）若| |= 且 与 垂直，求 与 的夹角 .b,b2ab练习 1
19、 若非零向量 、 满足 ，证明:2 在 ABC 中， =(2, 3)， =(1, k)，且ABC 的一个内角为直角，ABC求 k 值 奎 屯王 新 敞新 疆3已知向量 ， ，若 ，则 （ ） )1 ,(a) ,2(nbba| nA B C D34. 12ababab已 知 ， ， 且 与 垂 直 ， 求 与 的 夹 角 。5知 为 的三个内角 的对边，向量c， ， AB ABC， ，若 ，且 ，则角(31)(osin)， ， ，mmcossinabAcC的大小分别为（ ）AB，A B C D6， 236， 36， 3，题型四：向量的夹角例 6 已知向量 a=(cos,sin ),b=(cos
20、,sin ),且 ab，求 与 ba的夹角练习 1 已知两单位向量与 的夹角为 012，若 ,3cd，试求 c与 d的夹角。2 | a|=1，| b |=2， c= a+ b，且 c a，则向量 与 b的夹角为 （ ）A30 B60 C120 D1503设非零向量 a、b、c 满足|a | b|c| ，abc，则a ，b( )A150 B120 C60 D304已知向量 a(1,2) ，b( 2，4)，|c | ，若(ab)c ，则 a 与 c 的夹角为( )552A30或 150 B60或 120 C120 D1505.过ABC 的重心任作一直线分别交 AB，AC 于点 D、E若 AxB，
21、EyAC，0xy，则1xy的值为（ ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1解析：取ABC 为正三角形易得 xy3选 B4. 设向量 a与 b的夹角为 ， ),(a， )1,(2ab，则 cos 5在 ABC 中，( ) | |2，则三角形 ABC 的形状一定是 ( )BC BA AC AC A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形.6 已知向量 )2,(sina与 )cos,1(b互相垂直，其中(0,)2（1 ）求 i和 co的值；（2 ）若10sin(),2，求 cos的值 题型五：求夹角范围例 7 已知 ,且关于 的方程 有实根,则 与 的夹角的取值|2|0abx2|0a
22、xbab范围是 A.0, B. C. D.6,32,3,6练习 1设非零向量 = ， = ，且 ， 的夹角为钝角，求 的取值范围ax2,b2,xabx2已知 ， ,如果 与 的夹角为锐角 ,则 的取值范围是 ),()3(3设两个向量 、 ，满足 ， ， 、 的夹角为 60，若向量1e22|1e1|e2与向量 的夹角为钝角，求实数 的取值范围.217ettt4如图，在 RtABC 中，已知 BC=a，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问 BCPQ与的夹角 取何值时 的值最大？并求出这个最大值.CQBP（以直角顶点 A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立坐标系）题型六：向量的模例
23、 8已知向量 a与 b的夹角为 120o， 3,1,ab则等于（ ）A5 B4 C 3 D1练习 1 平面向量 a 与 b 的夹角为 6，a(2,0), | b |1 ，则 | a2b |等于（ ）A. 3 B.2 3 C.4 D.122已知平面上三个向量 、 、 的模均为 1，它们相互之间的夹角均为 120，abc（1 ）求证： ；（2）若 ，求 的取值范围.)(|k)(RkA BC a3平面向量 中，已知 ，且 ，则向量 _.,ab(4,3)|1b5ab4已知| |=| |=2， 与 的夹角为 600，则 + 在 上的投影为 。5设向量 满足 ，则 。,ab|1,32|ab|3|ab6已知
24、向量 的方向相同，且 ，则 _ _。,|,|7|2|7、已知 O，N，P 在 ABC所在平面内，且 ,0OABCNAB，且A，则点 O，N，P 依次是 的 （ )A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心题型七：向量的综合应用例 9已知向量 (2,2)， (4,1)，在 x 轴上一点 P，使 有最小值，则 P 点的坐标OA OB AP BP 是_练习 1已知向量 a 与向量 b 的夹角为 120，若向量 cab，且 ac，则 的值为( )|a|b|A. B. C2 D.12 233 32已知圆 O 的半径为 a，A，B 是其圆周上的两个三等分点，则
25、( )OA AB A. a2 B a2 C. a2 D a232 32 32 324 (原创题) 三角形 ABC 中 AP 为 BC 边上的中线，| |3， 2 ，则| |_.AB AP BC AC 5在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 m(cos ，sin )，3A2 3A2n(cos ，sin )，且满足| mn| .A2 A2 3(1)求角 A 的大小；6在 中， ， 的面积是 ，若 ， ，则BC0ABC4153|AB5|C( )A()632()43()D657已知 为原点，点 的坐标分别为 ， ，其中常数 ，点 在线段O,AB0,aA,B0aP上，且有 ，
26、则 的最大值为（ ）ABtP)10(tOP()a()a2Ca3()D28已知向量 ， 。3(cos,in)x(cos,in)2xb（1 ）当 ，求 ；2,0x,|a（2 ）若 对一切实数 都成立，求实数 的取值范围。|)(bmf23xm9. 若正方形 ABCD边长为 1，点 P在线段 AC上运动，则 )(PDBA的取值范围是 -2， 4110. 已知 ,ab是两个互相垂直的单位向量 , 且 1ca, b,|2c,则对任意的正实数 t,1|tc的最小值是 2 .各区期末试题10. 在矩形 中， ， ， 是 上一点，且ABCD31BCED，则 的值为（ ）1EE19.如图，点 是以 为直径的圆 上
27、动点， 是点 关PABOP于 的对称点， .2(0)a（）当点 是弧 上靠近 的三等分点时，求的值；APB（）求 的最大值和最小值.O（6 ）如图所示，点 在线段 上，且 ，则 （ CBD3C=AD=）（A） （B） 324A（C ） （D）41123B(16) 在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， ，点 是直线 上的xOy(,)(5,1)(2,)PMOPA BCD EA BPPOD CBA一个动点.（）求 的值；PBA-（）若四边形 是平行四边形，求点 的坐标；MM（）求 的最小值.3 已知 、 、 三点的坐标分别为 、 、 ，且 .ABC30A， 3B， cosinC，32，2 若 ，求角
28、 的值； 若 ，求 的值.1ACB2sinita2 已知二次函数 对任意 ，都有 成立，设向量fxR1fxf，当 时，求不等式1sin2sincos22axbd， ， ， ， ， ， ， 0x，的解集.ffcd2.若点 是 所在平面内一点，且满足 ，则 等于（ MABC314AMBC:ABMCS）A. B. C. D. 1213156.已知 为一平面上的定点， ， ， 为此平面上不共线的三点，若OABC， 则 的形状是 . (2)0BC8.已知向量 ， .3(sin,xa(cos,1)xb（1 ）当 时，求 的值；ab2cosinx（2 ）设 ， 为函数 的两个零点，求 的最小值1x2()()4fab12x(5)如图，用向量 e1，e 2 表示向量 a-b 为 ( )(A)-2e 2-4e 1(B)-4e 2-2e 1(C)e 2-3e 1(D)-e 2+3e1(12)已知 = + ，设 = ，那么实数 OM3ABMAB的值是_(16)已知向量 a=(1， )，b=(-2，0)()求向量 a-b 的坐标以及 a-b 与 a 的夹角；()当 t-1 ，1 时，求|a-tb |的取值范围
