1、第七章 非 线 性 方 程 的 解 法,非线性方程的解法,对分区间法,简单迭代法,Newton法与弦截法,非线性方程组的解法,牛顿重根法,牛顿下山法,对分区间法,简单迭代法,弦截法,非线性方程组求解,牛顿迭代法,非线性 方程求根,知识结构框图,对分区间法,第一节 对分区间法(二分法),一般理论,二分区间法的理论与分析,引言,对分区间法的Math程序,本章研究对象,本章重点研究对象,引 言,一般提法与结论,一般提法与结论,求根问题包括：根的存在性、根的范围和根的精确化。,一般提法与结论,fx_:=x3-11.1x2+38.8x-41.77 Plotfx,x,1,7 NSolvefx=0,x,例1
2、,解,x - 2.09632, x - 3.91777, x - 5.08592,描图或逐步搜索法找有根区间,引 例,搜索法：,先求出使 的点，然后将这些点,引例求解方法,放在定义域内，将定义域分成几部分，算出驻点,处的函数值，即可知道方程的有根区间。,二、区间二分法,区间二分法,区间二分法,区间二分法,例2,解（二分法）,如此二分下去即可。现估计二分次数,所以二分6次可达到要求。,区间二分法例题,fx_:=x3-x-1;Plotfx,x,0,2a,b=0,2.;Doc=(a+b)/2;Printa,“ “,b,“ “,c,“ “,fa,“ “,fb,“ “ fc;Iffa*fc0,a=c,b
3、=c,k,1,16FindRootfx=0,x,1,精确解为: x =1.324718,区间二分法程序,优点：,区间二分法分析,区间二分法的分析,对函数要求低，计算简单;,缺点：,收敛慢且对有偶数重根的情况不适合。,简单迭代法,第二节 简单迭代法,迭代法的几何意义,迭代法的收敛定理,基本概念,迭代法的局部收敛性,基本思想,构造不动点方程，以求得近似根。,当给定初值x0 后, 由迭代格式可求得数列xk。此数列可能收敛，也可能不收敛。如果xk收敛于x*，则它就是方程的根。因为：,即由方程f(x)=0变换为其等价形式x=(x), 然后建立迭代格式，,基本概念,(1)不动点迭代法：,按上述方法构造迭代
4、格式来求解方程的方法称为 简单迭代法或逐次迭代法。,基本概念,基本概念,迭代法的几何意义,迭代法的几何意义,迭代法的几何意义,求方程,设方程改写成下列形式,据此建立迭代公式,例3,解（迭代法）,简单迭代法例题,Clearf,x0 fx_:=x3-x-1; Plotfx,x,-2,2 xn_:=(xn-1+1)(1/3) x0=1.5; NTablexn,n,1,4,10; MatrixForm% NSolvefx=0,x,101,Mathematica程序,精确解为: x =1.324718,简单迭代法程序,求方程,设方程分别改写成下列形式,据此建立迭代公式,例4,解,简单迭代法例题,Clea
5、rf,CC fx_:=x3+10x-20; Plotfx,x,1,2 xn_:=(xn-1)3+11xn-1-20; x0=1.5; NTablexn,n,1,8,10; MatrixForm% NSolvefx=0,x,101,结果是：发散的. -0.125-21.376953125-10023.8609318807712 -1.007175483753888 1036 -1.021681283411174 10108 -1.066464276280024 10324 -1.212938934846244 10972 -1.784501062446783 10,精确解为： x 1.59456
6、2,简单迭代法程序,程序及运行结果为：,Clearf,CC fx_:=x3+10x-20; Plotfx,x,1,2 xn_:=20/(xn-1)2+10); x0=1.5; NTablexn,n,1,8,20; MatrixForm% NSolvefx=0,x,201,计算结果：收敛于精确解 1.63265306122449 1.579085827030582 1.600830888972853 1.592019583443828 1.595592799843456 1.59414421311147 1.594731546347759 1.594493422715452,精确解为： x 1.
7、594562,简单迭代法程序,程序及运行结果为：,定理7.1,简单迭代法收敛条件,证明：,（一、证明存在惟一性）,由于,简单迭代法收敛定理,证明：,（二、证明收敛与初值的无关性）,简单迭代法收敛定理,简单迭代法收敛定理,简单迭代法收敛定理,定理7.2,压缩映象原理的应用,提示,压缩映象原理的应用,迭代法的局部收敛性,定义：对于方程,定理7.3,迭代法的局部收敛性,求方程,设方程分别改写成下列形式 .,例4回顾,解, 所以迭代法发散.,所以迭代法收敛.,压缩映象原理应用的例题,求方程,例3回顾,压缩映象原理应用的例题,Clearf,n fx_:=x3-x-1; Plotfx,x,-2,2 xn_
8、:=xn-13-1; x0=1.5; Tablexn,n,1,5/N MatrixForm% Solvefx=0,x1/N,Mathematica程序,例题Math程序,观察!,例题分析,观察!,例题分析,发散！,发散！,收敛！,收敛！,Clearf,n fx_:=x2-3; Plotfx,x,-2,2 xx=Sqrt3; gx_:=3/x; Absgxx-1/N xn_:=3/xn-1; x0=2; Tablexn,n,1,5/N; MatrixForm% Solvefx=0,x1/N,Mathematica验算程序1,例题Math程序,Mathematica验算程序2,Clearf,n f
9、x_:=x2-3; Plotfx,x,-2,2 xx=Sqrt3; gx_:=x2+x-3; Absgxx-1/N xn_:=xn-12+xn-1-3; x0=2; Tablexn,n,1,5/N MatrixForm% Solvefx=0,x2/N,例题Math程序,Mathematica验算程序3,Clearf,n fx_:=x2-3; Plotfx,x,-2,2 xx=Sqrt3; gx_:=x-(1/4)(x2-3); Absgxx-1/N xn_:=xn-1-(1/4)(xn-12-3); x0=2; Tablexn,n,1,5/N; MatrixForm% Solvefx=0,x2/N,例题Math程序,Mathematica验算程序4,Clearf,n fx_:=x2-3; Plotfx,x,-2,2 xx=Sqrt3; gx_:=(1/2)(x+3/x); Absgxx-1/N xn_:=(1/2)(xn-1+3/xn-1); x0=2; Tablexn,n,1,5/N; MatrixForm% Solvefx=0,x2/N,例题Math程序,内容小结,1. 非线性方程求解的一般理论；,内 容 小 结,2. 对分区间法的理论与程序；,3. 迭代法的基本概念；,4. 简单迭代法的收敛性分析；,5. 简单迭代法的Math程序。,
