1、3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程,1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围. 2.熟练求出直线的点斜式和斜截式方程.,1.直线的点斜式方程 (1)已知直线(斜率存在)过两点P(x,y),P0(x0,y0),则直线的斜 率_. (2)已知直线过点P0(x0,y0),且斜率为k,则直线方程是 _. (3)过定点P(x0,y0),与x轴平行的直线的方程为_;与y轴平 行的直线的方程为_.,y-y0=k(x-x0),y=y0,x=x0,2.直线的斜截式方程 (1)已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),则该直线的 斜截式方程为_. (2)b是直线l在y轴上的_.
2、3.两直线平行与垂直的条件 对于直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2, l1l2k1=k2,且_; l1l2_.,y=kx+b,截距,b1b2,k1k2=-1,1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“”,错误的打“”). (1)任何一条直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示.( ) (2)斜截式y=kx+b可以表示斜率存在的直线.( ) (3)直线y=2x-1在y轴上的截距为1.( ) (4)斜率为0的直线不能用直线的点斜式表示.( ),提示：(1)错误.垂直于x轴的直线斜率不存在,故不能用点斜式方程表示. (2)正确.直线的斜截式y=kx+b中的几何要素为斜率k与纵截距
3、b,故斜截式y=kx+b适用于斜率存在的直线. (3)错误.直线y=2x-1在y轴上的截距为-1,而不是1. (4)错误.斜率为0,故斜率存在,故该直线能用点斜式表示. 答案：(1) (2) (3) (4),2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线 上). (1)直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则该直线的斜率 为 . (2)已知直线l的倾斜角为60,在y轴上的截距为-2,则该直线l 的斜截式方程为 . (3)直线l的点斜式方程是y- =2(x-1),则直线l的纵截距 为 . (4)过点(1,2)且与 平行的直线方程为_,【解析】(1)由直线的点斜式方程y-y0=k(x-
4、x0)可知，直线l 的斜率为k=3 答案：3 (2)直线l的倾斜角为60，所以直线的斜率k= ，又直线l 在y轴上的截距为-2，所以直线l的斜截式方程为y= x-2 答案：y= x-2,(3)根据直线l的点斜式方程是y- =2(x-1)， 令x=0，得y= -2，故该直线的纵截距为 -2 答案： -2 (4)设所求直线的方程为y=kx+b，则k=- ，把点(1,2)代入 得2=- +b，所以b= ，故所求直线方程为 答案：,一、直线的点斜式方程 探究1：观察下面图象并结合直线的点斜式方程,思考下列问题,(1)直线l过点P0(x0,y0),且斜率为k,那么直线上的点P(x,y)应 满足什么条件?
5、 提示：直线l过点P0(x0,y0),且斜率为k,当xx0时,由斜率公 式得,直线l上的点P(x,y)满足 所以点P(x,y)满足 y-y0=k(x-x0).当x=x0,y=y0时也满足y-y0=k(x-x0),故P(x,y) 满足y-y0=k(x-x0).,(2)直线l的点斜式方程能否写成 ? 提示：不能,直线l上的点都满足y-y0=k(x-x0),而直线不包含点P0(x0,y0).,(3)直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线? 提示：不能.直线的点斜式方程的两要 素为斜率k与点P0(x0,y0),故只有斜率 存在的直线才能用点斜式表示.,探究提示：考虑斜率的取值.,探究2：根据直线
6、的点斜式方程y-y0=k(x-x0)及有关提示填 空： (1)过点P0(x0,y0),平行于x轴的直线方程为 . (2)过点P0(x0,y0),平行于y轴的直线方程为 . 提示：直线平行于x轴,其斜率为0,由直线的点斜式方程y-y0 =k(x-x0),可知y=y0;平行于y轴的直线斜率不存在,故不能用 直线的点斜式表示.因为这时,直线上的点的横坐标都等于 P0(x0,y0)的横坐标x0,所以该直线的方程是：x=x0. 答案：(1)y=y0 (2)x=x0,【探究提升】直线的点斜式方程及其适用范围 (1)直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0),几何要素：斜率k, 定点P0(x0,y0). (2
7、)适用范围：斜率存在的直线.,二、直线的斜截式方程 探究1：斜率为k,与y轴的交点为(0,b)的直线方程是什么? 提示：根据直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0),可得该直线的方程为y-b=k(x-0),化简得y=kx+b,即直线的斜截式方程.,探究2：根据直线的斜截式方程y=kx+b,思考下列问题： (1)观察直线方程y=kx+b,它的形式具有什么特点? 提示：直线方程y=kx+b,左端y的系数恒为1,右端x的系数k和常数b均有明显的几何意义,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距. (2)能否将直线的斜截式方程y=kx+b写成点斜式?它与直线的点斜式方程有何关系? 提示：能,方程y=kx
8、+b,可写成y-b=k(x-0). 直线方程的斜截式是点斜式的一种特殊情况,【探究提升】 1.直线的点斜式与斜截式方程的关系 (1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况,即过定点P(0,b),它们都不能表示斜率不存在的直线. (2)在直线方程的各种形式中,点斜式是最基本的形式,它是推导其他形式的基础. (3)点斜式与斜截式是两种常见的直线方程的形式,点斜式的形式不唯一,而斜截式的形式是唯一的.,2.直线方程的斜截式与一次函数解析式的区别与联系 (1)斜截式方程中,k0时,y=kx+b即为一次函数,k=0时,y=b不是一次函数. (2)一次函数y=kx+b(k0)一定可以看成一条直线的斜截式方
9、程.,【拓展延伸】直线y=kx+b在坐标平面上的位置分布 (1)当k=0,b=0时,直线为x轴. (2)当k=0,b0时,直线平行于x轴. (3)当k0,b0时,直线过第一、二、三象限. (4)当k0,b0时,直线过第一、二、四象限. (6)当k0,b0时,直线过第二、三、四象限.,类型 一 直线的点斜式方程尝试完成下列题目,体会利用点斜式求直线方程的步骤,能根据题目中的条件写出直线的点斜式方程. 1.过点(1,0),斜率为2的直线的点斜式方程为 . 2.直线l过点P(-2,3)且与x轴,y轴分别交于A,B两点,若P恰为线段AB的中点,求直线l的点斜式方程.,【解题指南】1.由斜率和定点的坐标
10、,根据直线的点斜式写出直线的方程. 2.先设出直线的斜率,再根据直线过定点写出直线的点斜式方程,根据中点坐标公式求出直线的斜率,从而得出直线的方程.,【解析】1.根据直线方程的点斜式， 得直线的方程为y-0=2(x-1) 答案：y-0=2(x-1),2.设直线l的斜率为k，因为直线l过点(-2，3)， 所以直线l的方程为y-3=kx-(-2)，令x=0， 得y=2k+3；令y=0得 所以A，B两点的坐标分别为A( -2,0)，B(0，2k+3). 因为AB的中点为(-2，3)，所以 解得 ，所以直线l的方程为y-3= (x+2).,【技法点拨】求直线的点斜式方程的三个步骤 (1)确定直线要经过
11、的定点(x0,y0). (2)求出直线的斜率k. (3)由点斜式写出直线的方程.,【变式训练】已知直线l过点A(2,-3). (1)若直线l与过点(-4,4)和(-3,2)的直线l平行,求其方程. (2)若直线l与过点(-4,4)和(-3,2)的直线l垂直,求其方程. 【解题指南】根据已知条件求出直线斜率,代入点斜式方程求解.,【解析】(1)由斜率公式得 因为l与l平行，所以kl=-2 由直线的点斜式方程得y+3=-2(x-2). 即y=-2x+1. (2)因为直线l的斜率为k=-2，l与l垂直，所以kl= ，由 直线的点斜式方程得y+3= (x-2). 即y= x-4.,类型 二 直线的斜截
12、式方程试着解答下列题目,体会利用斜截式求直线方程的策略， 能根据题目中的条件写出直线的斜截式方程 1.直线y=-2x-1的斜率与纵截距分别为( ) A.-2，-1 B.2，-1 C.-2，1 D.2，1 2.倾斜角为30，且过点(0,2)的直线的斜截式方程为_. 3.直线l的方程是y= x+1，直线l的倾斜角比直线l的倾斜 角小30，且直线l过点(3,4)，求直线l的方程,【解题指南】1.根据直线的斜截式得出直线的斜率与纵截距. 2.由直线的倾斜角及点(0,2)得出直线的斜率及在y轴上的截距. 3.先设出直线的斜截式方程,根据倾斜角与斜率的关系求出直线的斜率,从而得出直线的方程.,【解析】1.
13、选A.由直线的斜截式方程可知，直线y=-2x-1的斜 率与纵截距分别为-2，-1 2.由题意知斜率k=tan 30= 又直线过点(0,2)，所以直线在y轴上的截距为2, 所以直线的斜截式方程为 答案：,3.已知直线y= x+1的斜率为kl= ， 所以直线l的倾斜角为60，所以直线l的倾斜角为30， 设直线l的斜截式方程为y=kx+b，则k=tan 30= 又直线l过点(3,4),所以4= 3+b,所以b=4- ， 所以直线l的方程为,【互动探究】若题3中的“直线l的倾斜角比直线l的倾斜角小30”改为“直线l与直线l的夹角为30”，求直线l的方程,【解析】已知直线y= x+1的斜率为kl= ，
14、所以直线l的倾斜角为60，因此直线l的倾斜角为30或 90.当直线l的倾斜角为30时，直线l的斜率kl= ，所以 直线l的方程为y-4= (x-3)，即y= 当直线l的 倾斜角为90时，直线l的斜率不存在，又直线l过点(3,4)， 所以直线l的方程为x=3所以直线l的方程为y= x- +4或 x=3,【技法点拨】直线的斜截式方程的求解策略 (1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可 (2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程 (3)根据直线的方程判断直线的位置关系，通常把直线转化成斜截式的形式，利用斜率和截距的几何意义作
15、出判断 提醒：在利用直线的点斜式或斜截式求解直线方程时，注意直线的斜率是否存在,类型 三 两条直线的平行与垂直的应用通过完成下列题目,体会两条直线的位置关系，并能根据 两条直线的位置关系解决有关问题 1.已知直线l： 与直线l： 平行，且直线 l： 与y轴的交点为(0,1)，则a=_,b=_. 2.已知直线l与直线y=- x+1垂直，且与直线y=3x+5在y轴上 的截距相同，求直线l的方程.,【解题指南】1根据两直线的位置关系，得出所求直线的斜率，进而可用所求直线与y轴的交点，得出直线在y轴上的截距，列方程组求解 2.由两直线垂直知两直线的斜率之积等于-1，可求得l的斜率；根据与直线y=3x+
16、5在y轴上的截距相同，求出l的纵截距，从而得出直线l的方程.,【解析】1.由直线 与直线 平行，且直线 l与y轴的交点为(0,1)，答案： 2 2.直线l与y=- x+1垂直，所以l的斜率为2;与直线y=3x+5在y 轴上的截距相同，所以l的纵截距为5，所以直线l的方程为 y=2x+5.,【技法点拨】判断两条直线位置关系的方法总结 直线l1：y=k1x+b1,直线l2：y=k2x+b2. (1)若k1k2,则两直线相交. (2)若k1=k2,则两直线平行或重合, 当b1b2时,两直线平行; 当b1=b2时,两直线重合. (3)特别地,当k1k2=-1时,两直线垂直. (4)对于斜率不存在的情况
17、,应单独考虑.,【变式训练】当a为何值时,直线l1：y=(2a-1)x-5与直线l2： y=4x+8垂直. 【解析】由题意知,k1=2a-1,k2=4,因为l1l2,所以4(2a-1)=-1, 解得a= ,所以当a= 时,直线l1：y=(2a-1)x-5与直线l2： y=4x+8垂直.,拓展类型 平行直线系与垂直直线系尝试完成下列题目,体会两种直线系的区别与联系,并能根据两种直线系解决有关问题. 1.过点A(2,-3),且与直线y=-2x+5平行的直线l的方程为 ;与直线y=-2x+5垂直的直线l的方程为 . 2.直线l：y=kx+b与直线l：2x-y-4=0垂直,且直线l不过第三象限,试确定
18、k,b的值.,【解题指南】根据两直线的位置关系,得出所求直线的斜率,进而可设出所求直线的斜截式方程,利用待定系数法求出直线在y轴上的截距.,【解析】1.已知直线为y=-2x+5,由l与其平行,则可设直线l的 方程为y=-2x+b,又l过点A(2,-3),有-3=-22+b,所以b=1,所 以直线l的方程为y=-2x+1.由l与直线y=-2x+5垂直,则可设直线 l的方程为y= x+c,又l过点A(2,-3),有-3= 2+c,所以c=-4, 所以直线l的方程为y= x-4. 答案：y=-2x+1 y= x-4,2.由2x-y-4=0,得y=2x-4,因为ll, 所以直线l的方程可设为y=- x
19、+b,又直线l不过第三象限,所以 b0.所以k=- ,b0.,【技法点拨】求与已知直线平行或垂直的直线的方法 若已知直线l：y=kx+b 与直线l平行的直线系方程可设为：y=kx+b; 与直线l垂直的直线系方程可设为：y= +b(k0). 若直线l的斜率不存在时 与直线l平行的直线系方程可设为：x=b; 与直线l垂直的直线系方程可设为：y=b. 然后根据题中所给条件求出所设方程中的纵截距b.,1.过点(1,3)且斜率不存在的直线方程为( ) A.x=1 B.x=3 C.y=1 D.y=3 【解析】选A.过点(1,3)且斜率不存在的直线上的点的横坐标为1,故直线方程为x=1.,2.过点(2,0)
20、,且倾斜角是135的直线方程为( ) A.x+y-2=0 B.x-y-2=0 C.x+y+2=0 D.x-y+2=0,【解析】选A.设所求直线的斜截式方程为y=kx+b, 因为直线的倾斜角为135, 所以k=tan135=-1. 把点(2,0)代入直线方程,得0=-2+b. 所以b=2, 所以所求直线方程为y=-x+2, 即x+y-2=0.,3.已知两条直线y=ax-2和y=(2-a)x+1互相平行,则a等于( ) A.2 B.1 C.0 D.-1 【解析】选B.两条直线互相平行,则2-a=a,所以a=1.,4.已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：y=x+1垂直,则l1的点斜式方程为 .
21、 【解析】设l1的斜率为k1,l2的斜率为k2, 因为l1l2,所以k1k2=-1. 又k2=1,所以k1=-1. 所以l1的点斜式方程为y-1=-(x-2). 答案：y-1=-(x-2),5已知直线 的倾斜角是直线l的倾斜角的大小的 5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程 (1)过点P(3，-4). (2)在x轴上截距为2. (3)在y轴上截距为3,【解析】直线y x5的斜率ktan , 所以150，故所求直线l的倾斜角为30，斜率k . (1)过点P(3，4)，由点斜式方程得 y4 (x3)，所以y x 4. (2)在x轴上截距为2，即直线l过点(2,0)， 由点斜式方程得y0 (x2)， 所以 (3)在y轴上截距为3，由斜截式方程得y x3.,
