1、第四章 圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程,1.回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程. 2.会用待定系数法求圆的标准方程,并能根据所给圆心与半径写出圆的标准方程. 3.会判断点与圆的位置关系.,1.圆的定义 (1)条件：平面内到定点的距离等于定长的点的_. (2)结论：定点是_,定长是_. 2.圆的标准方程 (1)圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程为_ _. (2)圆心在原点,半径长为r的圆的标准方程为_.,集合,圆心,半径,(x-a)2+,(y-b)2=r2,x2+y2=r2,1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“”,错误的打 “”
2、). (1)圆心在原点,半径为r的圆的标准方程为 ( ) (2)若圆的标准方程为(x-1)2+y2=2,则r=2.( ) (3)若点M(x0,y0)在圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2的外部,则(x0-a)2+ (y0-b)2r2.( ),提示：(1)错误.圆心在原点,半径为r的圆的标准方程为 x2+y2=r2. (2)错误.因为r2=2,所以r= . (3)正确.由于点M在圆的外部,因此|MC|r,即(x0-a)2+ (y0-b)2r2. 答案：(1) (2) (3),2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上). (1)圆心为A(1,1),半径为1的圆的标准方程为 . (
3、2)若圆的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=4,则圆心为 ,半径r= . (3)点P(1,2)与圆x2+y2=1的位置关系是 .,【解析】(1)由圆的标准方程特点知,该圆的标准方程为 (x-1)2+(y-1)2=1. 答案：(x-1)2+(y-1)2=1 (2)由圆的标准方程知,圆心为(3,2),半径r=2. 答案：(3,2) 2 (3)因为12+22=51,所以点P在圆x2+y2=1外. 答案：点P在圆外,一、圆的标准方程 探究1：(x-a)2+(y-b)2=r2,其中C(a,b)是圆心,半径为r. 观察下面图象,并结合圆的标准方程回答问题：,(1)图形中,圆心C的坐标为 ,半径r= .
4、 提示：圆心C为(a,b),半径r=|CM|. (2)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中有几个待确定的量?要求它们需几个独立的条件? 提示：三个待确定的量a,b,r;要求它们需三个独立的条件.,探究2：观察圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,思考下列问题： (1)圆的标准方程的推导依据是什么? 提示：根据圆的定义,圆上的点到定点的距离等于定长,利用两点间的距离公式推导. (2)圆的标准方程具有怎样的结构特点? 提示：方程的左端是两个完全平方式的和,右端是一个正数的平方.,【探究提升】 1.对圆的标准方程的理解 (1)圆的标准方程是由两点间的距离公式推导出来的,它是圆的定义
5、的直观反映,是代数与几何结合的完美体现. (2)由圆的标准方程可直接写出圆的圆心和半径,反之,已知圆的圆心和半径可以写出圆的标准方程,这一点体现了圆的标准方程的优越性.,2.圆的标准方程中参数a,b,r的作用 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参数a,b,r,其中(a,b)为圆心,r为半径.结合圆的定义可知,圆心(a,b)在确 定圆时起到定位作用,即影响圆的位置;而半径r在确定圆时起到定形作用,即影响圆的大小.,3.几种常见特殊位置的圆的标准方程 (1)以原点为圆心,r为半径的圆的标准方程：x2+y2=r2. (2)圆心在x轴上,半径为r的圆的标准方程：(x-a)2+y2=
6、r2. (3)圆心在y轴上,半径为r的圆的标准方程：x2+(y-b)2=r2. (4)圆心在x轴上且过原点的圆的标准方程： (x-a)2+y2=a2(a0). (5)圆心在y轴上且过原点的圆的标准方程： x2+(y-b)2=b2(b0).,二、点与圆的位置关系 请观察如图所示的圆O及该平面上的三个点A,B,C,思考下列问题：,探究1：在平面几何中,点与圆有哪几种位置关系? 提示：在圆内,在圆上,在圆外. 探究2：在平面几何中,如何确定点与圆的位置关系? 提示：利用点和圆心之间的距离与半径的大小关系来判断.,探究3：在直角坐标系中,已知点M(x0,y0)和圆C：(x-a)2+(y- b)2=r2
7、,如何判断点M在圆外、圆上、圆内? 提示：当(x0-a)2+(y0-b)2=r2时, 点M在圆C上; 当(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点M在圆C外.,探究提示：结合两点间的距离公式,【探究提升】关于点与圆位置的两点应用 (1)给出点的坐标与圆的方程,可以判断它们的位置关系. (2)已知点与圆的位置关系,可以解决点的坐标或圆的方程中所含字母的取值或范围的问题.,类型 一 圆的标准方程的求法通过解答下列与圆的标准方程相关的题目,试归纳总结求标准方程的方法及用待定系数法求圆的标准方程的三个基本步骤.,1.(2013长沙高一检测)圆心为(1,-1),半径为2的圆的方程是( ) A.(x-1)2
8、+(y+1)2=2 B.(x+1)2+(y-1)2=4 C.(x+1)2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+(y+1)2=4 2.(2013烟台高一检测)求过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心C在直线x+y-2=0上的圆的标准方程.,【解题指南】1.先分清楚圆心坐标、半径长,再代入圆的标准方程. 2.利用圆的有关性质先分析出圆心的位置,再设法求出圆心坐标和半径,进而写出圆的标准方程;也可采用待定系数法求圆的标准方程,即先设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,然后列出关于a,b,r的方程组,解出a,b,r即可.,【解析】1.选D.因为圆心为(1,-1),半径为2, 所以圆的标
9、准方程为(x-1)2+(y+1)2=4.,2.方法一：因为A(1,-1),B(-1,1),所以AB的垂直平分线方程 是x-y=0，解方程组 即圆心C(1，1)，则 半径r=|AC|=2,所以圆的标准方程是(x-1)2+(y-1)2=4. 方法二：设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 由题意得 因此，圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.,【互动探究】题1中若将条件“半径为2”改为“直径的两个 端点分别在x轴、y轴上”，其他条件不变，求此时圆的标准 方程. 【解析】由题意知，直径的两个端点分别为(2,0)和(0,-2)， 故圆的半径r= ,故圆的标准方程为 (x-1)2
10、+(y+1)2=2.,【技法点拨】求圆的标准方程的两种方法 (1)几何法：根据题意直接求出圆心和半径,然后再写出圆的标准方程. (2)待定系数法： 设：根据题意,设所求圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2; 列：根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组; 解：解方程组,求出a,b,r的值,并把它们代入所设的圆的标准方程中,就得到所求的圆的标准方程.,【变式训练】求圆心C在直线y=2x上,且经过原点及点M(3,1) 的圆C的标准方程. 【解题指南】设出圆的标准方程,利用待定系数法求解.,【解析】设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 则b=2a,由题意a2+(2a)2=(a-
11、3)2+(2a-1)2, 解得a=1,故圆心坐标为(1,2),半径 故圆的标 准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.,类型 二 点与圆的位置关系尝试完成下列题目,归纳判断点与圆的位置关系的两种方法. 1.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是( ) A.a1 B.-1a1 C.0a1 D.a=1,2.已知A(-1,1),B(-2,-6),C(6,0) (1)求ABC的外接圆方程. (2)试判断M(-3,-3),N(5,2),Q(4,-7)是在(1)所求圆的圆上,圆内还是圆外.,【解题指南】1.若点在圆的内部,则点到圆心的距离小于半径,由此可列不等关系求解. 2
12、.(1)先设出ABC外接圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,然后利用待定系数法求出a,b,r即可. (2)分别计算点M,N,Q到圆心的距离,再与半径比较.,【解析】1.选B.由题意可知,(1-a)2+(1+a)24,解得a21,解得-1a1.,2.(1)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 由题意得 解得a=2,b=-3,r=5, 故外接圆方程为(x-2)2+(y+3)2=25. (2)设圆心为O,因为|OM|=所以点M在圆上,点N在圆外,点Q在圆内.,【互动探究】题1中,若点在圆外,则a的取值范围又是什么? 【解析】若点在圆外,则(1-a)2+(1+a)24,解得
13、a21,即a1,【技法点拨】判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：只需计算该点与圆的圆心距离与半径作比较即可. (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的大小,并得出结论.,【变式训练】圆C：(x-1)2+(y+2)2=4,点P(x0,y0)在圆C外部, 且d=(x0-1)2+(y0+2)2,则有( ) A.d2 B.d4 D.d4,即d4.,【拓展类型】圆的标准方程的综合应用 尝试解答下列与圆的标准方程有关的最值问题,总结利用 数形结合将代数问题转化为几何问题的方法. 1.设P(x,y)是圆C：(x-2)2+y2=1上任意一点,则(x-5)2+(y+4)2 的最大值为(
14、 ) A.6 B.25 C.26 D.36 2.已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上运动. (1)求 的最大值与最小值. (2)求x2+y2的最大值与最小值.,【解题指南】1.考虑利用两点间的距离公式的几何意义探求 (x-5)2+(y+4)2的最大值. 2.方程x2+(y-1)2=1表示的曲线是以(0,1)为圆心,以1为半径 的圆.(1) 的几何意义是圆上一点P(x,y)与点(2,1)连线 的斜率.(2)x2+y2的几何意义是圆上一点到原点距离的平方.,【解析】1.选D.(x-5)2+(y+4)2的几何意义是点P(x,y)到点Q(5,-4)的距离的平方,由于点P在圆(x-2)2+y2
15、=1上,C(2,0),所以这个最大值是(|QC|+1)2=36.,2.(1)设 =k，则k表示点P(x,y)与点(2，1)连线的斜率. 当直线y-1=k(x-2)与圆相切时，k取得最大值与最小值.如图 所示，由 解得 所以 的最大值为 , 最小值为- .,(2) 表示圆上一点到原点的距离，由平面几何知识 知，其最大值为圆心到原点的距离加上圆的半径，其最小值 为圆心到原点的距离减去圆的半径，分别是2与0，从而x2+y2 的最大值和最小值分别为4与0.,【技法点拨】利用数形结合将代数问题转化为几何问题的方 法 (1)形如 型的,可转化为直线的斜率的最值问题求解. (2)形如t=ax+by型的,可转
16、化为动直线截距的最值问题求解. (3)形如m=(x-a)2+(y-b)2型的,可转化为两点间的距离的平方 求解. 提醒：若A(x0,y0)是圆C外一定点,则该点与圆上的点的最大距 离dmax=|AC|+r,最小距离dmin=|AC|-r.,1.圆(x-3)2+(y-1)2=2的圆心、半径分别是( ) A.(3,1),2 B.(3,1), C.(1,3),2 D.(1,3), 【解析】选B.由圆的标准方程可知答案.,2.圆(x-1)2+(y-1)2=4的周长、面积分别是( ) A.4,2 B.2,4 C.4,4 D.2,2 【解析】选C.由圆的标准方程知,圆的半径r=2,因此圆的周长 l=2r=
17、4,面积S=r2=4.,3.点P(m,5)与圆x2+y2=24的位置关系是( ) A.在圆上 B.在圆内 C.在圆外 D.不确定 【解析】选C.因为m2+5224,所以点P在圆x2+y2=24外.,4.与圆(x-2)2+(y+3)2=16同心且过点P(-1,1)的圆的标准方程 是 . 【解析】所求圆的圆心为(2,-3), 半径 故所求圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25. 答案：(x-2)2+(y+3)2=25,5.经过原点,圆心在x轴的正半轴上,半径等于5的圆的方程 是 . 【解析】由题意知圆心坐标是(5,0),故所求圆的方程为 (x-5)2+y2=25. 答案：(x-5)2+y2=25,6.求满足下列条件的圆的方程： (1)圆心在原点,半径长为3. (2)圆心坐标为(3,4),半径长为 . (3)经过点(5,1),圆心坐标为(8,-3).,【解析】根据圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2得 (1)x2+y2=9. (2)(x-3)2+(y-4)2=5. (3)因为圆的半径长 圆心坐标为 (8,-3),所以圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=25.,
