1、空间向量复习 例3 如图 一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500kg 在它的顶点处分别受力F1 F2 F3 每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是60 且 F1 F2 F3 200kg 这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动 这三个力最小为多少时 才能提起这块钢板 o A B C F1 F2 F3 500kg 例4 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 侧棱PD 底面ABCD PD DC E是PC的中点 作EF PB交PB于点F 1 求证 PA 平面EDB 2 求证 PB 平面EFD 3 求二面角C PB D的大小 D A B C E P F O A B 结论 空间任意两个向
2、量都是共面向量 所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题 平面向量中有关结论仍适用于它们 3 1 1空间向量的运算 平面向量 概念 加法减法数乘运算 运算律 定义 表示法 相等向量 减法 三角形法则 加法 三角形法则或平行四边形法则 空间向量 具有大小和方向的量 数乘 ka k为正数 负数 零 加法交换律 加法结合律 数乘分配律 类比思想数形结合思想 数乘 ka k为正数 负数 零 推广 1 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量 2 首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形 则它们的和为零向量 G M 始点相同的三个不共面向量之和
3、 等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量 一 共线向量 零向量与任意向量共线 3 1 2共线向量定理与共面向量定理 若P为A B中点 则 假如OP OA tAB 则点P A B三点共线 可用于证明点共线 二 共面向量 1 共面向量 平行于同一平面的向量 叫做共面向量 注意 空间任意两个向量是共面的 但空间任意三个向量就不一定共面的了 2 共面向量定理 如果两个向量不共线 则向量与向量共面的充要条件是存在实数对使 注 可用于证明三个向量共面 推论 空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x y使或对空间任一点O 有 1 已知a 2 4 5 b 3 x y
4、若a b 求x y的值 2 证明 三向量a e1 e2 b 3e1 2e2 c 2e1 3e2共面 若a mb nc 试求实数m n之值 1 两个向量的夹角 3 1 3空间向量的数量积 2 两个向量的数量积 注意 两个向量的数量积是数量 而不是向量 零向量与任意向量的数量积等于零 3 射影 B A 注意 是轴l上的正射影 A1B1是一个可正可负的实数 它的符号代表向量与l的方向的相对关系 大小代表在l上射影的长度 4 空间向量的数量积性质 注意 性质2 是证明两向量垂直的依据 性质3 是求向量的长度 模 的依据 对于非零向量 有 5 空间向量的数量积满足的运算律 注意 1 应用可证明两直线垂直
5、 2 利用可求线段的长度 向量数量积的应用 3 1 4空间向量正交分解及其坐标表示 二 空间直角坐标系 3 1 5向量的直角坐标运算 二 距离与夹角 1 距离公式 1 向量的长度 模 公式 注意 此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度 在空间直角坐标系中 已知 则 2 空间两点间的距离公式 2 两个向量夹角公式 注意 1 当时 同向 2 当时 反向 3 当时 思考 当及时 的夹角在什么范围内 立体几何中的向量方法 1 用空间向量解决立体几何问题的 三步曲 1 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量表示问题中涉及的点 直线 平面 把立体几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 研究点 直线
6、 平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题 3 把向量的运算结果 翻译 成相应的几何意义 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 二 怎样求平面法向量 1 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2 E F分别是BB1 DD1的中点 求证 1 FC1 平面ADE 2 平面ADE 平面B1C1F 证明 如图1所示建立空间直角坐标系D xyz 则有D 0 0 0 A 2 0 0 C 0 2 0 C1 0 2 2 E 2 2 1 F 0 0 1 所以 设 分别是平面ADE 平面B1C1F的法向量 则 2 已知向量则上的单位向量为 同理可求 1 又FC1 平面ADE 平面ADE 平面ADE
7、 平面B1C1F 2 取y 1 则 三 有关结论 异面直线所成角的范围 结论 3 2 3利用空间向量求空间角 题型二 线面角 直线与平面所成角的范围 直线AB与平面 所成的角 可看成是向量与平面 的法向量所成的锐角的余角 所以有 二面角的范围 关键 观察二面角的范围 B A a M N n a b 一 求异面直线的距离 方法指导 作直线a b的方向向量a b 求a b的法向量n 即此异面直线a b的公垂线的方向向量 在直线a b上各取一点A B 作向量AB 求向量AB在n上的射影d 则异面直线a b间的距离为 方法指导 作直线a b的方向向量a b 求a b的法向量n 即此异面直线a b的公垂线的方向向量 在直线a b上各取一点A B 作向量AB 求向量AB在n上的射影d 则异面直线a b间的距离为 3 2 4 如图点P为平面外一点 点A为平面内的任一点 平面的法向量为n 过点P作平面 的垂线PO 记PA和平面 所成的角为 则点P到平面的距离 n A P O 二 求点到平面的距离 例4 已知正方形ABCD的边长为4 CG 平面ABCD CG 2 E F分别是AB AD的中点 求直线BD到平面GEF的距离 D A B C G F E 三 求直线与平面间距离
