1、轨迹方程的求法,求平面上的动点的轨迹方程不仅是教学大纲要求掌握的主要内容之一，也是高考考查的重点内容之一。由于动点运动规律千差万别，因此求动点轨迹方程的方法也多种多样，这里介绍几种常用的方法。,1、直接法,例1、动点P到直线xy=6的距离的平方等于由两坐标轴及点P到两坐标轴之垂线所围成的矩形面积，求P的轨迹方程,解：设动点P（x，y）则 S=|xy|,点P到直线x十y=6的距离,故P点的轨迹方程为：,即：（x+y-6）2=2|xy|,当xy0时，方程为(x-6)2+(y-6)2=36 当xy0时，方程为x2+4xy+y2-12x-21y+36=0,2、定义法,例2如图，在ABC中边BC=a，若
2、三内角满足 sinC sinb= sinA，求点 A的轨迹方程。,解:以BC所在的直线为x轴，BC中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则B（一a，0），C（a，0），设A（x，y）则,由sinC sinB= sinA c-b= a即|AB|-|AC|= a（定值）,由双曲线定义知轨迹方程为,3、相关点法（代入法）,例3、从定点A（0，4），连接双曲线x2一4y2=16上任一点Q，求内分线段AQ成1：2的分点P的轨迹。,解：设Q（xl，y1），P（x，y），由题设， 则,Q（x1，y2）在双曲线上：, 即:,4、参数法,例题4、已知线段AB的长为a，P分AB为 APPB= 2l两部分，当A
3、点在y轴上运动时，B点在x轴上运动，求动点P的轨迹方程。,解：设动点P（x，y），AB和x轴的夹角为，| ， 作PMx于M, PNy轴于N,|AB|= a, |AP|= a, |PB|= a,动点P的参数方程为,即：,5、交轨法,例6、椭圆与双曲线有共同的焦点F1(一4,0),F2(4,0)，且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，求椭圆与双曲线交点的轨迹。,解：设双曲线的实半轴长为a（2a4），则椭圆长半轴长为2a，由半焦距为4，得,解得,代入得a2=2|x|,（1）,（2）,当 x 0时得（x 5）2 y2=9 当x0时得（x5）2y2=9 由2a4，知2|x|8,故所求轨迹为半径为3，分别以
4、（5，0）及（5，0）圆心的两个圆。,2003年高考第22题：已知常数a0,在矩形ABCD中，AB=4,BC=4a,O为AB中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且， P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。,解：根据题意，首先求出点P 坐标满足的方程， 根据此判断是否存在两定点，使得 点P到两定点的距离和为定值。,依题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)设 =k(0k1),由此有E(2,4ak), F(2-4k,4a), G(-2,4a-4ak),直线OF的
5、方程为 2ax+(2k-1)y=0 直线GE的方程为 -a(2k-1)x+y-2a=0,从消去参数k，得点P(x,y)坐标满足方程2a2x2+y2-2ay=0,整理得,当a2= 时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；,当a2 时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离之和为定值；,其中当a2 时，点P到两椭圆焦点（ ， ）的 距离之和 为定值,当a2 时，点P到椭圆两个焦点（a， ）的 距离之和 为定值2a.,2003年高考题20（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风据监测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南（ arccos ）方向300 km的海面P处，并以20 kmh的速度问西偏北450方向移动。台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 kmh的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？,解：以O为原点，正东方向为x轴正向，建立直角坐标系 在时刻t(h)，台风中心P（m,n）的坐标为,即,此时台风侵袭的区域是 其中r(t)=10t+60,若在时刻t城市O 受到侵袭，则有,即：,解得12t24,答：12小时后该城市受到台风侵袭。,
