1、椭圆的几何性质,秦皇岛市职业技术学校 李天乐,复习思考,椭圆的定义、标准方程是什么？,平面上到两个定点的距离的和（2a）等于定长（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。,标准方程,2.平面解析几何研究的主要问题是什么？,答：1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程。2）通过方程，研究平面曲线的性质。的性质。,一、椭圆的范围,由,即,说明：椭圆位于直线X=a 和y=b所围成的矩形之中。,二、椭圆的对称性,把(X)换成(-X),方程不变,说明椭圆关于( )轴对称；把(Y)换成(-Y),方程不变,说明椭圆关于( )轴对称； 把(X)
2、换成(-X), (Y)换成(-Y),方程还是不变,说明椭圆关于( )对称；,中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。,所以，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。,Y,X,原点,三、椭圆的顶点,令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点（ ）， 令 y=0，得 x=？, 说明椭圆与 x轴的交点（ ）。,*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。,0, b,a, 0,*长轴、短轴： 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。,a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。,四、椭圆的离心率,离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：,叫做椭圆的离心率。,1 离心率的取值范围：,2 离心率对
3、椭圆形状的影响：,因为 a c 0，所以0e 1,1椭圆标准方程,所表示的椭圆的范围是什么？,2上述方程表示的椭圆有几条对称轴？几个对称中心？,3椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？,4对称轴与长轴、短轴是什么关系？,52a 和 2b是什么量？ a和 b是什么量？,6关于离心率讲了几点？,回 顾,小结一：基本元素,1基本量：a、b、c、e、（共四个量）,2基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）,3基本线：对称轴（共两条线）,请考虑：基本量之间、基本点之间、基本线之间以及它们相互之间的关系（位置、数量之间的关系）,关于x轴，y轴，原点对称。,A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B
4、2(0, b),A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0),例1,求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标,并用描点法画出其图形。,解：把已知方程化成标准方程,椭圆的长轴长是:,离心率:,焦点坐标是:,四个顶点坐标是:,椭圆的短轴长是:,2a=10,2b=8,例1,求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标,并用描点法画出其图形。,把已知方程变形为：,4,在0 x5的范围内算出几个点的坐标（x,y):,3.9,3.7,3.2,2.4,0,先描点画出椭圆的一部分，,再利用椭圆的对称性，画出
5、整个椭圆。,椭圆的简单画法：,椭圆四个顶点,连线成图,矩形,由椭圆标准方程求基本元素,说明：例1是一种常见的题型，在以后的有关圆锥曲线的问题中，经常要用到这种题型，说它是一种题型不如说它是一种要经常用到的“基本计算”,题组1 教科书 102页，练习1、2 、3,例2,求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点（-3，0）、（0，-2）； （2）长轴的长等于20，离心率等于3/5 。,(2)、由已知，,解：（1）由椭圆的几何性质可知，点、分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，,于是得：,又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为：,a=3,b=2，,由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所
6、求椭圆的标准方程为 ：,例3,如图8-8，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心作为一个焦点的椭圆已知它的近地点距地面439km，远地点距地面2384km，并且、在同一直线上，地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程（精确到km）,解：如图8-8，建立直角坐标系，使点、在x轴上，为椭圆的右焦点（记为左焦点）,因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 ：,a=3,b=2，,解得 ：a=7782.5 , c=972.5,用计算器求得 :b=7722,因此，卫星的轨道方程是 :,例4、,解：如图，设d是点M到直线L的距离，根据题意，所求轨迹的集合是：,由此得 ：,这是一个椭圆的标
7、准方程，所以点M的轨迹是长轴、短轴分别是2a、2b的椭圆。,平方，化简得 ：,椭圆的准线与离心率,离心率：,椭圆的准线 ：,离心率的范围：,相对应焦点F（c,0），准线是：,相对应焦点F（- c,0），准线是：,椭圆的有关几何量:,1.焦准距:焦点到相应准线的距离 . 2.两准线间距离3焦半径: MF2 =a-ex, M F1 =a+ex.,例题,1.若椭圆 上的一点到右焦点的距离为3/2,则点到左准线的距离是多少？,2.若椭圆 上的一点到左准线的距离为5/2,则点到右焦点的距离是多少？,例5、,如图,以原点为圆心，分别以a、b（ab0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过A作ANOx,垂足为N，过点B作BM AN，垂足为M，求当半径OA绕O旋转时点M的轨迹的参数方程。,这就是所求的点的轨迹的参数方程。,也就是 ：,解：设M（x,y),是以Ox为始边，OA为终边的正角，,化为普通方程。,椭圆的参数方程：,
