1、1,复变函数,一、判断题（共18分，每小题3分） 二、填空题（共18分，每小题3分） 三、选择题（共24分，每小题3分） 四、计算题（共30分，每小题5分） 五、综合题（10分）,2,第一章 复数与复变函数,复数,复变函数,极限,连续性,代数运算,乘幂与方根,复数表示法,几何表示法,向量表示法,三角及指数表示法,复球面,复平面扩充,曲线 与区域,判别定理,极限 的计算,3,1. 复数的代数运算,1) 两复数的和,2) 两复数的积,3)两复数的商,4)共轭复数,2.复数的几何表示,（1）几何表示法,（2）向量表示法,4,复数的辐角,复数的模(或绝对值),注意：零的模为零，辐角不确定,5,辐角的主
2、值,6,（3）三角表示法,7,3.复数的乘幂与方根,1) 乘积与商,两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.,则有,8,几何意义,复数相乘就是把模相乘, 辐角相加.,2) 幂与根,(a) n次幂:,9,(b)棣莫佛公式,10,4.复球面与扩充复平面,(1) 复球面,球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面.,我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作. 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大的几何表示.,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面.,(2
3、) 扩充复平面的定义,11,5.曲线与区域,（1）邻域,（2）内点,如果 G 内每一点都是它的内点,那末G 称为开集.,(4) 区域,如果平面点集D满足以下两个条件, 则称它为一个区域.,(a) D是一个开集；,(b) D是连通的,即D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.,(3) 开集,12,(5) 边界点、边界,(7)有界区域和无界区域,(8) 简单曲线,任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.,简单闭曲线的性质,(9) 光滑曲线,(10) 单连通域与多连通域,13,例3：描述下面式子分别表示的是什么？,14,6. 复变函数的概念,(1)复变函数的定义,(2)
4、映射的定义,7.复变函数的极限,函数极限的定义,注意:,15,极限计算的定理,16,第二章 解析函数,复变函数,导数,微分,解析函数,初等解析函数,指 数 函 数,三 角 函 数,对 数 函 数,幂 函 数,性质,解析函数 的判定方法,可导与微分的关系,可导与解析的判定定理,双 曲 函 数,17,1）导数的定义,1. 复变函数的导数与微分,18,2)可导与连续,函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.,3)求导公式与法则,19,4)复变函数的微分,20,可导与微分的关系,21,1)定义,2. 解析函数,22,2)可导
5、与解析的判定,23,24,4)解析函数的判定方法,25,例1 设 为解析函数，求的值.,解 设,故,由于 解析，所以,即,故,26,3.初等解析函数,1)指数函数,27,2)三角函数,28,(4)正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数,29,3）对数函数,因此,30,31,4)幂函数,32,例5 求出 的值.,解,33,第三章 复变函数的积分,有向曲线,复积分,积分存在的 条件及计算,积分的性质,柯西积分定理,原函数 的定义,复合闭路 定 理,柯西积分 公 式,高阶导数公式,调和函数和 共轭调和函数,34,1.有向曲线,2.积分的定义,3.积分存在的条件及计算,（1）化成线积分,（2）用参数
6、方程将积分化成定积分,35,解：,所以,另解:,36,4. 积分的性质,37,38,6.原函数的定义,(牛顿-莱布尼兹公式),39,7. 闭路变形原理,一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.,那末,40,41,8.柯西积分公式,9. 高阶导数公式,42,10.调和函数和共轭调和函数,任何在 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数.,43,定理 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.,共轭调和函数,44,45,因此由柯西积分公式得,46,47,注意：此也可用留数定理求解！,48,解法一 不定积分法. 利用柯西黎曼方程,又由：,49,积分得,
7、因为已知实变部中不包含常数，故C是纯虚数，故该解析函数可写为,50,解法二 全微分法,51,解： 利用柯西黎曼方程,52,53,复数项级数,函数项级数,充 要 条 件,必 要 条 件,幂级数,收敛半径R,复 变 函 数,绝 对 收 敛,运算与性质,收敛条件,条 件 收 敛,复数列,收敛半径的计算,泰勒级数,洛朗级数,第四章 级数,54,1) 复级数的收敛与发散,充要条件,必要条件,55,非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.,2)复级数的绝对收敛与条件收敛,如果 收敛, 那末称级数 为绝对收敛.,绝对收敛 条件收敛,56,4. 幂级数,57,2)收敛圆与收敛半径,58,方法1: 比值法,方法2
8、: 根值法,4)收敛半径的求法,那末收敛半径,那末收敛半径,59,(3),在收敛圆内可以逐项积分, 即,或,60,5. 泰勒级数,其中,61,2)常见函数的泰勒展开式,62,63,6. 洛朗级数,定理,1),某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的, 这就是 f (z) 的洛朗级数.,64,2)将函数展为洛朗级数的方法,(1) 直接展开法,65,答：原级数收敛，且绝对收敛,66,例2 求下列幂级数的收敛半径,解,67,例3 展开函数 成 的幂级数到 项.,解,由此得,所以,解析函数展为幂级数的方法,利用定义来求.,68,例4,解,由：,69,例5,解,有,70,71,第五章 留
9、数,留数,计算方法,可去奇点,孤立奇点,极点,本性奇点,函数的零点与 极点的关系,对数留数,留数定理,留数在定积 分上的应用,辐角原理,路西原理,72,1. 孤立奇点的概念与分类,2）孤立奇点的分类,内的洛朗级数的情况分为三类:,i) 可去奇点; ii) 极点; iii) 本性奇点.,73,极点的判定方法,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析, 且,(b) 由定义的等价形式判别,74,iii)本性奇点,75,3)函数的零点与极点的关系,76,2. 留数,77,如果 为 的一级极点, 那末,a),2)留数的计算方法,78,79,80,3. 留数在定积分计算上的应用,1）三角函数有理式的积
10、分,正方向绕行一周.,81,2）无穷积分,82,3）混合型无穷积分,83,特别地,84,解,85,例7 计算积分,解,极点为,其中,由留数定理，有,86,87,例8 计算积分,解,在上半平面内有一级极点,88,放映结束，按Esc退出.,89,第六章 共性映射,共形映射,分式线性映射,一一对应性,保角性,保圆性,几个初等 函数构成 的映射,分式线性映射的确定,对确定区域的映射,保对称性,90,1. 的几何意义,方向无关.,91,2.共形映射（保角映射）,92,分式线性映射的性质,1）分式线性映射在扩充复平面上一一对应.,2）分式线性映射在扩充复平面上具有保角性.,93,解,将上半平面映射成单位圆的一般形式为,例1,94,从而所求映射为,95,例2,解,得,96,所以所求映射为,
