1、1复变函数 试题导读：就爱阅读网友为您分享以下“复变函数 试题”的资讯，希望对您有所帮助，感谢您对 的支持!复变函数复习提要 第 1 章：复数与复变函数 复数是用有序数对(x,y)定义的，其中 x,y 为实数。要注意，因为复数是“有序数对”，所以一般地讲，(x,y)?(y,x)。 正如所有实数构成的集合用 R 表示，所有复数构成的集合用 C 表示，即 C?z?(a,b):a,b?R 复数的四则运算定义为 (a,b)?(c,d)?(a?c,b?d) (a,b)?(c,d)?(a?c,b?d) (a,b)?(c,d)?(ac?bd,bc?ad) ac?bdbc?ad22,),c?d?0 (a,b
2、)?(c,d)?(2222c?dc?d 复数的四则运算满足以下运算律 加法交换律 z1?z2?z2?z1 加法结合律 z1?(z2?z3)?(z1?z2)?z3 乘法交换律 z1?z2?z2?z1 乘法结合律 z1?(z2?z3)?(z1?z2)?z3 2乘法对加法的分配律 z1?(z2?z3)?z1?z2?z1?z3 (x,?y)称为 z?(x,y)的共轭复数，记为 z。x2?y2 称为z?(x,y)的模，记为 z。共轭复数满足 z?z?z,2z?z?Rez,2z?z?Imz 2i z1?z2?z1?z2 z1?z2?z1?z2 (z1z)?1,z2?0 z2z2z1 z2 例 1 设 z1
3、?2?5i,z2?3?i，求分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。 解 为求z1 ，在分子分母同乘 z2，再利用 i2?1，得 z2z1z1?z2(2?5i)(3?i)1?17i117?i 2z2z2?z2101010z 1 例 2 求复数 A?(4?3i)(1?2i)的模 (4?3i)(1?2i)解 令 z1?4?3i,z2?1?2i，有 A?由共轭复数的运算结果得 z1?z2z1?z2 A?z1?z2z1?z2z2z1?z?2z1?z?z1?2z?1 1?z2 复数的三角式 z?r(co?s?isin?) （其中 r?z） 复数的三角式 z?rei? 由
4、此得如下关系式 z1?z2?ri?1e1?ri?i(?2e2?r1?r2e1?2) zi?1r1e1 z?i?r1ei(?1?2),z2?0 2r2e2r2 zn?rnein? z1?z2?z1?z2 z1z?z1z,z2?0 322 Argz1(?z2)?Argz1()?Argz(2) Argzz(1)?Argz1()?Argz(2) 2?2k 对于复数 z?rei?，它的 n 次方根为nz?nrei?n(k?0,1,?,n?1)。 例 3 求(1?i)8 解 1?i?2ei4，故有 (1?i)?(2e)?(2)ei8?8i4884?16ei2?16 例 4 设 z?1?i，求 4z 2 解
5、 因 z?2e，故 z?2,argz?i4?4i于是，z 的四个四次方根为 w0?82e w1?82e816i916 w2?2e w3?82ei1716i2516 z0 点的?邻域为复数集合z:z?z0?，记为 N(z0,?)。 z0 点的去心 ?邻域为复数集合z:0?z?z0?，记为N*(z0,?)。 无穷远点的?邻域为复数集合 z:z?，记为N(?,?)。 对于区域 D，若 D 中任意一条简单闭曲线的内部仍属于 D，则称 D 为单连通区域。不是单连通区域的区域称为复连通区域。 复变函数 w?f(z)的定义类似于数学分析中实函数4y?f(x)的定义，不同的是前者 w?f(z)是复平面到复平面
6、的映射，所以无法给出它的图形。 复变函数在一点的极限可用两个二元实函数在一点的极限来讨论，即 limf(z)?A?limRef(z)?ReA 且limImf(z)?ImA z?z0Rez?Rez0Imz?Imz0Rez?Rez0Imz?Imz0 复变函数期末复习提要 第 2 章：解析函数 函数在一点可导的定义是 设函数 w?f(z)定义在区域 D 内， z0?D,(z0?z)?D，若 limf(z?z)?f(z) ?z?z?0 存在，则称此极限为函数 f(z)在点 z0 的导数，记为 f?(z0)，即 f?(z0)?lim?z?0f(z0?z)?f(z0) （2.1） ?z 此时，称函数 f(
7、z)在点 z0 可导，否则，称函数 f(z)在点 z0 不可导。 函数在一点解析的定义是 设函数 w?f(z)定义在区域 D 内， z0 为 D 内某一点，若存在一个邻域 N(z0,p)，使得函数 f(z)在该邻域内处处可导，则称函数 f(z)在点 z0 解析。此时称点 z0 为函数 f(z)的解析点。若函数 f(z)在点 z0 不解析，则称 z0 为函数 f(z)的5奇点。 函数在一点解析，则在该点可导，反之则未必。例 1 试证：函数 f(z)?Re(z)在复平面上处处不可导。3 分析：导数是一个特定类型的极限，要证明复变函数在某点的极限不存在，只需要找两条特殊的路径，使自变量沿这两条路径趋
8、于该点时，函数值趋于不同的值。 证 对任意点 z，因 f(z?z)?f(z)Re(z?z)?Re(z) ?z?z 令?z?x?i?y，于是有 f(z?z)?f(z)?x ?z?x?i?y 由于上式当 z?z 沿平行于虚轴的方向趋于点 z 时（即 ?x?0,?y?0） ，其极限为 0；当 z?z 沿平行于实轴的方向趋于点 z 时（即?y?0,?x?0） ，其极限为 1，所以 lim?z?0f(z?z)?f(z) ?z 不存在，故 f(z)在点 z 处不可导。 由点 z 的任意性，函数 f(z)?Re(z)于复平面上处处不可导。 若函数 f(z)?u(x,y)?iv(x,y)定义在区域 D 内，则
9、函数f(z)在区域 D 内为解析函数的充分必要条件是： u(x,y)与 v(x,y)在 D 内可微。 ux?vy,uy?vx6在 D 内成立。 条件称为柯西黎曼条件或 C. R.条件。 函数 f(z)在区域 D 内为解析函数的充分必要条件是： ux,uy,vx,vy 在 D 内连续 ux?vy,uy?vx 在 D 内成立 例 2 试证函数 f(z)?z?1 在复平面解析 证 令 f(z)?u?iv,z?x?iy，则 f(z)?z?1?x?iy?1 ?x?1?iy ?u?iv 于是 u?x?1 v?y 从而有 ux?1,uy?0 vx?0,vy?1 显然，ux,uy,vx,vy 在复平面上处处连
10、续，且满足 C. R.条件，故函数 f(z)在复平面解析。 函数 f(z)在区域 D内为解析函数的充分必要条件是 Imf(z)为 Ref(z)的共轭调和函数。 例3 设 u(x,y)?x2?2xy?y2，试求以 u(x,y)为实部的解析函数4 f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，使得 f(0)?i 解 依 C. R.条件有 vy?ux?2x?2y 于是 7v?(2x?2y)dy ?2xy?y2?(x) 由此得 vx?2y?(x) ?uy ?2x?2y 从而有 ?(x)?x2?c 因此 v(x,y)?2xy?y2?x2?c （c 为任意常数）故得 f(z)?x2?2xy?y2?i(2xy?y
11、2?x2?c) ?(1?i)z2?ic 将 f(0)?i 代入上式，得 f(0)?ic?i 由此得 c?1，故得 f(z)?(1?i)z2?i 经验证，所得 f(z)既为所求。复变函数期末复习提要 第 3 章：初等函数 理解 ez,sinz 与 cosz 的定义及其主要性质； 知道支点概念。 幂函数 定义 3.1 设 z?x?iy，n 为正整数，称 w?zn 为幂函数 根式函数 定义 3.3 设 z?rei?(?0)，称满足 wn?z （n 为不小于 2 的正整数）的 w 为 z 的 n 次根式函数，或简称根式函数，记作 w?nz 8根式函数为多值函数，它不是解析函数 对于每一个确定的 z?r
12、ei?(?0)，都有 n 个不同的 w 与之对应，即有 w0?nrei?n 5 w1?re ? ni?2n （3.1） i?2(n?1)nwn?1?nre 因为根式函数是多值函数，所以，它不是解析函数 根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出 n 个单值函数 定义 3.4 设函数 w?F(z)为多值函数，若当变点 z 从起始点 z0 出发绕一条包围点 a 的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点 z0 时，函数 F(z)从一个支变到另一个支，则称点a 为函数 F(z)的支点 根式函数 w?nz 的每个单值支在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解析函数 指数函数 定义 3.5 设 z?x?iy
13、，称 ez?ex(coys?i?siny) （3.2） 为指数函数，其等式右端中的 e 为自然对数的底，9即 e?2.71828? 对任意二复数 z1?x1?iy1 与z2?x2?iy2,有 ez1?ez2?ez1?z2 ez 在复平面上为解析函数，且有(ez)?ez 对任意一复数 z?x?iy，有 ez?ex,Arg(z)?y?2k （k：整数） ez 只以 2ki(k 为整数)为周期 ez1?ez2 的充分必要条件是 z2?z1?2ki （k 为整数） limezz? 不存在 设 z?x?iy，若 y?0，则 ez?ex；若 x?0，则 eiy?cosy?i?siny 这便是欧拉公式 若
14、z?x?iy，则 ez?ez 例 1 试证 e?z?1ez 证：设 z?x?iy，由定义得及（实）三角函数的性质得 e?z?e?xcos(?y)?i?sin(?y) 6 ? ?cosy?i?siny xe(coys?i?siny)(coys?i?siny) xe(coys?i?siny)2co2sy?siny ?x 10e(coys?i?siny) ?1ez 对数函数 定义 3.6 设 z?0,?，称满足 ew?z 的 w 为 z 的对数函数，记作 w?Lnz 令 z?rei?,z?0,?,w?u?iv 由定义 3.6 可得 w?Lnz ?lnr?i(?2k) ?lnz?iArzg 即对于每一个 z?0,?，有无穷个不同的w，即有 ? ? ? w2?lnz?i(?4k) w1?lnz?i(?2k) w0?lnz?i? w?1?lnz?i(?2k) w?2?lnz?i(?4k) ? ? ? 与之对应，因此，对数函数为多值函数，从而，它不是解析函数 例 2 计算 Ln(1?i) 解： Ln(1?i)?ln1?i?iArg(1?i) ?12ln2?i(4?2k) 三角函数 定义 3.7 设 z 为复数，称
