1、12008 年复变试题一选择题（每题 3 分，共 27 分）1. 下列函数中，在有限复平面上解析的函数是（ D ）（A） （B） iyxyx)2(2iyx2（C） （D）i iyx3232 设 C 是从 到 的直线段，则积分 （ D ）2dzeC（） （） （） （） 1)1(i)1(i设 C 为曲线 ：从到的下半单位圆周和曲线 ：从到的直线构成的封1 2C闭曲线，则 （ A ）dz)(（） （） （）（）ii.设函数 的泰勒展开式为 ，那么幂级数 的收敛半径zctgnnzc)2(0 nnzc)2(0（ C ）（） （）（） （）2.设 ，则 （ B ）)()( 22yxiyxzf )21(i
2、f（） （） （） （）i1i1i.下列命题中，正确的是（ C ）（）设 在区域 内均为 的共轭调和函数，则必有21,vDu21v（）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（）设 在区域 内解析，则 为 内的调和函数iuzf)( xuD（）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数 .设 为函数 的 级极点，那么 （ D ）0zzesin1m（）（）（）（）.设函数 的拉普拉斯变换 ，则 （ B ）)(tf )(sFtfLtdfL30)(（） （） （） （）31sF)3(1ss2.设函数 的傅立叶变换为 ，则函数 的傅立叶变换为)(tf )()Ftf)2(tft（ A ）（） （）)2()(4Fi
3、)()2(4i（） （）2二填空题（每题分，共分）.已知 ，则5)1(iiz6z_ i8.复数 的主值为i1_ 2ie.解析函数 的实部 ，则ivuzf)( 23xy_)(zf Rciz,.积分 由此计算_,_21|dzz_cos45200, 0.设 其中 ，则,)()(1|3dzzf 1|z _)6(f_2f 0,2i. 0_)1(3|2zdz.函数 在 处的泰勒展开式（至少写到含 的项）为ze03z_321z8.在扩充复平面上函数 的孤立奇点为（写出类型）4sin)(zf在孤立奇点处留数为 _(三级极点) ， 本性奇点 ；0z61),(Re,610),(Rezfszfs9.已知 ，则 的拉
4、普拉斯逆变换为1)(23seF)(sF_ )3(intut310 设 ，则 的傅立叶逆变换为12)(F)(F_|te三 （10 分）将函数 在适当的圆环域内展开成含 的幂的洛朗级数。2)(zizfiz解： 奇点为 。2)(1zizf 0,.i（1） |0i，21)(zizf 1102 )()( )(1)()1nnn iziizi izii所以121 )()()( nnn iziiizf（2） ，|i 2)(zif 02021 02)()(1)( )()1()()1nnnn nnizizi iziziziizz03)(1nnif4四 （9 分）计算函数 的傅立叶变换，并计算广义积分tttf1,0
5、0,1)(的值。0sin)co1(2dt解： iidtetetfFii cos2 1001 dtdtiti dtitiitf ti0sn)co1(2cos)1(ncos)( )sn)(1(2)2)所以 1,20,12,0,0)(sin)co1(20 tttttfdt五 （8 分）用拉普拉斯变换及其逆变换求解微分方程组 满足初 )1(2)(2tutytx始条件 的解。0)(0yx解：设 取 laplace 变换得),(,sYtLsXtL将初始条件代入得 seysysYxs 2)0()0()(223sesX)()(3250)()1;()(0),2,2()()33tyuxseXesYsseXss六 （6 分）如果 内 解析且 ，证明|z)(zf |1|)(|zf,21!2|)0(|1nfn证明： !)1()1(!2)1(2!)1(2! |)(|)(|)(| 11 nrrnrndsrn dszdszfzfif nCn CC 令 ，即得 !|)0|f
