1、1,第八节 函数的连续性与间断点,函数的连续(continuity),函数的间断点,(discontinuous point),第一章 函数与极限,2,1. 函数的增量,自变量,:自变量在,的增量;,:函数的,增量.,一、函数的连续性,3,连续,2. 连续的定义,定义1,设函数 f (x)在,内有定义,称函数f (x)在x0处,x0为函数f (x)的,连续点.,定义2,若,称函数f (x)在x0处,连续.,充分必要条件,4,连续性的三种定义形式不同,本质相同.,f (x)在,内有定义;,(1),(2),(3),三个要素:,定义3,存在;,5,例,证,都是连续的.,6,例,证,试证函数,在 x=
2、0 连续.,7,3. 左、右连续,左连续,右连续,左连续,右连续,8,定理1,判定分段函数在分段点处的连续性.,9,例,解,右不连续.,所以,：左连续,10,4. 连续函数(continous function)与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,在开区间,右连续,左端点,右端点,continuous,左连续,连续函数,连续区间.,内连续,11,有理整函数(多项式),内是连续的.,有理分式函数在其定义域内连续。,有理分式函数,只要,都有,有理整函数在,12,定义4,出现如下情形之一:,二、函数的间断点及其分类,无定义;,不存在;,间断点.,是一条无缝隙的连绵而不断的曲线.,连续函数的图形,
3、13,间断点分为两类:,第二类间断点,第一类间断点,及,均存在,及,中至少一个不存在.,若,可去间断点.,若,跳跃间断点.,若其中有一个为振荡,若其中有一个为,无穷间断点.,振荡间断点.,14,例,函数,无定义,为f (x)的 间断点.,皆不存在.,第二类,无穷型间断点.,15,例,有定义,不存在,为f (x)的 间断点.,第二类,无穷次振荡型间断点.,16,例,有定义,为f (x)的 间断点.,第一类,跳跃间断点.,17,例,讨论函数,解,为函数的 间断点.,第一类,可去间断点。,连续.,18,则可使x0变为连续点.,对可去间断点x0,如果,于A,(为什么称为可去间断点?),使之等,补充 x
4、0的函数值,或改变,19,如补充定义:,如,但,20,总结两类间断点:,第一类间断点:,跳跃型,第二类间断点:,无穷型,可去型,无穷次振荡型,极限与连续之间的关系:,f (x)在x0点连续,f (x)在x0点存在极限,21,练习,解,函数无定义,是函数的间断点.,是函数的第二类间断点,且是无穷型.,是函数的第一类间断点,且是跳跃型.,并指出其类型.,22,练习,设,解,23,无穷型,无穷次振荡型,三、小结,1. 函数在一点连续的三个定义、,2. 区间上的连续函数;,3. 函数间断点的分类:,间断点,第一类间断点:,跳跃型,可去型,第二类间断点:,三个条件;,24,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,无穷次振荡型,第二类间断点,25,思考题,(是非题),非,如,处处连续.,但,不连续.,是,
