1、第七节 函数的连续性与间断点,一 、 连续函数的概念,设 在U(x0)内有定义,称 x=x-x0 为自变量在 x0 处的改变量(或增量);称y=f(x)f(x0)=f(x0+x)f(x0)为函数值的改变量(或增量).,定义1 设函数 在点 的某一邻域内有定义,若 或 或 ，则称函数 在点 处连续.,*亦可用 语言表述.,定义2 (左连续和右连续的概念),若 ,则称函数 在点 处左连续.,若 ,则称函数 在点 处右连续.,所以定义可简化为:,解：因为,所以,故函数在点 处的连续.,解 因为,要使 在 处连续，则必须,解得 .,定义3 若 在 内每一点连续,则称 在 内连续; 若区间包括端点, 在
2、左端点 处是右连续,右端点 处是左连续,则称在闭区间 上是连续函数.,例如 在 R 上是连续函数.,例3 证明 在 R 上是连续函数.,二、函数的间断点及其分类,定义4 设函数 在 或 内有定义.若 不是 的连续点,则称 是 的间断点.,存在,但是,若 是 的间断点,则可能出现的情况有:,（1） 在 处有定义,不存在,称 为可去间断点.,称 为跳跃间断点,称 为第二类间断点,统称为第一类间断点,（2） 在 处没定义,存在,为可去间断点.,不存在, 讨论同(1).,例4 在 处有定义，且,，但 ，,所以 为函数 的第一类(可去)间断点.,例5 在 处有定义，但,不存在，所以 为 第一类间断点.,
3、例6 在 处无定义，所以,为函数 的间断点.,因,故 为 的第二类间断点(也称无穷间断点).,例7 Dirchlet 函数处处不连续,每点是第二类间断点.,例8 求 的间断点，并判断其类型.,解：由 ，,得 ( ）,由于,所以 为 的第一类间断点； ( )为 的第二类间断点.,例9 讨论 的连续性,若有间断点 判断其类型.,解,当 时，,当 时，,当 时，,所以,在 处，,所以 为 的第一类间断点.,同理 也是 的第一类间断点.,定理1 若函数f 在a,b上有定义且单调，则 f 在a, b内若有间断点，只能是第一类间断点。,定理2 若函数 f 在点x0处连续，则 f 在x0的某个邻域内有界。,定理3 若 在点 连续且 ， 则存在 的某一 ，当 时，,证：因为,不妨设 ，则由局部保号性定理知 存在 ，使得当 时，,思考,反之不成立.,例,但,
