函数的间断点及其分类

1、1.9 函数的连续性与间断点,1 判断间断点的类型,教学要求：理解函数连续的概念，会判断 函数间断点的类型,重点内容：,2 根据连续性确定某些数的取值,一、函数的连续性,1.函数的增量,注：增量可为正亦可为负,解,2.连续的定义,注意：函数在某点的连续性与函数在该点的定义有关,例2,证,由定义2知,例 3,证,设,则,由此可见，,即,3.单侧连续,定理,例4,解,右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,例5,证,注：,二、。

2、,第八节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的连续性,与间断点,第一章,一、函数的连续性,二、函数的间断点,一、函数的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,例1,证,由定义2知,3.单侧连续,定理,例2,解,右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,例3,证,二、函数的间断点,1.跳跃间断点,例4,解,2.可去间断点,例5,解,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,如例5中,跳跃间断点与。

3、1. 增量,一、函数的连续性,第八节 函数的连续性与间断点,2. 连续的两个等价的定义,定义1,定义2,例1,解:,由函数连续的定义知,3.单侧连续,定理,例2,解:,练习：,解:,4.其它一些称法,二、函数的间断点,定义,间断点的三种情形：, 跳跃间断点,例3,解:,解:,例4, 可去间断点,间断点的分类:,定义,例5,解:,无穷间断点,例6,解:,振荡间断点,判断下列图形中的间断点的类型:,第一类间断点,（跳跃间断点）,第二类间断点,（半无穷间断点）,第一类间断点,（可去间断点）,练习,解:,思考题,解答：,解：,反例,解：,解：,1. 函数在一点处、区间内(上)连续的概念。

4、第七节 函数的连续性与间断点,一 、 连续函数的概念,设 在U(x0)内有定义,称 x=x-x0 为自变量在 x0 处的改变量(或增量);称y=f(x)f(x0)=f(x0+x)f(x0)为函数值的改变量(或增量).,定义1 设函数 在点 的某一邻域内有定义,若 或 或 ，则称函数 在点 处连续.,*亦可用 语言表述.,定义2 (左连续和右连续的概念),若 ,则称函数 在点 处左连续.,若 ,则称函数 在点 处右连续.,所以定义可简化为:,解：因为,所以,故函数在点 处的连续.,解 因为,要使 在 处连续，则必须,解得 .,定义3 若 在 内每一点连续,则称 在 内连续; 若区间包括端点, 在左端点 处是右。

5、1,思考与练习,2,3.,3,4,x = 2 是第二类无穷间断点 .,答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,解,为间断点,5,5.,6,解,右连续但不左连续,7,6. 求极限,8,间断点的类型.,7. 确定函数,9,解: 间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,。

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7、,一、函数的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,例1,证,由定义2知,3.单侧连续,定理,例2,解,右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,例3,证,二、函数的间断点,1.跳跃间断点,例4,解,2.可去间断点,例5,解,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,3.第二类间断点,例6,解,例7,解,注意 不要以为函数的间断点只是个别的几。

8、1,1基本初等函数的连续性,结论1 基本初等函数在其定义区间内都是连续的,连续函数的图象是一条连续不间断的曲线,1.6.2 初等函数的连续性,2,2连续函数的和、差、积、商的连续性,定理1.4 设函数f(x)和g(x)在x0处连续，则它们的,和、差、积、商（分母不等于零）在点x0处也连续,显然它们的和差积商,例如，函数y=sinx和y=cosx在 处是连续的,在 处连续,3,3初等函数的连续性,结论 初等函数在其定义区间内是连续的.,根据定理可知，如果x0是初等函数f(x)定义区间内的点,那末求当x x0 时的极限，只要求f(x)在点x0 的函数值就可以了即：,4,5,1.6.3 函。

9、1,1基本初等函数的连续性,结论1 基本初等函数在其定义区间内都是连续的,连续函数的图象是一条连续不间断的曲线,1.6.2 初等函数的连续性,2,2连续函数的和、差、积、商的连续性,定理1.4 设函数f(x)和g(x)在x0处连续，则它们的,和、差、积、商（分母不等于零）在点x0处也连续,显然它们的和差积商,例如，函数y=sinx和y=cosx在 处是连续的,在 处连续,3,3初等函数的连续性,结论 初等函数在其定义区间内是连续的.,根据定理可知，如果x0是初等函数f(x)定义区间内的点,那末求当x x0 时的极限，只要求f(x)在点x0 的函数值就可以了即：,4,5,1.6.3 函。

10、间 断 点 的 分 类,淮南职业技术学院,由函数连续的定义。,1.设函数 y = f (x) 在 x0 点及其附近有定义，,如果函数 f (x) 在 x0 点处连续。,2.,2.,存在,3.,函数的间断点？,如果x0是函数 f(x) 的 不连续点，即 x0 是函数的间断点，,称x0是函数 f(x) 的 可去间断点，,称x0是函数 f(x) 的 跳跃间断点，,1. x0点的左右极限都存在 （第一类间断点）,2. x0点的左右极限至少有 一个不存(第二类间断),1）,2）,函数的间断点？,如果x0是函数 f(x) 的 不连续点，即是 x0 函数的间断点，,称x0是函数 f(x) 的 无穷间断点，,1）,2）,或,1. x0点的左右极限。

11、1.5.3 函数的间断点及其类型,p17, a-b=0, a-b0,说明a与b相等的,说明a与b接近（几乎）相等 （a与b是紧紧挨着的）,极限概念当中的“无穷小”是可以描述“紧紧”跟随,复习,“紧紧”跟随,四个字概括连续函数图像的特点是：,b,b,3,1. 间断点的定义,在某点没定义,极限不存在,极限与函数值不相等,4,2、间断点图形举例：,函数在一点间断，其图形在该点断开.,5,间断点图形举例：,函数在一点间断，其图形在该点断开.,不见了,在某点没定义,极限不存在,极限与函数值不相等,6,间断点图形举例：,函数在一点间断，其图形在该点断开.,在某点没定义,极限不。

12、1.10 函数的间断点及其类型11. 间断点的定义间断点的定义2oyx oyxoyxoyx间断点图形： 函数在一点 间断 ，其图形在该点 断开 .3可能是连续点 ,初等函数 无定义的点是 间断点 .分段函数 的分段点 可能是间断点 , 也需要判定 .4跳跃 间断点与 可去 间断点统称为 第一类 间断点 .特点第一类间断点2. 间断点的分类间断点的分类5例解第二类间断点6例解7例解8例解注意 不要以为函数的间断点 只是个别的几个点 .9总结 两类 间断点 :第一类间断点 : 跳跃型 ,第二类间断点 : 无穷型 ,可去型无穷次振荡型极限与连续之间的关系 :f(x)在 x0 点连续 f(x)。

13、1,1.10 函数的间断点 及其类型,2,1. 间断点的定义,3,间断点图形：,函数在一点间断，其图形在该点断开.,4,可能是连续点,初等函数无定义的点是间断点.,分段函数的分段点可能是间断点,也,需要判定.,5,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,第一类间断点,2. 间断点的分类,6,例,解,第二类间断点,7,例,解,8,例,解,9,例,解,注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,10,总结两类间断点:,第一类间断点:,跳跃型,第二类间断点:,无穷型,可去型,无穷次振荡型,极限与连续之间的关系:,f(x)在 x0 点连续,f(x)在x0点存在极限,11,判断下列间。

14、,2. 间断点的分类,1.5.6 函数的一致连续性,例9 考察下列函数的连续性和一致连续性,习,题,1.5,A 5；8(2)(3)(4)；9(2)(3)(5)；12(2)(3)；13(1)(3)；14； B 2；5.,作,业,。

15、二、 函数的间断点及其分类一、 函数连续性的概念第八节函数的连续性三、连续函数的运算法则四、 初等函数的连续性第 一 章一、函数连续性的概念第一类 (可去 )间断点第一类 (跳跃 )间断点第二类 (无穷 )间断点第二类间断点xyOxyOxyOxyO11定义 1.10.)()(00内有定义的某邻域在点设 xUxxf1.函数在一点连续的定义存在；)(lim)1(0xfxx若)()(lim)2(00xfxfxx=则称函数 .)(0处连续在点 xxf注1函数在一点连续的等价定义之一设有函数 y = f (x). 当自变量 x 从增量概念 :0x 变到,0xx +x则称 为 自变量的增量 (或改变量 ).若相应地函数 y 从)(0xf ),。

16、函数的间断点及其分类,主讲教师： 冯静,函数的间断点及其分类,图1,图2,图3,定义3 若函数 在点 满足 下列条件之一：, 在点 无定义；（如图1所示， 在 处间断。）, 不存在；（如图2所示， 在 处间断。）, .(如图3所示, 在 处间断。）,则称点 为函数的间断点或不连续点,2、间断点的分类,（1）第一类间断点； ：极限 与 都存在的间断点称为第一类间断点。第一类间断点又分为两种情形，即可去间断点与跳跃间断点。,第一类间断点的特点：函数在该点左右极限都存在可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点。,（1）第一类间断点；：极限nm +f（x。