1、2018 届河北省邯郸市高三第一次模拟考试数学（理）试题（解析版）第卷一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数 ，则 （ ）A. -1 B. 1 C. D. 【答案】A【解析】 选 A.2. 设全集 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，选 B.3. 某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为 0.8，0.7，0.6，只有通过前一天才能进入下一关，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（ ）A. 0.56 B. 0.336 C. 0.32 D
2、. 0.224【答案】D【解析】该选手只闯过前两关的概率为 ，选 D.4. 的内角 ， ， 所对的边分别为， ，.已知 ， ，且 ，则 （ ）A. 6 B. C. D. 7【答案】A【解析】因为 所以 选 A.5. 如图，网格纸上小正方形的边长均为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】C【解析】几何体如图，所以体积为 ，选 C.6. 若函数 在 上是增函数，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得，选 A.7. 记不等式组 ，表示的平面区域为 ，点 的坐标为 .有下面四个命题： ， 的最小值为 6
3、； ： ， ；： ， 的最大值为 6； ： ， .其中的真命题是（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】C【解析】作可行域如图：则 过点（4， -2），z 取最大值 6，最小值为 O 到直线 距离的平方，即 ；最大值为 O 到点（4，-2）距离的平方，即为 20；所以 ， 为真命题，选 C.8. 若 的展开式中 的系数为 80，其中 为正整数，则 的展开式中各项系数的绝对值之和为（ ）A. 32 B. 81 C. 243 D. 256【答案】C【解析】由题意得 ，的展开式中各项系数的绝对值之和为 ，选 C.9. 我国古代数学名著九章算术里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百
4、；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田 1 亩价值 300 钱；坏田 7 亩价值500 钱.今合买好、坏田 1 顷，价值 10000 钱.问好、坏田各有多少亩？”已知 1 顷为 100 亩，现有下列四个程序框图，其中 的单位为钱，则输出的 ， 分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设好田为 x,坏田为 y，则A 中 ； B 中正确；C 中 ；D 中 ，所以选 B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数
5、、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10. 若仅存在一个实数 ，使得曲线 ： 关于直线 对称，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，选 D.【点睛】函数 的性质(1) .(2)周期(3)由 求对称轴(4)由 求增区间; 由 求减区间11. 设正三棱锥 的高为 ，且此棱锥的内切球的半径为 ，若二面角 的正切值为 ，则（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】C【解析】取线段 AB 中点 D，设 P 在底面 ABC 射影为 O，设 AB=a,则 ， 为二面角的平面角， ，,选 C.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时
6、，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.12. 设双曲线 ： 的左顶点与右焦点分别为 ， ，以线段 为底边作一个等腰 ，且 边上的高 .若 的垂心恰好在 的一条渐近线上，且 的离心率为，则下列判断正确的是（ ）A. 存在唯一的，且B. 存在两个不同的，且一个在区间 内，另一个在区间 内C. 存在唯一的，且D. 存在两个不同的，且一个在区间 内，另一个在区间 内【答案】A【解析】由题意可设 ，可得
7、 的垂心 H ，因为 的垂心恰好在 的一条渐近线上，所以，所以存在唯一的，且 ，当 时 无零点，选 A.点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13. 在平行四边形 中，若 ，则 _【答案】2【解析】在平行四边形 中， ，且 ，则，所以 ；故填
8、 1.14. 若圆 ： 的圆心为椭圆 ： 的一个焦点，且圆 经过 的另一个焦点，则圆的标准方程为_【答案】【解析】 ，即圆 的标准方程为 .15. 若 ， ，则 _【答案】2【解析】因为 ，所以 ， ， ，即 .16. 已知集合 ， ， ，若集合 的子集的个数为 8，则的取值范围为_【答案】【解析】作函数 图像，因为集合 的子集的个数为 8，所以集合 的子集的元素为 3，因此 ，即 的取值范围为点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋
9、势，分析函数的单调性、周期性等三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17. 已知数列 ， 的前 项和分别为 ， ， ，且 .（1）求 ；（2）求数列 的前 项和 .【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）先根据分组求和法分成一个等差与一个等比数列的和的和，再分别求和， （2）因为 ，所以利用错位相减法以及分组求和法求和.试题解析：解：（1）依题意可得 ， ， ， .（2） ， ， .又 ， . ， ，则 ， ，故 .点睛：用错位相减法求
10、和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.18. 某大型超市在 2018 年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有 3 个红球，3 个黄球和 1 个蓝球（这些小球除颜色外大小形状完全相同） ，从中随机一次性取 3 个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下：凡购物满 100（含 100）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会；凡购物满 188（含 18
11、8）元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会；若取得的 3 个小球只有 1 种颜色，则该顾客中得一等奖，奖金是一个 10 元的红包；若取得的 3 个小球有 3 种颜色，则该顾客中得二等奖，奖金是一个 5 元的红包；若取得的 3 个小球只有 2 种颜色，则该顾客中得三等奖，奖金是一个 2 元的红包.抽奖活动的组织者记录了该超市前 20 位顾客的购物消费数据（单位：元） ，绘制得到如图所示的茎叶图.（1）求这 20 位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精确到整数部分） ；（2）记一次抽奖获得的红包奖金数（单位：元）为 ，求 的分布列及数学期望，并计算这 20 位顾客（假定每
12、位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖）在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值.【答案】 （1）中位数为 110，平均数为 131（2）【解析】试题分析：（1）根据数据得中位数，根据平均数定义得平均数， （2）先确定随机变量取法，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求均值.试题解析：解：（1）获得抽奖机会的数据的中位数为 110，平均数为 .（2） 的可能取值为 2，5，10，则 的分布列为2 5 10故 .这 20 位顾客中，有 8 位顾客获得一次抽奖的机会，有 3 位顾客获得两次抽奖的机会，故共有 14 次抽奖机会.所以这 20 位顾客在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值为 元.19.
13、如图，在各棱长均为 2 的正三棱柱 中， ， 分别为棱 与 的中点， ， 为线段上的动点，其中， 更靠近 ，且 .（1）证明： 平面 ；（2）若 与平面 所成角的正弦值为 ，求异面直线 与 所成角的余弦值.【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）根据正三角形性质得 ，结合线面垂直得 .因此可得 平面 ，即 .再根据 ，得 平面 ， （2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解平面 法向量，根据向量数量积求夹角，再根据线面角与向量夹角互余关系列方程，解得 N 坐标，最后根据向量数量积求异面直线 与 所成角的余弦值.试题解析：解：（1）证明：由已知得 为正三角形， 为
14、棱 的中点， ，在正三棱柱 中， 底面 ，则 .又 ， 平面 ， .易证 ，又 ， 平面 .（2）解：取 的中点 ， 的中点 ，则 ， ，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ，设 ，则 ，易知 是平面 的一个法向量， ，解得 . ， ， ， ， ，异面直线 与 所成角的余弦值为 .20. 已知 ，抛物线 ： 与抛物线 ： 异于原点 的交点为 ，且抛物线 在点 处的切线与 轴交于点 ，抛物线 在点 处的切线与 轴交于点 ，与 轴交于点 .（1）若直线 与抛物线 交于点 ， ，且 ，求 ；（2）证明： 的面积与四边形 的面积之比为定值.【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（1）先联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理以及弦长公式列方程，解得 p，再根据向量数量积求 ；（2）先求 M 坐标，再求直线 方程，进而求得 A,B,C 坐标，即得面积，最后作商.试题解析：（1）解：由 ，消去 得 .设 ， 的坐标分别为 ， ，则 ， . ， ， . .
