1、双基限时练( 二十三)1已知空间四点 A(0,1,0)，B (1,0， )，C(0,0,1)，D(1,1 ， )，则12 12直线 AC 与 BD 的夹角为( )A. B.6 4C. D.3 2解析 (0，1,1)， (0,1,0) ，AC BD cos ， .AC BD AC BD |AC |BD | 12 22AC 与 BD 的夹角为 .4答案 B2已知两异面直线 a，b 所夹的角为 ，直线 c 与 a，b 所夹的3角都是 ，则 的取值范围是( )A ， B ， 3 2 6 2C ， D ， 6 56 3 23解析 由两直线的夹角在0， 内知，选项 C，D 被排除当将2直线 a，b 平移在
2、过点 O 的平面上时，直线 c 也平移在这个平面上，且当 c 平分 a 与 b 的夹角时， 最小为 .6答案 B3平面 与平面 交于 l，自一点 P 分别向两个面引垂线，垂足分别为 A，B ，则 APB 与 ， 夹角的大小关系是( )A相等 B互补C相等或互补 D不能确定解析 当点 P 在平面 ， 夹角的内部时，APB 与平面 ，夹角互补；当点 P 在平面 ， 夹角的外部时，APB 与平面 ，的夹角相等答案 C4在矩形 ABCD 中，AB3，AD 4，PA平面 ABCD，PA，那么二面角 ABDP 的大小为( )435A30 B45C 60 D75解析 建立空间直角坐标系 Axyz ，如图所示
3、由AB3，AD4，得 B(3,0,0)，D(0,4,0)，P(0,0， )435 (3,0， )， (3,4,0)PB 435 BD 设平面 PBD 的法向量 m(x ，y，z)，则由m 0，m 0，得 Error!PB BD 令 z 5，则 m( ， ，5)433 3又 n (0,0， )为平面 ABCD 的法向量，AP 435cos m，n .mn|m|n| 431033 435 32m，n 30，即二面角 ABDP 的大小为 30.答案 A5已知ABC 的顶点坐标为 A(1,1,1)，B(2,2,2)，C(3,2,4)，则ABC 的面积是( )A. B.64 72C. D462解析 (1
4、,1,1)， (2,1,3)，cos ， AB AC AB AC .6314 427sinA .77S ABC | | |sinA12AB AC .12 3 14 77 62答案 C6如下图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，ABBC2 ，AA 11，则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为( )A. B.63 255C. D.155 105解析 建立坐标系如图所示则 A(2,0,0)，B(2,2,0)，C 1(0,2,1)，B 1(2,2,1)，连接 B1D1 交 A1C1于 O，则 是平面 BB1D1D 的一个法向量，由OC1 A1(2,0,1)，C 1(0,2,1)知
5、O(1,1,1)， (1,1,0)， (2,0,1) OC1 BC1 cos ， .OC1 BC1 225 105设 BC1 与平面 BB1D1D 成的角为 ，则 sincos ， .OC1 BC1 105答案 D7ABC 的边 BC 在平面 内，顶点 A，ABC 边 BC 上的高与平面 所夹的角为 ，ABC 的面积为 S，则ABC 在平面 上的投影图形面积为_解析 ABC 在平面 内的投影三角形为 ABC，它的高AD ADcos(AD 为ABC 的高) ，S A BC BCAD BCADcosScos.12 12答案 Scos8给出四个命题：若 l1l 2，则 l1，l 2 与平面 所成的角
6、相等；若 l1，l 2 与平面 所成的角相等，则 l1 l2；l 1 与平面 所成的角为 30，l 2l 1，则 l2 与平面 所成的角为 60；两条异面直线与同一平面所成的角不会相等以上命题正确的是_解析 正确不正确，l 1 与 l2 不一定平行不正确，l 2 与平面 所成角不确定不正确，有可能相等答案 9如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别是棱CD、 CC1 的中点，则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是_解析 以 D 为原点，DA，DC，DD 1 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图，设 AB1，则 D(0,0,0)，N ，M(0，1，12)，A 1(1
7、,0,1)，(0，12，0) ，DN (0，1，12) ，MA1 (1， 12，1) 101 10，DN MA1 ( 12) 12 ，A 1M 与 DN 所成的角的大小是 90.DN MA1 答案 9010已知长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABBC1 ，AA 12， E 是侧棱 BB1 的中点求直线 AE 与平面A1ED1 所成的角的大小解 以 D 为原点，DA，DC，DD 1 分别为 x，y，z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系由题意 A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D 1(0,0,2)，A(1,0,0)(0,1，1)， (1,1，1)， (0，1，1) A1E D1E EA
8、设平面 A1ED1 的一个法向量为 n(x，y ，z) 则Error!Error!令 z 1 得 y1，x0.n(0,1,1)，cosn ， 1.EA nEA |n|EA | 22 2n， 180.EA 直线 AE 与平面 A1ED1 所成的角为 90.11在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC平面 ABC， SASC2 ，M，N 分别为 AB，SB 的中点3(1)证明： ACSB；(2)求二面角 NCMB 的余弦值；(3)求点 B 到平面 CMN 的距离解 (1) 证明：取 AC 中点 O，连接 OS，OB.SA SC，ABBC，ACSO 且 ACBO.平面
9、SAC平面 ABC，平面 SAC平面 ABCAC，SO面 ABC，SO BO.如图所示建立空间直角坐标系 Oxyz.则 A(2,0,0)，B(0,2 ，0)，C(2,0,0)，S(0,0,2 )，M (1， ，0)，3 2 3N(0， ， )3 2 (4,0,0) ， (0,2 ，2 )AC SB 3 2 (4,0,0)(0,2 ，2 )0，AC SB 3 2ACSB.(2)由(1)得 (3 ， ，0)， ( 1,0， )设 n(x，y ，z)CM 3 MN 2为平面 CMN 的一个法向量，则Error!取 z1，则 x ，y .2 6n( ， ，1) 2 6又 (0,0,2 )为平面 ABC
10、 的一个法向量 ，OS 2cos n ， .OS nOS |n|OS | 13二面角 NCMB 的余弦值为 .13(3)由(1)(2)得 ( 1， ，0)，n( ， ，1)为平面 CMNMB 3 2 6的一个法向量，点 B 到平面 CMN 的距离 d .|nMB |n| 42312如图，在五面体 ABCDEF 中，FA平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M 为 EC 的中点，AFABBCFE AD.12(1)求异面直线 BF 与 DE 所成角的大小；(2)证明平面 AMD平面 CDE；(3)求二面角 ACDE 的余弦值解 如图所示，建立空间直角坐标系 Axyz.设 AB1，依题意得 B(1,0,0)，C (1,1,0)， D(0,2,0)，E(0,1,1)， F(0,0,1)，M( ，1， )12 12(1) (1,0,1)， (0，1,1)，BF DE
