1、1,第四节,一、函数单调性的判定法,二、曲线的凹凸与拐点,函数的单调性与,曲线的凹凸性,第四章,2,主要内容, 函数的单调性, 曲线的凹凸性与拐点,3,函数的单调性与导数符号的关系,函数单调增加,函数单调减少,4,函数单调性的判定定理,定理,设函数 y = f (x) 在 a, b 处连续, 在 (a, b) 内可导.,(1) 如果 f (x) 0, x (a, b), 则 f (x) 在 (a, b) 上,单调递增;,(2) 如果 f (x) 0, x (a, b), 则 f (x) 在 (a, b) 上,单调递减.,5,例,解,1) 讨论函数 y = ln x 的单调性.,2) 讨论函数
2、y = e xx1 的单调性.,y 0,y 在 (, 0) 上单调递减;,当 x 0时,y 0,y 在 (0, +) 上单调递增.,解,ln x 在 (0, +) 上单调递增.,当 x 0时,6,解,f (x) = 6 x218 x + 12,= 6 (x1)( x 2),令 f (x) = 0 得:,x1 = 1, x2 = 2,当 x 1时,f (x) 0,在 (, 1) 上单调递增;,当 1 x 2时,f (x) 0,在 (1, 2) 上单调递减;,当 2 x + 时,f (x) 0,在 (2, +) 上单调递增.,求函数 f (x) = 2 x3 9 x2 + 12 x 3 的增减性.
3、,例1,7,求函数 f (x) = 2 x3 9 x2 + 12 x 3 的增减性.,解,f (x) = 6 x218 x + 12,= 6 (x1)( x 2),令 f (x) = 0 得:,x1 = 1, x2 = 2,(, 1),(1, 2),(2, +),1,2,也可用列表法讨论如下:,0,0,所以, 递增区间为: (, 1) 和 (2, +);,递减区间为: (1, 2).,例1,8,求函数 f (x) = (x + 2)2(x 1)3 的单调区间.,例2,9,求函数 f (x) = (x + 2)2(x 1)3 的单调区间.,解,f (x) = (x + 2)(5x + 4)( x
4、 1)2,令 f (x) = 0 得:,(, 2),1,列表讨论如下:,(1, +),1,0,0,0,例2,10,求函数 y = 的单调性.,解,当 x 0时,f (x) 0,在 (, 0) 上单调递减;,当 0 x + 时,f (x) 0,在 (0, +) 上单调递增.,当 x = 0时, 导数不存在.,例3,11,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,注意: 区间内个别点导数为零,不影响 区间的单调性.,例如,驻点,方法: 用驻点和不可导点来划分函数的定义区间, 然后判断区间内导数符号.,总结,12,利用函数的单调性证明不等式,例4,证,当 x 0 时, 证明 x ln(1 +
5、 x).,设 f (x) = x ln(1 + x),则,即 x ln(1 + x).,而 f (0) = 0,f (x) f (0) = 0.,当 x 0 时, f (x) f (0).,在 (0, +) 上单调递增,f (x) 在 (0, +)上连续, 在 (0, +) 内可导, 且 f (x) 0,13,例5,证,综上所述, 当 x 0 时, 总有 e x 1 + x,令 f (x) = e x (1 + x),则 f (x) = e x1,当 x 0 时,f (x) 0, f (x) 在 (0, +) 为增函数,即 e x 1 + x,f (x) f (0) = 0.,当 x 0 时,
6、f (x) 0, f (x) 在(, 0) 为减函数,即 e x 1 + x,f (x) f (0) = 0.,14,利用函数的单调性讨论方程的根,由连续函数的介值定理知,例6,证,证明方程 有且只有一个实根.,设,f (x) 在 (0, 1) 内至少有一个根.,又因为,所以, f (x) 在 (0, 1) 内有且只有一个实根.,f (x) 在 (0, 1) 上单调递增.,15,二、曲线的凹凸性与拐点,问题: 如何研究曲线的弯曲方向?,16,函数曲线除了有上升和下降外, 还有 什么特点？,17,曲线凹向的定义,如果在某区间内, 曲线弧位于其上任意一点的切线的上方, 则称曲线在这个区间内是上凹的
7、; 如果在某区间内, 曲线弧位于其上任意一点的切线的下方, 则称曲线在这个区间内是下凹的.,上凹,下凹,18,曲线凹向的定义,设 f (x) 在 a, b 上连续, 在 (a, b) 内可导. 如果对,(a, b) 中任意一点 x0, 总成立:,f (x) ( 0, x(a, b) 且 x x0,则称曲线在 a, b上是上 (下) 凹的. 连续曲线在上凹与,下凹的分界点, 称为拐点.,19,曲线的凹向与函数的导数的单调性,拐点,上凹,下凹,当曲线是上凹的时， f (x)单调增加。,当曲线是下凹的时， f (x)单调减少。,曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点。,20,定理,设函数 f (x)
8、在 a, b 上连续, 在 (a, b) 内二阶可导.,则曲线 y = f (x) 在 a, b 上是上凹的;,则曲线 y = f (x) 在 a, b 上是下凹的;,21,解,求函数 y = x3 的上凹、下凹区间及拐点.,拐点为 (0, 0).,例7,22,得,解,求函数 y = 3x 4 4 x 3 + 1的上凹、下凹区间及拐点.,上凹,下凹,上凹,拐点,拐点,令,例8,23,拐点的求法：,1. 找出二阶导数为零的点或不可导点；,2. 若它两边的二阶导数值异号, 则为拐点; 若同号, 则不是拐点.,24,求曲线 y = 的拐点.,解,当 x 0 时,x = 0 是不可导点, 都不存在.,点 (0, 0) 是曲线 的拐点.,例9,25,求曲线 y = 的拐点.,解,当 x 0 时,x = 0 是不可导点, 都不存在.,点 (0, 0) 不是拐点.,例10,26,小结, 函数的单调性, 曲线的凹凸性与拐点,27,作业,P169-170 2(5) 3(3) 4(2) 6 7,
