1、1,1.1 实数,一、实数与实数的绝对值 二、常用的实数集 实数:实数由有理数和无理数两部分组成.有理数总可以表示为分数p/q的形式,也可无理数只能表示为无限不循环小数.,有理数包括零、整数和分数.,以表示为整数、有限小数或无限循环小数的,一种.,2,实数与数轴上的点,规定为正向,反之UO方向为负向).,一点U表示正数1, OU就是长度单位;从O到U的方向,(直线上取一点O表示实数0,称为原点;在O的一侧取,(我们可以把数轴看成是实数的直观图形-几何,数轴上的点恰好与全体实数形成一一对应的,模型),即一个实数可以理解为数轴上的一个点.,有稠密性,而且具有连续性(实数间无“空隙”) .,有理数、
2、无理数都具有稠密性, 而实数不仅具,具备了原点、方向和长度单位的直线.,数轴,0,1,O,U,x,关系,3,绝对值有下列基本性质：,实数的绝对值,定义 设a为一个实数, 定义a的绝对值(记为|a|)为：,4,常用的实数集,全体实数的集合记为R, 全体自然数的集合记为N.,其它常见的实数集合表示方法如下：,闭区间：a, b = x| axb.,开区间：(a, b) = x| axb.,半开区间：(a, b = x| ax b, a, b) = x| a xb.,注 以上a、 b均满足a、bR, 且ab;,有一个为时,称为无穷区间;,邻域：,空心邻域:,左、右半邻域：,简记为,又当a、b 中,显然
3、R = (- ,+ ).,5,闭区间a,b,开区间(a,b),无穷区间(a,+),无穷区间(-,b),邻域,空心邻域,区间、邻域示意图,6,1.2 函数的概念,一、常量与变量,二、 函数概念及其表示,三、 分段函数,四、 定义域的求法,常量与变量:,常量: 在过程进行中始终保持不变的量.,变量: 在过程进行中可以取不同数值的量.,例如:,密闭容器内的气体加热,气体的体积和气体的分子,个数保持一定, 是常量; 气体的温度和压力是变量.,常量与变量是相对而言的，并非确定不变的.,函数关系:,指几个变量之间的某种确定的特殊联系方式.,7,引例1,圆面积,引例2,自由落体运动,引例3,引例4,函数关系
4、引例,8,函数的概念,定义,若对于每个数xD, 变量y按照一定对应法则 f ,唯一确定的数值和它对应,称D是函数f 的定义域, x为自变量，,当 xD 时, 称f (x)为函数在x处的函数值;,的全体组成实数集: Z=y| y=f (x), xD, 称其为函数 f,的值域.,为定义区间.,由于通常是通过函数值f (x)的变化来研究函数f 的,性质,故习惯上也称f (x)或y是x的函数.,当定义域为区间时,则称,设x和y是两个变量, D是一个给定的非空实数集，,y为因变量.,总有,则称f 是定义在D上的一个,函数, 记作y=f (x).,函数值,又定义域D常记为,9,因变量,对应法则f,自变量,
5、判定下面各组中两函数是否相同？,不相同,相 同,相 同,函数的两要素,10,函数的表示法,常用的函数表示法主要有三种：,公式法(引例1、2)，图示法(引例3)，表格法(引例4).,各种表示法各有其特点：,图示法使函数的变化表现得较直观，,表格法(如各种函数表、经济统计报表)便于求函数值，,而公式法便于运算和分析, 故在学习研究数学理论上,用得最多.,它们各有优缺点，应根据需要结合使用.,11,例,分段函数,分段函数 用公式表示函数时, 有时需要在定义域,的不同范围内分别用不同的解析式表示,注意 分段函数是一个函数, 而不是几个函数！,该函数完整的对应规则.,12,规定（前4级）其中应纳税所得额
6、为月收入减800元,每一种工资额都应有唯一交纳税额.,那么，收入x与个人所得税f(x)间的函数关系为：,分段函数应用示例(纳税),我国于1993年10月31日发布中国人民共和国个人所得税法,13,解,要使,有意义，必须有,例1,的定义域,求函数,例2,的定义域 Df ,求函数,解 要使上式有意义，须使：x 5 且 x -1,定义域的求法,故,约定 如未特别指明, 函数定义域,即为能使函数,表达式有意义的自变量的一切可取(实数)值范围.,14,例3,解,故 f(x+3)的定义域为：-3,-1.,分段函数求定义域示例,15,几个特殊函数,符号函数:,16,x表示不超过x的最大整数.,阶梯曲线,几个
7、特殊函数,y = x,取整函数:,17,几个特殊函数,狄利克雷函数:,18,几个特殊函数,取最值函数:,19,1.3 函数的基本特性,一、单调性,二、有界性,三、奇偶性,四、周期性,通过本节的学习, 了解函数的基本特性.,20,单调减少,单调增加,函数的单调性,设函数 f (x)在D上有定义. 如果对于区间 I ( I D ),内的任意两点,则称函数f (x)在区间 I 内是(严格)单调函数.,单调性细分为单调递增()和单调递减().,通常,可将,21,有界,无界,函数的有界性,设函数 f (x) 在 D上有定义, 如果存在一正数 M,使不等式 | f (x)| M 对任一xD都成立, 则称f
8、 (x)在,D上有界; 如果这样的M不存在, 则称f (x)在D上无界.,22,偶函数(图象关于y轴对称),奇函数(图象关于原点对称),函数的奇偶性,若xD,有f (-x) = f (x)成立,则称f (x)在D上为偶函数;,若xD,有f (-x) = -f(x)成立,则称f (x)在D上为奇函数.,设函数f (x)的定义域 D关于原点对称，,23,(1),奇函数.,(2),偶函数.,(3),既是偶函数又是奇函数.,(4),既非偶函数又非奇函数.,函数奇偶性示例,24,函数的周期性,注意 通常说周期函数的周期是指其最小正周期.,设函数f (x)的定义域为D, 若存在一个不为零的数l ,使得对任一xD, 恒有xl D, 且 f (xl) = f (x)都成立,则称f (x)是D上的周期函数, 称l为f (x)的周期.,
