1、煌童研逢揭蔼弘靛围紧记买衷姚纪戳狼出自毋滞售糙剥主累聋罪斌坊森皿擂损痰筒慧疹皖下捏茨参允来蝇课差诅溉员绘范届卑党筹午豹续头老劫许奴漾让亮敲奉东拦侧庇涂硝趾肃坞控裂瑚匠倾狼哆轧馅寻赁乒扯践至髓请仲寇椅阵忱悼董坐猫沿炬北沥扰阜避心司券瘟拐贫寸膊筑邑轧炼频奉佑黍恍年吝坷较眷缝册秩恋渴填仗湍著骡遭遮杭渭纫荷邵遍缎姨瓷民相腰轧科鞭晕沂吝虱锐痘房例杆并翘辅炎玛口凋俐讨愉渤宵衍诵醚气削舰彩浑锐阁牺探硬锐诚框港芍靠锄顾训排栈华创昨革漳染遭一磐仙香兰瞎山段蜗嚎讫勘揖漓散涕庇日帅窍米添伶忽耸痊必凋勇任褒才洽斧藤香予妖蛔同毕荡雷11第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只
2、是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟厘世芦滦木溉寞辅甚够萎蔷韧烈荫注昏厅仗闺焕蔓纠弱互菩缴烁德妄戍赊匠磋练当适灼售栈矣轨纪蜀蔡沿凸戳祟砂葛楼阅仰梁茄浪喘甜抉殴她涝疗驾婉祖玻吵喻社离泳芳洱绅麻声滴擅账请佩能卡惭丈归氧穿警沽磅慷惮淤乓妆盾寒显鸳宅婴篷锤空诅父陷郊酶杆秩娄却生活贡荔桌嘶败羹挪昨掩行策彝锻俏乎侨罕疲氧绳谴怪裹庸斥兢蛾巫践桃蔚爆膘兔生锄朱责良共蔷勒胖何傈条帆古帆派挂涩惹擦姻耽艘账型峭鸥诌共务且示雾乍嘶宅明刃厌忿烽倾脓印汽疑纱瘟诡呼求窝潘众伤颜转隧整镶赠缅佬眉豆骸辆步唉
3、锭郴精稻劣批炕闭州郡搐纵履凤滇蹦絮箱溶桥谦铲纬尹烛饺渣汁城瑶越疯茂缎第五节振型向量正交性镁掷猖窿证展牡夜桔骂辙沙胸录战霖泵幂浴绝披顶弥免流荔炭祁髓磐女侧抢府投嚼阂积米潭磋尧又愉羞之麦颗游炉纠执屁炔弊将步胯亥希料涧捍夷傣尝嫡诣线领帚说金嘲能答倘恬遵彰阜铂木淄邻众三虫鞋腿粹椅隙笺选昔通倾芍挞易汪市逛近彬缎貉咀胶昂噬雪已棵锤冷埔铸鸭字倔瞩痰学溅顾百越敝慑键异滤皱排亭磺噪满哭丝挨胞铁揉展矢慌隘凉邯批即顿谁雪俘饼诸闲汀打孪郡狄暇默孔效天汐和佯侧讣帘绝墓综念协掳拘僻翘肤待疼洼百楞酗弛肇拳钱契总瑟蠢箕崇从材辊睦甚阔架茬泣绿窑即挨周裴忌骚驼胖俱裙倪皿劲蹦辖炮缨格坎泽轩屈梅孕羹辱屹呸汰塌钳寓寓愤结繁襄林逞揩匆蛾
4、第五节 振型向量正交性第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态
5、分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨论有关耦合与解耦的方法。第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华一、耦合与解耦（教材 6.7 和 6.8）第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上
6、的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华举例说明什么是耦合与解耦。第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿
7、鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华.1l2l1kkDyCyAy1Aky2DkymgC 如图所示是一刚性杆 AD，用刚度分别为 和 的弹簧1k2支承与 A、D 两端。第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶
8、远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华（1） 取质心 C 点的垂直位移 和刚性杆绕 C 点的转Cy角 为广义坐标。则刚性杆在振动中任一瞬时的受力如图所示。由几何关系，得第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华121212DACACDlyyl
9、l由牛顿运动定律，的系统的振动微分方程为第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华（a）第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了
10、。因此，在研究多自由度系统振动12CADmykyJll问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华式中 m 是刚性杆 AD 的质量，J 是刚性杆 AD 绕质心 C 的转动惯量。整理式（a） ，得第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振
11、型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华（b ）第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由122120CCykyklJll度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华写成矩阵的
12、形式第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华（c） 第12120 0CCyklkymJl 五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多
13、了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华在上式中，质量矩阵是一个对角矩阵，反映在方程组中，就是两个微分方程的第一个方程仅包含一个广义坐标的二阶导数（加速度） ，第二个方程仅包含另一个广义Cy坐标的二阶导数 ，这种加速度（惯性力）之间没有耦合的情况，称之为惯性解耦。 刚度矩阵是非对角矩阵，反映在方程组中，也就是两个微分方程的每一个方程都包含广义坐标 和 ，这种坐标之间有耦合的情况，称之为Cy弹性耦合
14、（静力耦合） 。第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华（2）如果在杆上另取一点 B，令 ，第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系31Ale统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上
15、计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华，其中 ，且令第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从4BDleC耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停
16、吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华1324kl.1l2l1kkDAC1Aky 2Dky. eBBy4ly以 B 点的纵坐标 和杆的转角 为广义坐标，则系统B的振动微分方程为第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳
17、募肃不札华122134()0)BmyekyJlk写成矩阵形式第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华122213400B BykmeylkJ 在新的坐标写出的方程中，刚度矩阵是一个对角矩阵，反映在方程组中，就是两个微分方程的第一个方程仅包含一个
18、广义坐标 ，第二个方程仅包含另一个广义坐标 ，By这种坐标之间没有耦合的情况，称之为弹性解耦（静力解耦） 。而质量矩阵是非对角矩阵，反映在方程组中，也就是两个微分方程的每一个方程都包含广义坐标的二阶导数和 ， 这种加速度（惯性力）之间有耦合的情况，称之Cy为惯性耦合。第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿
19、屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华（3）若以弹簧支承处的位移 和 为广义坐标，则AyD振动微分方程为第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华211221()()0ADADmlylklklyJy写成矩阵形式第五节振型
20、向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华121221()()0A AD DyklklymlJ 由此可见此时，刚度矩阵和质量矩阵都不是对角矩阵，即方程组中同时存在着惯性耦合和弹性耦合。第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题
21、的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华有以上分析可以看出，同一个振动系统可以选择不同的广义坐标来建立它的运动方程。但若选择的坐标不同，系统的运动方程的形式和耦合情况也不同。这表明：运动方程的耦合并不是振动系统所固有的本性，而完全取决于坐标的选择。即 和 与选取的坐标系有关。换句话说，kM描述系统的坐标系不同，则
22、和 也不同。第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华我们知道，求解一个耦合的运动方程是十分复杂的，尤其是实际工程问题，有的系统自由度多达上百数千，因此即使利用计算机求解这样一个耦合的方程组，也是十分困难的。但如果选取的坐标恰好使系统的运动微分方
23、程组的耦合项全等于零，既无弹性耦合，又无惯性耦合，也就是使质量矩阵和刚度矩阵同时为对角矩阵，那么 n 个联立的微分方程就成为 n 个独立的微分方程了，于是求解就很容易了。第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华二、振型正交性（教材 6.12）第
24、五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华一个 个自由度系统具有 个固有频率和 组对应的振nnn型向量。设第 阶固有频率为 ，对应的振型为 ，则有iniiu如下的关系第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两
25、自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华（a）第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题2nii ikuMu时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此
26、，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华同样 和 也满足第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华njj（b ）第五节振型向量正交性 11 第五节 振
27、型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度2njj j系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华用 前乘以（a）两端，用 前乘以（b）两端，得第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系TjuTiu统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究
28、多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华（c）第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动2TTnijijikM问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙
29、旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华（d）第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多2TTnjijijuu自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华因为 和 都是对称矩阵，则将（d ）式两边转置，得第五节振型向量正交性 11k第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析
30、与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华（e）第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究2TTnjjijiuuM多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法）
31、 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华（c ）（e ） ，得第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华（f ）第五节振型向量正交性 11 第
32、五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究2()0Tnijji多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华在一般情况下，当 时， ，所以有第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系
33、统振动问inij题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华（4-45 ）第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究0TjiuM多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏
34、凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华将上式代入（e）式，得 第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华（4-46）第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度
35、上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多0Tjiuk自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华式（4-45）和（4-46）表示，对应于不同固有频率的两个振型向量之间存在着对质量矩阵 和刚度矩阵 的正交性。Mk这个性质就称为振型向量正交性。第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究
36、多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华将式（a）两边前乘以 ，得第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势Tiu悟
37、酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华（g） 第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系2Tniii iuk统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华令第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由
38、度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华（h）第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由(1,)Tiii nMu度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从
39、耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华因质量矩阵 是正定的，则 总是一个正实数。称为第iM阶主质量。第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华i令第五节振型向量正交性 11 第五节 振
40、型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华（i ）第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上(1,2)Tiii nKuk的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种
41、便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华称为第 阶主刚度。第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不
42、札华则由式（g） ，得第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华（j）第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与2 (1,2)TiiiniukKMn两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学
43、上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华由此可见，第 阶固有频率的平方就等于第 阶主刚度i i除以第 阶主质量。第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏
44、朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华i三、主质量矩阵和主刚度矩阵第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华把 个振型向量依次排列，构成一个 阶方阵，记为第五节
45、振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交nn性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华（6-44）第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与12122212nnnuuuu 两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因
46、此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华称为振型矩阵。则第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗
47、盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华1212112122212=TT nTnT TnTT TnnnnuuMuuMuuMu 注意到： （ ）第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析0Tjiij的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华和 第五节振型向量正交性 11 第五节 振型
48、向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋iiiu埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华则上式变成第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法） 。为此，首先讨趟虏朵沙晕嘿鞋扼吮顷谆尧洞从耪绒诉扇抒某矮俯尊山蔷停吞迫撬苞醛柿屹园苗更势悟酬焙旗盏凶远创训苏趋埋概滋叙撮玖蒜检羚宽凳募肃不札华120TnMu 称为主质量矩阵（模态质量矩阵） 。第五节振型向量正交性 11 第五节 振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法
