1、数学物理方法,李晓红 西南科技大学理学院2019/4/18,第二章 复变函数微积分,第一节 复变函数的极限和连续性 第二节 复变函数的解析性 第三节 复变函数积分的定义和性质 第四节 柯西定理和柯西积分公式,第一节 复变函数的极限和连续性,复变函数的极限,记作,当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的 一个预先给定的 邻域中,几何意义,(1) 定义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高.,(2) w0是复数.,(3) 若f(z)在 处有极限,其极限是唯一的.,注意,定理1,定理2,设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)， A= u0+iv0，z
2、=x0+iy0，那么,例,例,二元函数 求极限！,典型方法,注：如果沿线性路径逼近时，极限与系数k有关，则极限必不存在，但即使与系数k无关，也不能判定极限必存在。,例,复变函数的连续性,函数=f(z)在z=z0点连续，满足 1. f(z0)存在；2.,证明f (z)=argz在原点不连续。,证明,举例,复变函数一致连续,小结,极 限,连 续,一致连续,本节作业,导数的定义,设w=f(z)是定义在区域D上的单值函数，若在D内某点z0，极限,存在，则称函数f(z)在z0点处可导，并称该极限值为函数f(z)在z0点处的导数或微商，记为,第二节 复变函数的解析性,说明,如果函数w=f(z)在区域D内的
3、每一点可导，则称f(z)在区域D内可导,两个例子：1. 求dzn/dz=nzn-12. 求证=z*，Rez，Imz，在z平面上处处连续，但处处不可导,可导必连续,求导法则,举例,充分必要条件,设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可导的充分必要条件是,Cauchy-Riemann条件,导数的计算公式,极坐标下的Cauchy-Riemann条件,设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导，那么,解析函数的概念,设函数=f(z)在点z0的某邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0处解析；又若f(z)在区域B内的每一点解析，则称f(z)在区域B内是解
4、析函数,说明,2. 称函数的不解析点为奇点,3. 解析函数的充分必要条件,函数 f(z) 在区域B内解析当且仅当(1)实部和虚部在B内可微；(2)实部和虚部在B内每一点满足Cauchy-Riemann条件,解析函数的主要性质,性质1：设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在B内解析，则u(x,y)=C1，v(x,y)=C2是B内的两组正交曲线,举例,红:实部 兰:虚部,性质2：若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是区域B内的解析函数，则u(x,y)和v(x,y)均为B内的调和函数,举例,最大和最小值只能在边界上达到,调和函数：,解析函数的变换性质,解析函数是一个保角映射,解析函数,解析函数将z平面上的区域变为平面上的区域,解析函数可以将z平面上的一个区域变换为平面上的一个区域，其中区域的边界变换为区域的边界，甚至保持边界的方向不变；同时区域的内部变换为区域的内部,D,=f(z),举例,给定实部或虚部，求解析函数,例1：已知某解析函数 f(z)的实部u(x,y)=x2-y2，求该解析函数。,导数 解析函数 解析函数的变换性质,小结,本节作业,
