1、第 1 页 共 13 页2017 届湖南衡阳八中高三 10 月月考数学（理）试题一、选择题1若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 的虚部为（ ）z2iizA B C 222iD i【答案】A【解析】试题分析：由 得 ，所以 的虚部是 ，选 A2iziz2【考点】复数的应用2 “ ”是“ ”的（ ）条件63tanA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D即不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若 ,则 ；若 ,则 ,推不63tan3tan6k出 所以“ ” 是“ ”成立的充分不必要条件故选 A6t【考点】充分必要条件3下列函数中，在区间 上为增函数的是（ ）1,A B2xy 1xy
2、C D12log 2【答案】B【解析】试题分析：A 项, 在 上是减函数,故不符合题意B 项,21xy在 上为增函数,故 B符合题意C 项, 在1xy1 12logyx上是减函数,故不符合题意D 项, 在 上是减函数,故不符21yx合题意故本题正确选项为 B【考点】函数的单调性4已知正项数列 中， ，则 （ ）na22121,nnaa6aA B C 1682D【答案】D【解析】试题分析：因为正项数列 中,na第 2 页 共 13 页，所以 ,所以数列 是22121,nnaa2121nnaa2na首项为 ,公差为 的等差数列,则 ,所以32d 3)(, 故选 D63264【考点】等差数列的基本性
3、质5若向量 的夹角为 ，且 ，则 与 的夹角为（ ）,ab32,1aba2bA B C 6323D【答案】A【解析】试题分析：设向量 与 的夹角等于 ,因为向量 的夹角为 ，且a2b,ab3，所以 ，2,1ab 6cos124)( 2()421cos3, , , 故选 A236)(cosba06【考点】平面向量数量积的运算6函数 的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图） ，则不等式yfx的解集为（ ）2fA 22|01xx或B |1或C 22|xx或 0D |且【答案】A第 3 页 共 13 页【解析】试题分析：如图所示,函数为奇函数,所以不等式 可转化2fxfx为: ,令 ,如图所示, 故
4、选xf)(xyf)( 2|01x或A【考点】1函数的奇偶性；2函数的图象7在函数 中，最小正周期为 的22sin,si2,sincos3xyxxy 函数的个数为（ ）A B C 1 3D 4【答案】B【解析】试题分析：由 的图象知,它是非周期函数； 是周期xysin )2sin(xy函数,周期为 ; 是周期为 的函数；2)32co(, 的周期为 ,将其图象沿 轴对折后得到xxyssinycs2x的图象,但周期变为原来的一半,故 综上,最小正周期为 的函数个coT数为 故选 B2【考点】函数的周期性8设函数 ,定义 ,其中21logxfx121.n nSfff,则 （ ）2nNnSA 1B 2l
5、ognC 1D 2ln【答案】C【解析】试题分析： ， ，21logxfx21()logxfx，因为2()1)lfx,所以1.n nSfff第 4 页 共 13 页两式相加可得: , 故)1(.)2()1(nfnffSn 12nS2n选 C【考点】1数列求和；2函数的性质9已知点 在圆 上运动, 且 ,若点 的坐标为 ,则,AB21xyABCP0的最大值为（ ）PA B C 6 78D 9【答案】B【解析】试题分析：因为 ,点 在圆 上,故 过圆心 ,AC,21xyAO,POCA2,当 与 同向共线时,即 时,B3BPOB)01(B取最大值 故选 B7【考点】平面向量的基本运算10已知函数 均
6、为正的常数）的最小正周期为 ，当sin(,fxAx时，函数 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）23xA 0fffB 02C fffD 【答案】A【解析】试题分析： 最小正周期为 ,所以 因为当 时，函数)(xf223x取得最小值，所以 ,可得 ,令 ,所以fx 323k6k, 在 上单调递减)()62sin(A(xf),6, ,10ff )0(215sin)3sin( fAAf又 , ,所以3253(2)(ff故选 A20fff【考点】求三角函数的解析式【易错点晴】依题意容易得出 ,又当 时,函数 取得最小值,可解得23xfx第 5 页 共 13 页,由此可得函数解析式 ,利用正弦函数的图象
7、与性质及诱导公)(xf)62sin(xA式,即可比较大小不能结合已知条件求出函数解析式导致易错,不能熟练的利用周期性把不在同一单调区间的两个数转化为同一单调区间导致易错利用函数单调性比较大小,先看自变量是否在同一单调区间,若不在,则须利用周期性转化11已知函数 在区间 内任取两个实数 ，且 ，2ln1fxax0,1,pq不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）1pqaA B2,30,18C D182【答案】C【解析】试题分析：由题意,不妨设 ,qp)1()1()( qpffqpff恒成立,等价于 恒成立,即构造2 )(2)()1(2)(ff在 上单调递增，等价于)1()xfxg,0恒成立，即
8、 ， ，检验2amax2)(a18时成立故选 C8【考点】1恒成立问题；2函数的极值与最值【思路点晴】本题考查构造新函数，函数的单调性以及函数单调性转化为的恒成立问题,属中档题利用导数研究不等式恒成立问题,首先要构造函数,本题不等式给出的是分式,应先等价为整式,转化为函数的单调性问题,进一步转化为另一个不等式恒成立问题,分离变量重新构造函数解决问题注意单调性的转化中等号的取舍与验证12已知 ，若函数 有三个零2ln01xfaa且 1yfxt点，则 的值为（ ）tA B C 123D 2【答案】B【解析】试题分析：当 时, ,10a axaaxf ln)1(2lnl)( 且 , 在 上单调递增,
9、所以 有唯一解 在0)(f)(xf)0f0f上单调递减,在 上单调递增,即函数 在 取到极小值 函数)(x有三个零点，所以方程 有三个根,而 ,所以1yfxt 1)(tf 1t,解得 故选 B)0()(minft 2t【考点】函数的零点第 6 页 共 13 页【方法点晴】本题考查函数的零点,先用导数判断函数 的单调性从而得出极小值,)(xf再由 有三个零点,所以方程 有三个根,从而画出函数1yfxt1)(tf的图象,用直线 与 截取,使其共有三个交点本题体现了转化的)(f ty1t思想,以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力,属中档题目二、填空题13已知 ，则 sin2cos0x2s
10、in1x【答案】 95【解析】试题分析： 等价于 , ,sisxcos2si0, 即 故填 2tanx52nx2in1x95【考点】三角函数的齐次式14 九章算术中“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有恒厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，则 的值为，问何日m相逢，各穿几何？”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进尺，以后毎天加倍；小老鼠第一天也进尺，以后每天减半，如果墙足够厚， 为前 天nS两只老鼠打洞之和，则 尺nS【答案】 12n-+【解析】试题分析：由题意知:大老鼠每天打洞的距离是以 为首项,以 为公比的等比12数列,前 天打洞之和为
11、 ,同理,小老鼠每天打洞的距离为12n,所以 ,因此,本题正确答案是121)(nn 121nnnS2n-+【考点】等比数列求和【思路点晴】解答函数应用题的一般步骤为:审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型；建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型；求模:求解数学模型,得出数学结论；还原:将数学问题还原为实际问题的意义,求最值常用基本不等式或导数15已知 是定义在 上不恒为零的函数，对于任意的 都有fxR,xyR成立，数列 满足 ,且 ,则数fyyfAna3nfN13a列 的通项公式为 nana第 7 页 共 13 页【答
12、案】 3ng【解析】试题分析：因为 ,则 ,且 ,又3nafN)3(11nnfa)3(fa因为对于任意的 都有 成立，令 ,则,xyRxyfyxAyxn， ， , 数列 是)3()3(1nnfff nna31 131nn3以 为首项, 为公差的等差数列, ， 1an)(na【考点】1函数的性质；2数列求通项公式【方法点晴】本题主要考查了利用函数的特征求数列的通项公式,是函数与数列的综合题解题的关键是分别赋予 得到 ,然后构造出数列2,yxn nna21是以 为首项,公差为 的等差数列后求解同时要对递推关系式na211通过两边同除以 构造出 为等差数列进而求出 的通项公nnqp1 1nqnana
13、式三、解答题16已知函数 （ 为常数， 且 ） ，的图象过点xfkaA,0aA0,13,8B（1）求实数 的值；k（2）若函数 ，试判断函数 的奇偶性, 并说明理由1fxggx【答案】 （1） ；（2） 是奇函数,ka=()【解析】试题分析：（1）因为函数图象过点 ,所以 ；A0,138B1,2ka=（2）根据定义, 满足 ,所以 为奇函数()gx()xg()试题解析：解:（1）把 A（0，1） ，B（3，8）的坐标代入 得 xfka-g0318-=A解得： ,2ka=（2） 是奇函数理由如下：()gx第 8 页 共 13 页由（1）知： ，所以()2xf=()12.xfg-=+函数 的定义域
14、为 R，gx又 ()121() ().xxf g-=+所以函数 是奇函数。gx【考点】1函数的解析式；2函数的奇偶性17已知 三点的坐标分别为 其中,ABC3,0,cos,in,ABC3,2（1）若 求角 的值；,（2）若 求 的值1,ACBtan4【答案】 （1） 54；（2） 7【解析】试题分析：（1）先由 ， ， 三点的坐标求出 和 的坐标,由ACACB|ACB解得 54 （2）由 1B列出关于 的方程,从而将问题转化为简单的三角函数化简求值问题试题解析：（1） (cos3,in)AC， (cos,in3)C， 2|(cos3)in106csAC， |106iB由 |B得 icos又 (
15、,)2， 54（2）由 1AC，得 (cos3)sin(3)1， sinco3， 2in04又由 2， ， 7cos()43故 tan()417【考点】向量与三角函数【方法点晴】由题目给出的点的坐标可以得到相应的向量的坐标,根据向量的模长公式第 9 页 共 13 页可得到要求的长度第二问用到数量积公式 ,得到2yxa 21yxba与 的等量关系,利用化一公式sincos,化简 ,bxbabtan),si(2 )4sin(cosin结合 ,得到 的值,从而得到 t()4)32(418已知数列 中， ，且 n12311232nna（1）设 ,证明 是等比数列；1banb（2）求数列 的通项公式n【
16、答案】 （1）证明见解析；（2） na=1153()4nn-+【解析】试题分析：（1）由等比数列的定义证明 是等比数列；（2）先求出等比nb数列 的通项公式,即 ,再由累加法求得数列 的通nb2103()nnna项公式试题解析：解答：（1）证明：因为 111,nnnbaba1123nnnbaa所以 是等比数列n（2）由（1）得 1115,53nnbq所以 则 3nna210()na奇数项差是首项为 10的等比数列，偶数项差是首相为 30的等比数列；，21254nn221534nn因此 = a3()-+【考点】1数列的定义；2求数列的通项公式19如图 1, 有一建筑物 ,为了测量它的高度, 在地
17、面上选一基线 ,设其长度为OPAB,在 点处测得 点的仰角为 ,在 点处的仰角为 dAB第 10 页 共 13 页（1）若 ,且 ,求建筑物的高度 ；40,3,45AB30AOBh（2）经分析若干测得的数据后, 发现将基线 调整到线段 上（如图 2） ， 与AO之差尽量大时，可以提高测量精确度，设调整后 的矩离为 ， ，建 d4tan筑物的实际高度为 ，试问 为何值时， 最大？21d【答案】 （1） ；（2） 40d4215【解析】试题分析：（1）利用余弦定理可得 ，即30cos2322hhd可求得高度 （2）计算 ,利用基本不等式结合正切函数的单调性,即可得htan到 d试题解析：解：（1）
18、在 Rt POA中，OA= h，在 Rt POB中，OBh，3在 Rt AOB中，d =（ h） +h -2 h hcos30 ，其中：d40，得：h=40，232故建筑物的高度为 40（2）tan = ，tan =4dtan（ - ）= = =2()164hd216()dh16(4)hd= =162(4)h()5当且仅当 d（h+4）= 即 d= 时“=”成立421故当 d= 时，tan（ - ）最大，42150294,16,2aq=3945,+=K故 4500.b（2） (1)3,2n nSQ第 12 页 共 13 页1221nnnTSS+=K= 22()()3(1)()1nn+=+【考点
19、】1数列的通项公式；2数列求和21已知二次函数 为常数, 的一个零点是 ,函2(rxab,)aRba数 是自然对数的底数, 设函数 lngxefxrgx（1）过点坐标原点 作曲线 的切线, 证明切点的横坐标为 ；Oyf 1（2）令 ,若函数 在区间 上是单调函数, 求 的取值范围xfFeFx01a【答案】 （1）证明见解析；（2） (,2-【解析】试题分析：（1）根据题意可得 ,再化简 ,求导结合导数的几何意义0b)(xf求解证明；（2）化简 求导得()2ln,xxfaFee+-=,再令2 1l()xxaF-+-=从而由 的正负确定函数的正负,进而确定2()lnhx-+)(xh的正负,得到 的
20、单调性,从而求解)(xxF试题解析：解：（1） 是二次函数 的一个零点， 。a-Q2()rxab=+0b=2()ln,fxx=+ 1)0).f-设切点为 则切线的斜率 。0,)Py 2000ln2xxkxa-整理得 显然， 是这个方程的解。200ln1.x+-=01上是增函数，y=Q在则方程 有唯一实数解，故2lx-0.x=则()2ln,xxfaFee+第 13 页 共 13 页，2 1()ln()xxaxFe-+-+=设 2()l,h-则 21().xax+易知 在 上是减函数，从而 0, ()12hxa=-当 即 时， 在区间 上是增函数a-0,0,在 上恒成立，即 在 上恒成立(1),(
21、)hx=Q(,1()Fx(,在区间 上是减函数。则 满足题意F02a当 ，即 时，设函数 的唯一零点为 ，2a-()hx0x则 在 上递增，在 上递减。()hx0,)0,1在1,(.=Q2()()ln0,aaaaaeee- -=+综合得， 即 的取值范围是 .a(,2-【考点】1导数的几何意义；2函数的单调性【方法点晴】函数与导数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用本题考查的为利用导数判断函数的单调性以及最值等常见问题而且涉及到参数的讨论,主要是以导函数的正负为分类标准,从而得出不同的单调性,注意给定的参数范围以及定义域
