1、1数列复习总结一、基础知识：数列：1数列、项的概念：按一定 次序 排列的一列数，叫做 数列 ，其中的每一个数叫做数列的项 2数列的项的性质： 有序性 ； 确定性 ； 可重复性 3数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成 a1， a2， a3， ， an， （） ，简记作 an 其中 an是该数列的第 n 项，列表法、 图象法、 符号法、 列举法、 解析法、公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法4数列的一般性质：单调性 ；周期性 5数列的分类：按项的数量分： 有穷数列 、 无穷数列 ；按相邻项的大小关系分：递增数列
2、、递减数列 、常数列、摆动数列 、其他；按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他；按项的变化范围分：有界数列、无界数列数列数列的定义数列的有关概念数列的通项数列与函数的关系项项数通项等差数列等差数列的定义等差数列的通项等差数列的性质等差数列的前 n 项和等比数列等比数列的定义等比数列的通项等比数列的性质等比数列的前 n 项和26数列的通项公式：如果数列 an的第 n 项 an与它的序号 n 之间的函数关系可以用一个公式 a =f（ n） （ nN +或其有限子集1，2，3，n） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，
3、是自变量的值由通项公式可知数列的图象是 散点图 ，点的横坐标是 项的序号值 ，纵坐标是 各项的值 不是所有的数列都有通项公式，数列的通项公式在形式上未必唯一7数列的递推公式：如果已知数列 an的第一项（或前几项） ，且任一项 an与它的前一项 an-1（或前几项 an-1， an-2，）间关系可以用一个公式 an=f（ a ）1（ n=2，3，） （或 an=f（ a ,a ）( n=3，4，5，)，）来表示，那么12n这个公式叫做这个数列的 递推公式 8数列的求和公式：设 Sn表示数列 an和前 n 项和，即 Sn=a1+a2+an，如果 Sn与项数 n 之间的函数关系可以用一个公式 Sn=
4、 f（ n） （ n=1，2，3，） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 求和公式 9通项公式与求和公式的关系：通项公式 an与求和公式 Sn的关系可表示为： 1()n2nSa等差数列与等比数列：等差数列 等比数列文字定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。符号定义1nad1(0)naq分类递增数列： 0d递减数列： 常数数列： 递增数列： 1100aqaq， 或 ，递减数列： 11， 或 ，
5、摆动数列： 0q常数数列： 13通项1()()n madpnqad其中 1,（1nnmnaqaq0）前n项和211()()2nadSpq其中 1,pqa1()nnaqS中项 , 2abcbc成 等 差 的 充 要 条 件 :2,abcbac成 等 比 的 必 要 不 充 分 条 件 ：主要性质等和性：等差数列 na若 则mnpqmnpqa推论：若 则22npnknknaa12132nnn即：首尾颠倒相加，则和相等等积性：等比数列 na若 则mnpqmnpqa推论：若 则2()mnpa2()nknkna12132a即：首尾颠倒相乘，则积相等其1、等差数列中连续 项的和，组成的新m数列是等差数列。
6、即：等差，公差232,msss为 则有d()mm2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如： （下标成等差数列）14710,a3、 等差，则 ， ，,nb2na21n1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数列。即：等比，公比为 。232,mmssmq2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如： （下标成等差数列）14710,a3、 等比，则 ， ，,nb2na21nka4它性质， 也等差。nkabnpqb4、等差数列 的通项公式是 的一次nn函数，即： ( )adc0等差数列 的前 项和公式是一个没n有常数项的 的二次函数，即： ( )2nSAB0d5、项
7、数为奇数 的等差数列有：1sn奇偶 nsa奇 偶 中21()nns项数为偶数 的等差数列有：，1nsa奇偶 snd偶 奇21()nns6、 则,nma0na则ns()n则,nmns也等比。其中 0k4、等比数列的通项公式类似于 的指数n函数，即： ，其中nacq1aq等比数列的前 项和公式是一个平移加振幅的 的指数函数，即：(1)nscq5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。证明方法证明一个数列为等差数列的方法：1、定义法： 1()nad常 数2、中项法： 12nna3.、通项公式： ),(为 常 数bkn证明一个数列为等比数列的方法：1、定义法： 1()naq常 数2、中项法
8、： 1(2,0)nnnaa（ ）54、前 n 项和 ：),(2为 常 数BAS设元技巧三数等差： ,ad四数等差： 3,3ad三数等比： 2,aqa或四数等比： 23,联系1、若数列 是等差数列，则数列 是等比数列，公比为 ，其中 是常数，nanaCdC是 的公差。d2、若数列 是等比数列，且 ，则数列 是等差数列，公差为 ，na0nalogan logaq其中 是常数且 ， 是 的公比。0,1q2考点分析数列是高考热点内容，考查主要为等差，等比数列的基本性质、数列的通项公式的求法、数列前 n 项和的求法，其中数列的通项公式的求法基础，在复习过程中注意等差、等比数列定义及性质要复习扎实，常用的
9、通项公式的求法是重点，难点。在复习过程中一定要学生注意课后巩固。等差与等比数列例 1：等差数列a n中，a 4=10,且 a3,a6,a10 成等比数列.求数列a n前 20 项的和S20.练习：1.已知等差数列 a n 中， 求a n的前 n 项和 .2.已知a n为等差数列，a 3+a8=22,a6=7,求 a5;3.等差数列a n的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,求它的前 3m 项的和4.等差数列a n、b n的前 n 项和分别是 Sn、T n,且 求2136ab371460a6等差数列前 项和的最值问题：n1、若等差数列 的首项 ，公差 ，则前 项和 有最大值。na10
10、0dnnS（）若已知通项 ，则 最大 ；nnS1na（）若已知 ，则当 取最靠近 的非零自然数时 最大；2npq2qpnS2、若等差数列 的首项 ，公差 ，则前 项和 有最小值na100dnn（）若已知通项 ，则 最小 ；nnS1na（）若已知 ，则当 取最靠近 的非零自然数时 最小；2npq2qpnS例 2.在等差数列a n中，已知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10=S15,求当 n 取何值时，Sn 取得最大值，并求出它的最大值数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。作差、商法：已知 （即 ）求 ，用作差法：nS12()naf na。1,()2nnSa已知 求
11、 ，用作商法： 。12()nafA n(1),2)nfan已知条件中既有 还有 ，有时先求 ，再求 ；有时也可直接求 。nSnanSnna7累加法若 求 用累加法：1()nafna1221()()()nnnaaa。1(2)累乘法已知 求 ，用累乘法： 。1()nafna121naa ()n构造法已知递推关系求 ，用构造法（构造等差、等比数列） 。n特别地， （1）形如 、 （ 为常数）的递推数列都1nakb1nnakb,k可以用待定系数法转化为公比为 的等比数列后，再求 ；形如na的递推数列都可以除以 得到一个等差数列后，再求 。1nnaknkn（2）形如 的递推数列都可以用倒数法求通项。1n
12、akb（3）形如 的递推数列都可以用对数法求通项。1kn（7） （理科）数学归纳法。（8）当遇到 时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分qadann11或段形式。数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。 （3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 和公式的推导方法） .n（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常
13、选用错位相减法（这也是等比数列前 和公式的推导方法）.n（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：8 ； ；1()1nn1()()nknk ， ；2(kk 211()()kk ； ；11()2()(2)nnn(1)!(1)!n 2二、解题方法：求数列通项公式的常用方法：1、公式法等差数列 an是递增数列，前 n 项和为 nS，且 931a, 成等比数列，25S求数列 的通项公式解：设数列 n公差为 )0d( 931a, 成等比数列， 9123a，即 )8()d2(1，得 0， 25Sa211)d4a(由得： 531
14、， n)n(an注：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。2、已知前 n 项和，求通项公式例 1. 已知数列 的前 n 项和为 ，求数列 的通项公式na23nSna9解：（1）当 n=1 时， 1,aS（2）当 时，n145nn1,45,nnaa适 合注：一般的利用公式 求 ，特别要注意 是否合适1,2nnSna1a1,(2)nnaS练习：1.设正数数列 的前 n 项和 ，求数列 的通项公式na21()4nSana2.已知数列a n的前 n 项和为 Sn,且满足 (1)求证: 是等差数列；（2）求 an 的表达式.3、求差（商）法如 ： 满 足 aaa
15、nn n1212512解： 5411时 ， ， naann2225211时 ，得 ： n an21 n41()练习数 列 满 足 ， ， 求aSaannnn115341Sn-1S0(2)1a 10（ 注 意 到 代 入 得 ：aSSnnn 1 14又 ， 是 等 比 数 列 ，nn14naSnn23411时 ， 4、累乘法例 如 ： 数 列 中 ， ， ， 求aanan n113解： aaan n2131 12， 又 ， n1注：若数列满足 ，且 可求和，累乘法是反复利用递推关系得到 n1)(1fan)(nf个式子累乘求出通项，这种方法最终转化为求f(n)的前 n1 项的积，要注意求积的技巧5
16、、累加法由 ， ， 求 ， 用 迭 加 法afnaan n110()fann22331时 ， 两 边 相 加 ， 得 ：()ffn123()() afnn0()练习数 列 ， ， ， 求aaannnn113211（ ）ann123注：求形如 （f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通()f项，可用累加法，即令 n=2，3，n1 得到 n1 个式子累加求得通项，累加法是反复利用递推关系得到 n1 个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求f(n)的前n1 项的和，要注意求和的技巧6、等比型递推公式例：已知数列a n满足 a1=1，且 an+1 = 3n+2，求 na解：设 13()na
17、tt，则 2nt，t， 为等比数列，111()2nnn，13na练习数 列 满 足 ， ， 求aaannn1194（ ）n843注：求递推式如 1nnpq（p、q 为常数）的数列通项，可用待定系数法转化为我们熟知的数列求解，相当如换元法。求递推式形如 1nnapq（ p、q 为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列 an+1+qp=p(an+ )来求得 ,也可用“归纳猜想证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型例： 已知数列 n满足 11,32(.na求 an解：将 32na两边同除 ，得n，变形为123na设b，则 1nnb令 1(),3nntbt即 1nbt，得 3t条件
18、可化成3()，数列18nab是 以为首项，23为公差的等比数列82()3n因 3nb，所以nab=182()3n得 na= 1点评：递推式为11nnpaq（p、q 为常数）时，可同除 1nq，得1nnapq，令12nabq从而化归为 1nnapq（p、q 为常数）型例：已知数列 满足 221,.3nnaa求 an解：设 211().nnasts展开后，得 nt由,3st，解得,3，条件可以化为 211().nnaa得数列 1n是 以 21为首项， 3为公差的等比数列，1()3na问题转化为利用累加法求数列的通项的问题，解得173()4nna注：递推式为 21nnapqa（p、q 为常数）时，可
19、以设 21nsts，其待定常数 s、t 由 ,ts求出，从而化归为上述已知题型7、倒数法例 如 ： ， ， 求aannn112由 已 知 得 ： 211aannn 1n112aan为 等 差 数 列 ， ， 公 差 为12nn an113注：本题借助1na为等差数列得到了 na的通项公式，是典型的化归法常用的化归还有取对数化归，待定系数化归等，一般化归为等比数列或等差数列的问题，是高考中的常见方法数列前 n 项和的常用方法：1、公式法：等差、等比前 n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。如 ： 是 公 差 为 的 等 差 数 列 ， 求adan kn
20、1如： 是公差为 d 的等差数列，求数列n 1n解： 由 1 01aadadkkk 11knkn 11231daaann练习求 和 ： 123123n（ ， ）aSnn13、错位相减法：若 为 等 差 数 列 ， 为 等 比 数 列 ， 求 数 列 （ 差 比 数 列 ） 前 项ababnnn n和 ， 可 由 求 ， 其 中 为 的 公 比 。Sqqnnn如 ： xxn n12341314xSxnxn n23412112： xn n当 xSxn2时 ，当 nn1312时 ， 4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。Saannn1212相 加111annn练习已 知 ， 则fxffff()()()()2112341（ 由 fxxx()1112222 原 式 ffff()()()234111）
