1、第 1 页 共 8 页新课标高三数学第一轮复习单元讲座（31）不等式性质一课标要求：1不等关系通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；2基本不等式：（a,b0）探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。二命题走向不等式历来是高考的重点内容。对于本将来讲，考察有关不等式性质的基础知识、基本方法，而且还考察逻辑推理能力、分析问题、解决问题的能力。本将内容在复习时，要在思想方法上下功夫。预测高考命题趋势：1从题型上来看，选择题、填空题都有可能考察，把不等式的性质与函数、三角结合起来综合考察不等式的性质、函数单调性等，多以
2、选择题的形式出现，解答题以含参数的不等式的证明、求解为主；2利用基本不等式解决像函数 的单调性或解决有关最值问)0(,)(axf题是考察的重点和热点，应加强训练。三要点精讲1不等式的性质比较两实数大小的方法求差比较法；0ab；。定理 1：若 ，则 ；若 ，则 即 。baabba定理 2：若 ，且 ，则 。c定理 3：若 ，则 。定理 3 推论：若 。,dd且 则定理 4如果 且 ，那么 ；如果 且 ，那么 。ba0bcaba0cbca推论 1：如果 且 ，那么 。c推论 2：如果 ， 那么 。n)1(N且定理 5：如果 ，那么 。且2基本不等式定理 1：如果 ，那么 （当且仅当 时取“ ”）
3、。Rba, ab22ba定理 2：如果 是正数，那么 （当且仅当 时取“=” ）3常用的证明不等式的方法第 2 页 共 8 页（1）比较法比较法证明不等式的一般步骤：作差变形判断结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。（2）综合法利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件。综合法证明不等式的逻辑关系是： ，及从已知条件12nABB出发，逐步推
4、演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论 。A（3）分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。（1） “分析法”是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因” ；（2）综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程。四典例解析例 1：（1）设 ，已知命题 ；命题 ，则 是,aRb:pab22:abqp
5、成q立的 （ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案：B。解析： 是 等号成立的条件。ab22ab（2）若 为ABC 的三条边，且 ，则（ ,c22,Scpabc）A B C DSpp2Sp答案:D解析：，22 2221()()()()0,pabcabcabcaSp又 222222|,|,|, ,bcacb 。22()ccSp第 3 页 共 8 页（3）设 x 0, y 0, , ， a 与 b 的大小关系 （ yxa1yxb1） Aa b B a 0）则盐水就变咸0了，试根据这一事实提炼一个不等式 .答案： 解析:由盐的浓度变大得mba（5）设 .12
6、0, 的 最 小 值， 求且 yxyxx答案： 。解析： 。32()32x例 2：已知 a, b 都是正数，并且 a b，求证：a 5 + b5 a2b3 + a3b2答案：证：(a 5 + b5 ) (a2b3 + a3b2) = ( a5 a3b2) + (b5 a2b3 ) = a3 (a2 b2 ) b3 (a2 b2) = (a2 b2 ) (a3 b3)= (a + b)(a b)2(a2 + ab + b2)a, b 都是正数，a + b, a 2 + ab + b2 0又a b，(a b) 2 0 (a + b)( a b)2(a2 + ab + b2) 0即：a 5 + b5
7、 a2b3 + a3b2例 3 设 ，当 时，求证： 。,xyRx1 1log()log28xyaa解析： ，222xyxxyxyaa 。211log()log()loglog()log8xxyaaa ax例 4：（1）已知 是正常数， ， ，,bb,0,xy求证： ，指出等号成立的条件；22()xy第 4 页 共 8 页（2）利用（1）的结论求函数 （ ）的最小值，29()1fxx1(0,)2指出取最小值时 的值答案：22222()(abyyxxyababx，2故 当且仅当 ，即 时上式取等号； 2()abxy2yxababy由得 223(3)() 511fxx当且仅当 ，即 时上式取最小值
8、，即 5min()25fx【课内练习】1设 x、y 是正实数，且 x+y=5,则 lgx+lgy 的最大值是_.答案：2-4lg2。解析：x0,y0,5=x+y2 ,xy( )2. 当且仅当 x=y= 时xy2等号成立. 故 lgx+lgy=lgxylg( )2=2-4lg2.52若 a,b 均为大于 1 的正数，且 ab100，则 lgalgb 的最大值是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 25答案： B.解析： 。2lgl()1ab3在 三个结论： ， 的 条 件 下 ， 0ba ba，2ba ，其中正确的个数是 （ b2）A0 B 1 C2 D3答案：D。解析：可以证明 3 个
9、不等式都成立。4对一切正整数 ， 不等式 恒成立，则 B 的范围是 （ n1bn第 5 页 共 8 页）答案： 。解析： ，即2(,)(1,51252,02311nbb1 或 。b5已知方程 的三根可作为一个三角形的三边长，那么 m 的取值2(1)0xxm范围是 。答案： 。解析： ，又 ，即 。3,4m4,1123|,4x,16已知 a、b 为不等的正数，且 ，试将 四个数按从小到3abab、大的顺序排列 。答案： 331()1aba（1）当 时， ，得 ，且 ，0b3b32b此时 32a（2）当 时， ，得 ，且 ，03bab32ab此时 32ab（3）当 时， 与题设矛盾b7比较下列两个
10、数的大小：（1） ；与 32（2） ；6与第 6 页 共 8 页（3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明答案：（1） ,（2）312563（3）一般结论：若 成立21 nnNn则证明 欲证 成立2只需证 31nn也就是 （ ）2Nn13,nn从而（*）成立，故 n)(N8已知 ，求证： ,0yxx 4yx81答案: ， ，1,2两边同加上 得， 2yx)(2yx1)(x又 ，两边同加上 得， ，44)(24y2)(yx41 yx819设 a0, b0，且 a + b = 1，求证： 25)1()(2ba答案： 242222111()()ababab2221145abab第
11、7 页 共 8 页10已知函数 2()4sin()cos2xfx（1）设 为常数，若 在区间 上是增函数，求 的取值范围0()yf,23w（2）设集合 ，若 ，求实数 的取值范2;()63AxBxfmABm围。答案：（1）1cos()2()4sincs2in1xfx x 在 上是增函数。(2f,3，即,323,0,4（2）由 得： ，即()fxm()2fxm()2()2fxmfx当 时， 恒成立。,AB263Xffmaxmin()()ff又 时， 2,63xaxin()()3;()()226fffxf(1,4)m五思维总结1不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基
12、本的方法。（1）比较法证不等式有作差(商) 、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证；（2）综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野。2不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等。换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性。放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，第 8 页 共 8 页目标可以从要证的结论中考查。有些不
13、等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 凡是含有“至少” 、 “惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法。证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点。3几个重要不等式（1） 0,|,2aRa则若（2） （当仅当2(|2)bbabab若 、 则 或a=b 时取等号）（3）如果 a,b 都是正数，那么 （当仅当 a=b 时取等号）.最值定理：若 则：,xyRxySxP如果 P 是定值, 那么当 x=y 时，S 的值最小； 如果 S 是定值, 那么当 x=y 时，P 1 2的值最大；注意： 前提：“一正、二定、三相等” ，如果没有满足前提，则应根据题目创设 1情境；还要注意选择恰当的公式； “和定 积最大，积定 和最小” ，可用来求最值； 2均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。 3（当仅当 a=b=c 时取等号） ；3,abcabcRa(4)若 、 、 则（当仅当 a=b 时取等号） 。0,2(5)若 则
