1、第 1 页 共 16 页DBA C普通高中课程标准实验教科书数学 人教版高三新数学第一轮复习教案（讲座 37）空间夹角和距离一课标要求：1能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离；2能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。二命题走向空间的夹角和距离问题是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察主要有以下情况：（1）空间的夹角；（2）空间的距离；（3）空间向量在求夹角和距离中的应用。预测 2007 年高考对本讲内容的考察将侧重空间向量的应用求夹角、求距离。课本淡化了利用空间关系找角、求距离这方面内容的讲解，而是加大了向量在这方面内容应用的讲解，因此
2、作为立体几何的解答题，用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考察。三要点精讲1空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 （1）异面直线所成的角的范围是 。求两条异面直线所成的角的大小一般方2,0(法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。具体步骤如下：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；证明作出的角即为所求的角；利用三角形来求角。（2）直线与平面所成的角的范围是 。求直线和平面所成的角用的是射影转2,0化法。具体步骤如下：找
3、过斜线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；把该角置于三角形中计算。注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若 为线面角， 为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有 ；（3）确定点的射影位置有以下几种方法：斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射第 2 页 共 16 页影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平
4、面的交线上；利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心( 或旁心) ；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指 ，解题时要注意图形的位置,0(和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；面上一点三垂线
5、法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足） ，斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。斜面面积和射影面积的关系公式： ( 为原斜面面积, 为射影面积,cosSS为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小。2空间的距离（1）点到直线的距离：点到直线 的距离为点到直线 的垂线段的长，常先aa找
6、或作直线 所在平面的垂线，得垂足为，过作 的垂线，垂足为连，则由a三垂线定理可得线段即为点到直线 的距离。在直角三角形中求出的长即可。点到平面的距离：点到平面 的距离为点到平面 的垂线段的长常用求法作出点到平面的垂线后求出垂线段的长；转移法，如果平面 的斜线上两点，第 3 页 共 16 页到斜足的距离，的比为 ，则点，到平面 的距离之比也nm: 为 特别地，时，点，到平面 的距离相等；体积法nm:（2）异面直线间的距离：异面直线 间的距离为 间的公垂线段的长常有求ba,ba,法先证线段为异面直线 的公垂线段，然后求出的长即可找或作出过,且与 平行的平面，则直线 到平面的距离就是异面直线 间的距
7、离找或作出ba ,分别过 且与 ， 分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线 间的距,b ba,离根据异面直线间的距离公式求距离。（3）直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间为直线上任意一点到平面间的距离。（4）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。3空间向量的应用（1）用法向量求异面直线间的距离如右图所示，a、b 是两异面直线， 是 a 和 b 的法n向量，点 Ea ，F b，则异面直线 a 与 b 之间的距
8、离是；nd（2）用法向量求点到平面的距离如右图所示，已知 AB 是平面 的 一条斜线， 为n平面 的法向量，则 A 到平面 的距离为 ；ABd（3）用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。（4）用法向量求两平行平面间的距离abEFABCn第 4 页 共 16 页首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。（5）用法向量求二面角如图，有两个平面 与 ，分别作这两个平面的法向量 与 ，则平面 与 所成的角跟法向量 与 所成1n2 1n2的角相等或互补，所以首先必
9、须判断二面角是锐角还是钝角。（6）法向量求直线与平面所成的角要求直线 a 与平面 所成的角 ，先求这个平面 的法向量 与直线 a 的夹角的余n弦 ，易知 = 或者 。n,cosn,an,2四典例解析题型 1：异面直线所成的角例 1 （1）直三棱住 A1B1C1ABC，BCA= ，点 D1、F 1 分别是 A1B1、A 1C109的中点，BC=CA=CC 1，则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是（ ） （A ） （B） （C） （D）032530（2） （06 四川）已知二面角 的大小为 ， 为异面直线，且l6,mn，则 所成的角为（ ）,mn,n（A） （B） （C） （D）0306090
10、12解析：（1）连结 D1F1，则 D1F1 ，/12BC D 1F1/C/设点 E 为 BC 中点， D 1F1 BE，BD 1EF 1，EF 1A 或其补角即为 BD1 与AF1 所成的角。由余弦定理可求得 。故选 A。03cos1AE1n2第 5 页 共 16 页（2）二面角 的大小为 ， 为异面直线，且 ，则l06,mn,mn所成的角为两条直线所成的角， = ，选 B。,mn点评：通过平移将异面直线的夹角转化为平面内的两条相交直线的夹角。例 2已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 2，点 E 为棱 AB 的中点。求：D 1E 与平面 BC1D 所成角的大小（用余弦值表示）解
11、析：建立坐标系如图，则 、 ， ，2,0A,20,， ， ，1,1,B1,2D， ，2,0E2,C， ，1,D0,A。0,2B不难证明 为平面 BC1D 的法向量，1C 。113cos, 9AE D1E 与平面 BC1D 所成的角的余弦值为 。点评：将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角。题型 2：直线与平面所成的角例 3PA、PB、PC 是从 P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 ，那么06直线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 21233A1 B1C1D1ABCDExyz第 6 页 共 16 页D解：构造正方体如图所示，过点 C 作 CO平面PAB，
12、垂足为 O，则 O 为正 ABP的中心，于是CPO 为 PC 与平面 PAB 所成的角。设 PC=a，则 PO= ，故 ，即选 C。aPD323cosPOC思维点拨：第（2）题也可利用公式 直接求得。cos例 2 （03 年高考试题）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面是等腰直角三角形，ACB 90，侧棱 AA12，D 、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G。求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小（结果用余弦值表示） ；解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为 C，设 CA2a，则 A(2a，0，0) ，B(0， 2a，0) ，
13、D(0，0，1)，A 1(2a，0，2) ，E(a， a，1) ， G( ) ，,3 ，2,，0,1BDa，203GEA a1， ，2,312,B 为平面 ABD 的法向量，且 。GE11 2cos, 3ABGE A 1B 与平面 ABD 所成角的余弦值是 。32点评：先处理平面的法向量，再求直线的方向向量与法向量夹角间的夹角转化为线面角。GDDA1C1B1CBKx yzAE第 7 页 共 16 页EFO题型 3：二面角例 5在四棱锥 PABCD 中，ABCD 为正方形，PA 平面 ABCD，PAAB a，E 为 BC 中点。（1）求平面 PDE 与平面 PAB 所成二面角的大小（用正切值表示
14、）；（2）求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。解析：（1）延长 AB、DE 交于点 F，则 PF 为平面 PDE 与平面 PAD 所成二面角的棱，PA平面 ABCD， ADPA 、AB, PAAB=A DA平面 BPA 于 A，过 A 作 AOPF 于 O，连结 OD，则AOD 即为平面 PDE 与平面 PAD 所成二面角的平面角。易得 ，故平面 PDE 与平 PAD 所成二面角的正切值为 ；25tanD25（2）解法 1（面积法）如图ADPA、AB, PAAB=A，DA平面 BPA 于 A, 同时，BC平面 BPA 于 B，PBA 是 PCD 在平面 PBA 上的射影, 设平面
15、 PBA 与平面 PDC 所成二面角大小为 , cos=SPAB /SPCD = /2 =450。即平面 BAP 与平面 PDC 所成的二面角的大小为 45。 解法 2（补形化为定义法）如图：将四棱锥 P-ABCD 补形得正方体 ABCDPQMN，则 PQPA、PD，于是APD 是两面所成二面角的平面角。在 Rt PAD 中， PA=AD，则APD=45 。即平面 BAP 与平面 PDC 所成二面角的大小为 45。例 6 （1） （2003 年，北京卷高考题）如图 6，正三棱柱 的底面边长1CBA第 8 页 共 16 页为 3，侧棱 ，D 是 CB 延长线上一点，且 。求二面角321ABCD的
16、大小。 （略去了该题的，问）B1（2） （06 四川卷）已知球 的半径是 1， 、 、 三点都在球面上， 、OAA两点和 、 两点的球面距离都是 ， 、 两点的球面距离是 ，则二面角C43的大小是（ ）OA（A） （B） （C） （D）4322解析：（1）取 BC 的中点 O，连 AO。由题意：平面 平面 ， ， 平面 ，C1BAO1BC以 O 为原点，建立如图 6 所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ）（ 32,0A）（ 0,B）（ 0,29D）（ 0,321 ， ， ，）（ 9D）（ 31）（由题意 平面 ABD， 1为平面 ABD 的法向量。）（ 0,321B设 平面 的法向量为 ，
17、DA1 ),(2zyxn则 ， ， Bn12012BA，0329yxz即 。 不妨设 ，xz )23,1(2n由 ，23|,cos2121 nBn C B1BO A1D C1zA yx第 9 页 共 16 页得 。 故所求二面角 的大小为 。60,21nBBAD160评析：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找证 求” 直接简化成了一步曲：“ 计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神；（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若
18、取 时，会算得 ，从而所求二面角为 ，但)23,1(n 21,cos1nB120依题意只为 。因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角。所以在计算之60前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。（2）解析：球 的半径是 R= ， 三点都在球面上， 两点和 两点O1,ABC,AB,C的球面距离都是 ，则AOB，AOC 都等于 ，AB=AC， 两点的球面距离是44， BOC= ，BC=1，过 B 做 BDAO，垂足为 D，连接 CD，则 CDAD ，则3BDC 是二面角 的平面角，BD=CD= ，BDC= ，二面角OAC22的大小是 ，选 C。B2题型 4
19、：异面直线间的距离例 7如图，已知正方体 棱长为 ，1AB1Da求异面直线与 的距离1B解法一：连结交的中点，取 的中点，1C连结交 于，连 ，则 ，过作C11A/OM交于，则 。1EF又斜线 的射影为， ，1。BDACBD, 1A1BC1 第 10 页 共 16 页同理 ， 为与 的公垂线，由于为 的中CBEFAC11,CB11C点， ， 。M21EM， ，故,25BaBE3532BMEOF ， 3FaaEF32解法二 （转化为线面距）因为平面 ， 平面 ，故与 的距离就是CDB1CDB1B1到平面 的距离。1由 ，即 ，得 BCDBV11aha 221343 ah3解法三 （转化为面面距）
20、易证平面 平面 ，用等体积法易得到CD1BA1平面 的距离为 。A1a3同理可知： 到平面 的距离为 ，而 ，故两平面间距离为1CB1a3aCA31a3解法四 （垂面法）如图，平面 ，DB1， 平面 ，111,ODBCACO平面 平面 ， ，11故 O 到平面 的距离为 斜边上的高1Rt 1A1BC1OMN 1A1BC1E第 11 页 共 16 页A BCD OSxyz图 2。aaCOh321解法五。 （函数最小值法）如图，在上取一点 M，作 ME BC 于 E，过 E 作EN BD 交 BD 于 N，易知 MN 为 BD 与 的公垂线时， MN 最小。CB1设 BE= ，CE=ME= ，EN
21、= ，xxax2MN= = = 。2213a3232ax当时 ，时， 。ax3MNmin例 8如图 2，正四棱锥 的高SABCD，底边长 。求异面直线 和SOAB之间的距离？C分析：建立如图所示的直角坐标系，则， ，2(,0)2(,0)， ，, ,D。(2)S， 。,0B2(,)CS令向量 ，且 ，(,1)nxy,nDBS则 ， ， ，0DBnCS(,)2,0)1xy 02xy， 。2xy(2,)异面直线 和 之间的距离为：BDSC第 12 页 共 16 页OCnd2(,0)(2,1),。22105()(题型 5：点面距离例 9如图，已知为边长是的正方形，分别是，的中点，垂直于所在的平面，且，
22、求点到平面的距离。解法一：连结，212FABESF又，分别是，的中点，,43,CHD。222G， ，11EFS hVEFGB13231，23BGV1h解法二 ，分别是，的中点， ， 到平面的距离为上任一点到平面的距离， 于，又 平面， 平面,ACEF， ， 平面， 平面 平面，过点作 ，则 平面， 为到平面的距离，即到平面OO的距离。由解法一知： ，由 得 241AH2GHHCG O 第 13 页 共 16 页。12,OGCH思维点拔：注意点距，线面距，面面距的转化，利用平面互相垂直作距离也是一种常用的方法。例 10 （1） （06 安徽）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方
23、体的一个顶点 A 在平面 内，其余顶点在 的同侧，正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 的距离分别为 1，2 和 4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则 P 到平面 的 距离可能是：_（写出所有正确结论的编号）3； 4； 5； 6； 7（2）平行四边形的一个顶点 A 在平面 内，其余顶点在 的同侧，已知其中有两个顶点到 的距离分别为 1 和 2 ，那么剩下的一个顶点到平面 的距离可能是：1； 2； 3； 4； 以上结论正确的为_。 （写出所有正确结论的编号）解析：（1）如图，B、D、A 1到平面 的距离分别为 1、2、4，则 D、A 1的中点到平面 的距离为 3，所以 D1到平面 的距离为
24、 6；B、A 1的中点到平面 的距离为 ，所 52以 B1到平面 的距离为 5；则 D、B 的中点到平面 的距离为 ，所以 C 到平面 的距离为 3；C、A 1的中点2到平面 的距离为 ，所以 C1到平面 的距离为 7；7而 P 为 C、C 1、B 1、D 1中的一点，所以选。（2）如图，B、D 到平面 的距离为 1、2，则D、B 的中点到平面 的距离为 ，所以 C 到平面 的3距离为 3；B、C 到平面 的距离为 1、2，D 到平面 的距离为 ，则 ，即x121x或，所以 D 到平面 的距离为 1；1xC、D 到平面 的距离为 1、2，同理可得 B 到平面 的距离为 1；所以选。题型 6：线
25、面距离例 11已知正三棱柱 的底面边长为1CAB8，对角线 ，D 是 AC 的中点。 （1）求点 到10B1直线 AC 的距离。 （2）求直线 到平面 的距离。BD解析：（1）连结 BD， ，由三垂线定理可得：1 BA CD1A1B1A BCDA1第 14 页 共 16 页A CBPEF图7，所以 就是 点到直线 AC 的距离。ACDB1B11在 中 Rt,68022C34BD。211（2）因为 AC 与平面 BD 交于的中点，设 ，则EC11/DE，所以 /平面 ，所以 到平面 BD 的距离等于点到平面 BD1AB1ABDC11AB的距离，等于点到平面 BD 的距离，也就等于三棱锥 的高。C
26、 1BD， ， 所以，直线BDCBV11131CShBDBC32h到平面 BD 的距离是 。1A12思维点拔：求空间距离多用转化的思想。例 12如图 7，已知边长为 的正三角形 中，42BC、 分别为 和 的中点， 面 ，且EFBCAPA，设平面 过 且与 平行。 求 与平面2PAFEE间的距离？分析：设 、 、 的单位向量分别为 、P1e、 ，选取 ， ， 作为空间向量的一组基底。2e31e23易知 ，123230123,6,APeEeCe= = = ，F1A()2PAEC1236ee设 是平面 的一个法向量，则123nxey，,EP第 15 页 共 16 页，即 ，0nAEPF222123
27、60yex 02yx直线 与平面 间的距离 =132.neAEdApn113213().e五思维总结1这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何知识（特别是余弦定理）熟练解题。特别注意:空间各种角的计算都要转化为同一平面上来，这里要特别注意平面角的探求；2把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决。求角的三个基本步骤：“ 作” 、 “证”、 “算”。3求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置；作
28、线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足” （斜足与垂足） ，而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理；求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种：根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线。解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面。作二面角的平面角应把握先找后作的原则。此外在解答题中一般不用公式“cos ”求二面角否则要适当扣分。S求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质。而间接法中常用的是等积法及转移法；求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离。4注意数学中的转化思想的运用（1）常用等角定理或平行移动直线及平面的方法转化所求角的位置；（2）常用平行线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所求距离的位置；第 16 页 共 16 页（3）常用割补法或等积（等面积或等体积）变换解决有关距离及体积问题。
