1、第 1 页 共 10 页普通高中课程标准实验教科书数学 人教版高三新数学第一轮复习教案（讲座 36）空间向量及其应用一课标要求：（1）空间向量及其运算 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。（2）空间向量的应用 理解直线的方向向量与平面的法向量； 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理） ； 能用向量方法解决线线、线面
2、、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。二命题走向本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。预测 07 年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。三要点精讲1空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：长度相等且方向
3、相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。说明：由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。2向量运算和运算率baABO)(RP第 2 页 共 10 页加法交换率： .ab加法结合率： ).()(cc数乘分配率：说明：引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。3平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量
4、或平行向量。 平行于 记作 。aba注意：当我们说 、 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能ab是平行直线；当我们说 、 平行时，也具有同样的意义。共线向量定理：对空间任意两个向量 （ ） 、 ， 的充要条件是存在实0b数 使 b注：上述定理包含两个方面：性质定理：若 （ 0） ，则有 ，其aa中 是唯一确定的实数。判断定理：若存在唯一实数 ，使 （ 0） ，则有 （若用此结论判断 、 所在直线平行，还需 （或 ）上有一点不在 （或 ）aabbb上） 。对于确定的 和 ， 表示空间与 平行或共线，长度为 | |，当 0时与 同向，当 的大小(其中c a0 。ab)解析：（1）答
5、案：13；解析：（2 ） =2 2 =2| |2| | |cos120=2425（ ）abab1=13。（2）解：(1)| |=| |=1，x 21+y =1，x 2=y =1.又 与 的夹角为 4， =| | |cos 4= 21=6.acac又 =x1+y1，x 1+y1= 26。另外 x 2+y =(x1+y1)2-2x1y1=1，2x 1y1=( 26)21=1.x 1y1= 4。(2)cos= =x1x2+y1y2，由(1)知，x 1+y1=6，x 1y1= .x 1，y 1 是方ab|第 9 页 共 10 页程 x26x+ 41=0 的解. ,426,1y或 .426,1yx同理可
6、得 ,426,2yx或 .426,yx ， ,426,12yx或 .426,12yxabcos= + =1+ = 2.0， = 3。abab评述：本题考查向量数量积的运算法则。题型 5：空间向量的应用例 9 （1）已知 a、b、c 为正数，且 a+b+c=1，求证：3a+ + 134 。（2）已知 F1=i+2j+3k，F 2=-2i+3j-k，F 3=3i-4j+5k，若 F1，F 2，F 3 共同作用于同一物体上，使物体从点 M1（1，- 2，1）移到点 M2(3，1，2)，求物体合力做的功。解析：（1）设 =( 3a， b， c)， =(1，1，1)，mn则| |=4，| |= .n |
7、 | |， = 13a+ b+ 13c| | |=4 3.mn当 1= = 时，即 a=b=c= 时，取“=”号。（2）解：W= Fs=(F1+F2+F3) 21M=14。点评：若 =(x，y，z)， =(a，b，c)，则由 | | |，得(ax+by+cz)mnn2(a 2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查| | | 的应用，ab解题时要先根据题设条件构造向量 ， ，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的a数量积对应做功问题。第 10 页 共 10 页例 10如图,直三棱柱 中, 求证: 1CBA,11CAB.1CAB证明： ,1 ,0)()(, 2
8、111111 .2同理 ,111 CBBA ,0),(012 BCAC又 ,1.)(A设 为 中点,则DB2D,0DBC又AC.,111点评：从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题，要用到空间多边形法则，向量的运算，数量积以及平行,相等和垂直的条件。五思维总结本讲内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O 和一个单位正交基底i，j ，k 建立坐标系，对于 O 点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐
9、标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。如向量的数量积 ab=|a|b|cos在二维、三维都是这样定义的，不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为 ，对于中点公式要熟记。对本讲内容的考查主要分以下三类：1以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。2向量在空间中的应用在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针。本讲考题大多数是课本的变式题，即源于课本。因此，掌握双基、精通课本是本章关键。
