1、第 1 页 共 18 页普通高中课程标准实验教科书数学 人教版高三新数学第一轮复习教案（讲座 6）函数与方程一课标要求：1结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。二命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题
2、与这三个“二次”问题有关。预计 2008 年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。三要点精讲1方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数)(Dxfy0)(xfx的零点。)(Dxfy函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数)(xfy)(xf的图象与 轴交点的横坐标。即：方程 有实数根 函数)(xfy 0的图象与 轴有交点 函数 有零点。)(xfy二次函数 的零点：)0(2a
3、cbxy），方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个x交点，二次函数有两个零点；），方程 有两相等实根（二重根） ，二次函数的图象与02cbxa第 2 页 共 18 页轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；x），方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次02cbxa x函数无零点。零点存在性定理：如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，)(fy,ba并且有 ，那么函数 在区间 内有零点。既存在 ，0)(bfax)( ),(bac使得 ，这个 也就是方程的根。cc2.二分法二分法及步骤：对于在区间 ， 上连续不断，且满足 的函数 ，通过ab)(afbf0)(xfy不断
4、地把函数 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进)(xf而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度 ，用二分法求函数 的零点近似值的步骤如下：)(xf（1）确定区间 ， ，验证 ，给定精度 ；ababf0（2）求区间 ， 的中点 ；()1x（3）计算 ：1xf若 = ，则 就是函数的零点；)(0若 0，f(x) 在区间p，q上的最大值 M，最小值 m，令 x0= (p+q)。1若 f(1m)当 x(1 m, +) 时,f （x）0,f(x)为增函数,f(x)f (1m)根据函数极值判别方法，f(1m)=1m 为极小值，而且对 x( m, +) 都有 f(x)f(1m)=1 m
5、故当整数 m1 时，f(x) 1m0(2)证明：由（I）知，当整数 m1 时，f(1m)=1-m1 时， ),121( 032(3)(3)2归 纳 法 证 明上 述 不 等 式 也 可 用 数 学mmef m类似地，当整数 m1 时，函数 f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数且 ,1ef(1-m)与 异号，由所给定理知，存在唯一的)(2ef 0)(,122 xfmx使故当 m1 时，方程 f(x)=0 在 内有两个实根。,2me点评：本题以信息给予的形式考察零点的存在性定理。解决该题的解题技巧主要在区间的放缩和不等式的应用上。例 4若函数 在区间a,b 上的图象为连续不断的一条曲线
6、，则下列说法正确的)(xfy是（ ）A若 ，不存在实数 使得 ；0)(f ),(bac0)(cf第 7 页 共 18 页B若 ，存在且只存在一个实数 使得 ；0)(bfa ),(bac0)(cfC若 ，有可能存在实数 使得 ； D若 ，有可能不存在实数 使得 ；)(f ),(c)(cf解析：由零点存在性定理可知选项 D 不正确；对于选项 B，可通过反例“在区间 上满足 ，但其存在三个解 ”)1()(xxf 2,0)2(f 1,0推翻；同时选项 A 可通过反例“ 在区间 上满足1()xf ,，但其存在两个解 ”；选项 D 正确，见实例“ 在区0)2(f ,)(2xf间 上满足 ，但其不存在实数解
7、” 。,0)2(f点评：该问题详细介绍了零点存在性定理的理论基础。题型 3：二分法的概念例 5关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（）A“二分法”求方程的近似解一定可将 在a,b 内的所有零点得到；)(xfyB“二分法”求方程的近似解有可能得不到 在a,b 内的零点；C应用“二分法”求方程的近似解， 在a,b内有可能无零点；)(xfyD“二分法”求方程的近似解 可能得到 在 a,b内的精确解；0解析：如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点
8、，甚至有可能得到函数的精确零点。点评：该题深入解析了二分法的思想方法。例 6方程 在0，1内的近似解，用“二分法” 计算到 达到精0)(xf 45.01x确度要求。那么所取误差限 是（ ）A0.05 B0.005 C0.0005 D0.00005解析：由四舍五入的原则知道，当 时，精度达到)45.0,.10x。此时差限 是 0.0005，选项为 C。45.01x第 8 页 共 18 页点评：该题考察了差限的定义，以及它对精度的影响。题型 4：应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解例 7借助计算器，用二分法求出 在区间（1，2）内的近似解xx3)62ln(（精确到 0.1） 。解析：原方程即
9、。03)62ln(x令 ，)l()xxf用计算器做出如下对应值表x 2 1 0 1 2f(x) 2.5820 3.0530 27918 1.0794 4.6974观察上表，可知零点在（1，2）内取区间中点 =1.5，且 ，从而，可知零点在（1，1.5）内；1x0.)5.(f再取区间中点 =1.25，且 ，从而，可知零点在（1.25，1.5）内；22同理取区间中点 =1.375，且 ，从而，可知零点在（1.25，1.375）内；3x)37.(f由于区间（1.25，1.375）内任一值精确到 0.1 后都是 1.3。故结果是 1.3。点评：该题系统的讲解了二分法求方程近似解的过程，通过本题学会借助
10、精度终止二分法的过程。例 8借助计算器或计算机用二分法求方程 的近似解（精确到 ） 。732x1.0分析：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？略解：图象在闭区间 ， 上连续的单调函数 ，在 ， 上至多有一个零ab)(xfa)b点。点评：第一步确定零点所在的大致区间 ， ，可利用函数性质，也可借助计a()b算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为 1 的区间；建议列表样式如下：零点所在区间 中点函数值 区间长度第 9 页 共 18 页1，2 0)5.1(f11， 1.5 020.51.2
11、5，1.5 0)37.(f0.25如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步。题型 5：一元二次方程的根与一元二次函数的零点例 9 设二次函数 ，方程 的两个根fxabxc20fx0满足 . 当 时，证明 。x12, 1,1证明：由题意可知 ，)()(2xxf,ax1021 ,0)(a 当 时， 。x1,xf(又 ,)1)()( 2112 axxf,0,021 axax且 ,)(f综上可知，所给问题获证。点评：在已知方程 两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写fx0出函数 的表达式，从而得到函数 的表达式。xf)(xf例 10已知二次函数 ，设方程 的)0,1)
12、(2aRbaxf xf)(两个实数根为 和 . 1x2（1）如果 ，设函数 的对称轴为 ，求证： ；4)(xf0x10（2）如果 ， ，求 的取值范围.1x212xb第 10 页 共 18 页解析：设 ，则 的二根为 和 。1)()(2xbaxfxg 0)(xg1x2（1）由 及 ，可得 ，即 ，0a421)4(3462ba即 ,0432,3ab两式相加得 ，所以， ；110x（2）由 , 可得 。abx4)()(221)(22b又 ，所以 同号。01a21,x ， 等价于21x11)(102bax或 ,)(022ba即 或1)(120)2bag1)(0)2bag解之得 或 。47点评：条件
13、实际上给出了 的两个实数根所在的区间，因21xxf)(此可以考虑利用上述图像特征去等价转化。题型 6：一元二次函数与一元二次不等式例 11设 ，若 ， ， , fxabxc20f1ff 1试证明：对于任意 ，有 。1f54第 11 页 共 18 页解析： ,cfbafcbaf 0,1,1 ,0)1(2)0(2 fa .22 011xfxfxfx 当 时，0.45)21( )1(2122 222 22xxxx xfxfxff当 时，022101xfxfff 222xx)1(222x.45)21(x综上，问题获证。点评：本题中，所给条件并不足以确定参数 的值，但应该注意到：所要求的结ba,论不是确
14、定值，而是与条件相对应的“取值范围” ，因此，我们可以用来表示 。1,0ff cba,第 12 页 共 18 页例 12已知二次函数 ，当 时，有 ，fxabxc()21x1fx()求证：当 时，有2x7f解析：由题意知： ，cbafcf )(,)0(,)1( ，)0(,122)(21 fbffa 。fxbxc 22)()1( xfxfxf 由 时，有 ，可得 1f。,)(f,f10 ,7)0(3)1(33)2 ffff。( f（1）若 ，则 在 上单调，故当 时，,2abxf2,2,x)(,ma()(ff 此时问题获证. （2）若 ，则当 时，2,ab2,x)2,)(a()(mx abfff
15、又 72414)1(202422 fabfabcabf， 此时问题获证。综上可知：当 时，有 。x7fx()点评：研究 的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用)(f第 13 页 共 18 页已知条件来表达参数 . 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑 ，cba, )1(f， ，这样做的好处有两个：一是 的表达较为简洁，二是由于)1(f0f cba,正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次和函数范围的目的。要考虑 在区间 上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑xf7,在区间端点和顶点处的函数值。f题型 7：二次函数的图像与性质例 1
16、3 （1996 上海，文、理 8）在下列图象中，二次函数 y=ax2+bx 与指数函数 y=（） x的图象只可能是（ ）ab解析一：由指数函数图象可以看出 0 1.抛物线方程是 y=a（x+ ） 2 ，abb4a其顶点坐标为（ ， ） ，又由 0 1，可得 0.观察选择支，可ab242 21选 A。解析二：求 y=ax2+bx 与 x 轴的交点，令 ax2+bx=0，解得 x=0 或 x= ，而1ab0.故选 A。ab点评：本题虽小，但一定要细致观察图象，注意细微之处，获得解题灵感。例 14（2002 全国高考题）设 aR，函数 f(x)=x2+|xa|+1, xR. （1）讨论 f(x)的奇
17、偶性（2）求 f(x)的最小值.第 14 页 共 18 页解：（1）显然 a=0 时，f(x) 为偶函数，当 a0 时，f(a)=a 2+1, f(a)=a 2+2|a|+1f(a)f(a), f(a)+f(a)0 此时 f(x)为非奇非偶函数.（2）首先应先去掉绝对值，再进行讨论.当 xa 时， .43)21()(2 axaxf若 ,则 f(x)在区间（-，a 上单调递减，21 f(x)的最小值为 f(a)=a2+1.(如图(I)若 ，则 f(x)在区间（-，a 上的最小值为 （如图 II). af43)21(当 xa 时， ，43)21()(2 axaxf若 ，则 f(x)在a,+上的最小
18、值为 （如图 III）。21f若 ，则 f(x)在a,+上单调递增。a则 f(x)在a,+ 上的最小值为 f(a)=a2+1.(如图 IV)。综上，当 时，f(x )最小值为 。2143第 15 页 共 18 页当 时，f(x )最小值为 a2+1。21a当 时，f(x )最小值为 。43点评：该题考察到函数的图像与性质的综合应用，考察了分类讨论的思想。题型 8：二次函数的综合问题例 15 （2005 浙江文 20）已知函数 和 的图象关于原点对称，且fxg。2fx()求函数 的解析式；gx()解不等式 ；1fx()若 在 上是增函数，求实数 的取值范围。hxg, 解析：()设函数 的图象上任
19、意一点 关于原点的对称点为yfx0,Qxy，则,Pxy00,2.,即点 在函数 的图象上0,Qyfx 222,yxgx， 即 故()由 2110gf， 可 得当 时， ，此时不等式无解。120当 时， ，解得 。xxx因此，原不等式的解集为 。1,2（） 21hxxx 4,当 时 ， 在 上 是 增 函 数 ， 1.x当 时 ， 对 称 轴 的 方 程 为） 1,.当 时 ,解 得第 16 页 共 18 页） 1,10.当 时 ,解 得0.综 上 ，点评：本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。例 16已知函数 。xza
20、f2)(（1）将 的图象向右平移两个单位，得到函数 ，求函数xy )(xgy的解析式；)(xgy（2）函数 与函数 的图象关于直线 对称，求函数)(xhy)(xgy1y的解析式；)(xhy（3）设 ，已知 的最小值是 且 ，求实数)(1xfaF)(xFm72的取值范围。a解析：(1) ;2xafxg(2)设 的图像上一点 ，点 关于 的对称点为 ，hyyP,y,1yxQ2,由点 Q 在 的图像上，所以x，yax22于是 ,y即 ;2xxh（3） 。2)14(21)(1)( xxaahfaF设 ，则 。xt24t问题转化为： 对 恒成立. 即7214ta0t对 恒成立. （*）472at第 17
21、 页 共 18 页故必有 .（否则，若 ，则关于 的二次函数04a04at开口向下，当 充分大时，必有 ；而当17)(2ttu 0tu时，显然不能保证（*）成立.） ，此时，由于二次函数的对称轴 ，所以，问题等价于 ，1474)(2atatu 0847at 0t即 ，01470a解之得： 。2此时， ，故 在 取014,a214)(taxFat4)1(得最小值 满足条件。22m点评：紧扣二次函数的顶点式 对称轴、最值、判别式,422abcxay显合力。五思维总结1函数零点的求法：（代数法）求方程 的实数根；0)(xf（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系)(xfy起来，
22、并利用函数的性质找出零点。2学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题。由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等） ，所以，第 18 页 共 18 页在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质。（1）二次函数的一般式 中有三个参数 . 解题的关键cbxay2)0(cba,在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数。（2）数形结合：二次函数 的图像为抛物线，具有许)(2f多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等。结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观。因为二次函数 在区间0)(2acbxaxf和区间 上分别单调，所以函数 在闭区间上的最大值、最小2,(ab),2ab值必在区间端点或顶点处取得；函数 在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处)(xf取得。
