1、第 1 页 共 16 页普通高中课程标准实验教科书数学 人教版高三新数学第一轮复习教案（讲座 4）基本初等函数一课标要求1指数函数（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的 14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等） ，了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。2对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用
2、对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3知道指数函数 与对数函数 互为反函数（a0，a1） 。xayxylog二命题走向指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算
3、理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。预测 2007 年对本节的考察是：1题型有两个选择题和一个解答题；2题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。三要点精讲1指数与对数运算（1）根式的概念：定义：若一个数的 次方等于 ，则这个数称 的 次方根。n),1(Nna且 an即若 ，则 称 的 次方根 ，axn且1）当 为奇数时， 次方根记作 ；的 n第 2 页 共 16 页2）当 为偶数时，负数 没有 次方根，而正数 有两个 次方根且互为相反数，nanan记作 。)0(a性质：1） ；2）当 为奇数时， ；nn3
4、）当 为偶数时， 。)0(|aa（2） 幂的有关概念规定：1） N*；2） ；nn( )(10n 个3） Q，4） 、 N* 且 。pap( manm,(n)1性质：1） 、 Q） ；rsrsr,0(s2） 、 Q） ；srsr,()( 3） Q） 。 rbabarr ,（注）上述性质对 r、 R 均适用。s（3） 对数的概念定义：如果 的 b 次幂等于 N，就是 ，那么数 称以)1,0(且 abb为底 N 的对数，记作 其中 称对数的底， N 称真数。a,logNa1）以 10 为底的对数称常用对数， 记作 ；10logl2）以无理数 为底的对数称自然对数， ，记作 ；)7182.(e el
5、ogNln基本性质：1）真数 N 为正数（负数和零无对数） ；2） ；01la3） ；4）对数恒等式： 。logaNalog运算性质：如果 则,0,0M第 3 页 共 16 页1） ；NMNaaalogl)(log2） ；3） R） 。nana(ll换底公式： ),0,1,0logl NmaNma1） ；2） 。1llogba bnaalog2指数函数与对数函数（1）指数函数：定义：函数 称指数函数，)1,0(yx且1）函数的定义域为 R；2）函数的值域为 ；),0(3）当 时函数为减函数，当 时函数为增函数。10aa函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1） ，且图象都在第一、二象限；2
6、）指数函数都以 轴为渐近线（当 时，图象向左无限接近 轴，当x10ax时，图象向右无限接近 轴） ；a3）对于相同的 ，函数 的图象关于 轴对称。),0(a且 xxy与 y函数值的变化特征： 11a ，0yx时 ，时 1yx时 ，0yx时 ，时 ，1yx时第 4 页 共 16 页（2）对数函数：定义：函数 称对数函数，)1,0(logaxya且1）函数的定义域为 ；2）函数的值域为 R；),3）当 时函数为减函数，当 时函数为增函数；104）对数函数 与指数函数 互为反函数。xyalog)1,0(ayx且函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1） ，且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以
7、 轴为渐近线（当 时，图象向上无限接近 轴；当y10ay时，图象向下无限接近 轴） ；a4）对于相同的 ，函数 的图象关于 轴对),0(a且 xyxyaa1logl与 x称。函数值的变化特征：10a1 ，yx时 ，时 .010yx时 ，0yx时 ，时 .1yx时第 5 页 共 16 页四典例解析题型 1：指数运算例 1 （1）计算：；25.02121325.032 6)3.0().()8()94(8 （2）化简： 。5323233214 )(aabab解：（1）原式= 41322132 )065(140)8()9478( ；9)7(105394 （2）原式= 51323123131231 )(
8、)()( ababa。2331653131312aba 点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。例 2已知 ，求 的值。123x23x解： ，12 ，()9x ，1第 6 页 共 16 页 ，17x ，2()49 ，x又 ，31122()()3(7)18xx 。324738x点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。题型 2：对数运算例 3计算（1） ；（2） ；2(lg)l5
9、0lg 3948(log2l)(log3l)（3） 。1.l236.l16l )(8解：（1）原式 22(lg)l5)gl(lg51)l2g5；1)（2）原式 l2l3l2l3l()()g94g83lg2g ；3l56（3）分子= ；3)2lg5(l3g)2(llg(l 分母= ；4106ll103l)26(lg原式= 。43点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以第 7 页 共 16 页及学习数式变换的各种技巧。例 4设 、 、 为正数，且满足 头htp:/w.xjkygcom126t
10、:/.j abc2ab（1）求证： ；22log(1)log()（2）若 ， ，求 、 、 的值。4a83cabc证明：（1）左边 222lllog()bb；2222()loglogll1abcccaa解：（2）由 得 ，4l(1)b14b 30abc由 得 82log()3238ac由 得 由得 ，代入 得 ，cb22(4)0ab ， 0a430由、解得 ， ，从而 。6810c点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。题型 3：指数、对数方程例 5设关于 的方程 R） ，xbx(0241（1）若方程有实数解，求实数 b 的取值范围；（
11、2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。解：（1）原方程为 ，1x，1)2()2(41 xx时方程有实数解；,b当（2）当 时， ，方程有唯一解 ；1x 0x第 8 页 共 16 页当 时， .1b bbxx 121)2(的解为 ；x,0,02 )1(log2b令 ,0的解为 ；bbx12,1时当 )(l2x综合、，得1）当 时原方程有两解： ；0)1(log2b2）当 时，原方程有唯一解 ；1b或 x3）当 时，原方程无解。点评：具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛
12、，应通过解题学习不断积累经验。例 6 （2006 辽宁 文 13）方程 的解为 。22log(1)log(1)xx解：考察对数运算。原方程变形为 ，2)1(log2x即 ，得 。且 有 。从而结果为 。412x5x01x5点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。题型 4：指数函数的概念与性质例 7设 （ ）123,() (2)log().xef f ， 则 的 值 为，A0 B1 C2 D3解：C； ， 。)(l)(23f ef)(10点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值。例 8已知 ),()(log1ax
13、fa且试求函数 f(x)的单调区间。解：令 tx，则 x= ，t R。所以 tf)(即 xf)(， （xR） 。第 9 页 共 16 页因为 f(x)=f( x)，所以 f(x)为偶函数，故只需讨论 f(x)在0，+）上的单调性。任取 1， 2，且使 210，则ff)()(1122 xxaa2121x（1）当 a1 时，由 210x，有 210xa， 121x，所以)(12fxf，即 f(x)在 0，+上单调递增。（2）当 01 时，函数 y=logax 和 y=(1a) x 的图象只可能是 ( )第 12 页 共 16 页A1oy xB1oy xC1oy xD1oy x解：当 a1 时，函数
14、 y=logax 的图象只能在 A 和 C 中选，又 a1 时，y=(1a)x 为减函数。答案：B点评：要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性。例 14设 A、B 是函数 y= log2x 图象上两点, 其横坐标分别为 a 和 a+4, 直线 l: x=a+2 与函数 y= log2x 图象交于点 C, 与直线 AB 交于点 D。（1）求点 D 的坐标；（2）当ABC 的面积大于 1 时, 求实数 a 的取值范围。解：（1）易知 D 为线段 AB 的中点, 因 A(a, log2a ), B(a+4, l
15、og2(a+4)，所以由中点公式得 D(a+2, log2 )。4(（2）S ABC =S 梯形 AACC +S 梯形 CCBB - S 梯形 AABB = log2 , )4(2a其中 A,B ,C为 A,B,C 在 x 轴上的射影。由 SABC = log2 1, 得 0bn+1bn+2。则以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形的充要条件是 bn+2+bn+1bn，即( )2+( )10 ，10a解得 a5( 1)。 55( 1)a10 。5(3)5( 1) a10，a=7b n=2000( ) 。数列b n是一个递减的正数数列，1072n对每个自然数 n2,B n=bnBn
16、1 。于是当 bn1 时，B nBn1 ，当 bn1 时，B nB n1 ，因此数列B n的最大项的项数 n 满足不等式 bn1 且 bn+11，由 bn=2000( ) 1 得： n20。072n=20。点评：本题题设从函数图像入手，体现数形结合的优越性，最终还是根据函数性质结合数列知识，以及三角形的面积解决了实际问题。例 16已知函数 为常数）1,0)(log)( axaxf（1）求函数 f(x)的定义域；（2）若 a=2，试根据单调性定义确定函数 f(x)的单调性。（3）若函数 y=f(x)是增函数，求 a 的取值范围。解：（1）由 得0a0，x0 221axf(x)的定义域是 。),(
17、（2）若 a=2，则 )2(logxxf第 14 页 共 16 页设 ， 则4121x 01)(2)()()(2)()( 211211 xxxx21xff故 f(x)为增函数。（3）设 112121 xaax则01)()()()()()( 21221 xaxax2xf(x)是增函数，f(x 1)f(x 2)即 )(loglog21xaa联立、知 a1，a(1，+ )。点评：该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可。题型 9：课标创新题例 17对于在区间 上有意义的两个函数 f(x)与 g(x)，如果对任意的 ，nm
18、, xnm,均有 ，则称 f(x)与 g(x)在 上是接近的，否则称 f(x)与 g(x)在1)(xgf n,上是非接近的，现有两个函数 与nm, )3(lo1a，给定区间 。),0(lo)(2 axfa ,2（1）若 与 在给定区间 上都有意义，求 a 的取值范围；)1f2f（2）讨论 与 在给定区间 上是否是接近的。()x3,a解：（1）两个函数 与 在)(log(1xfa )1,0(1log(2 axf给定区间 有意义，因为函数 给定区间 上单调递增，3,ay3,第 15 页 共 16 页函数在 给定区间 上恒为正数，axy13,2a故有意义当且仅当 ；103)2(0a（2）构造函数 ，
19、)3(log)(21 axxffxFa对于函数 来讲， )(t显然其在 上单调递减，在 上单调递增。,(a),且 在其定义域内一定是减函数。tylog由于 ，得1020a所以原函数在区间 内单调递减，只需保证3,1|)2(log|)3(| 42aaFaa1)23(当 时， 与 在区间 上是接近的；15790)(1xf2f3,2a当 时， 与 在区间 上是非接近的。2a)(1f2f,点评：该题属于信息给予的题目，考生首先理解“接近”与“非接近”的含义，再对含有对数式的函数的是否“接近”进行研究，转化成含有对数因式的不等式问题，解不等式即可。例 18设 ， ，且 ，求 的最小值。1xy2logl3
20、0xy24Txy解：令 ，logxt第 16 页 共 16 页 ， ， 。1xy0t由 得 ， ，2logl3xy230t230t ， ， ，即 ， ，(1)0tt1t1logxy12x ，2224()4Txyx ，当 时， 。1minT点评：对数函数结合不等式知识处理最值问题，这是出题的一个亮点。同时考察了学生的变形能力。五思维总结1 （其中 ）是同一数量关系的三bNaNabn log, 1,0a种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；2要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式
21、；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母） 、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；3解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；4指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的 12 个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析；5含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于 1 或小于 1 分类；6在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力。
