1、第 13 章 静电场中的导体和电介质13.1 一带电量为 q，半径为 rA 的金属球A，与一原先不带电、内外半径分别为 rB和 rC 的金属球壳 B 同心放置，如图所示，则图中 P 点的电场强度如何？若用导线将A 和 B 连接起来，则 A 球的电势为多少？（设无穷远处电势为零）解答过 P 点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷 q根据高斯定理可得E4r2 = q/0，可得 P 点的电场强度为 20r当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q时，外侧将出现同种电荷 q用导线将 A和 B 连接起来后，正负电荷将中和A 球是一个等势体，其电势等于球心的电势A 球的电势
2、是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是 rc，所以 A 球的电势为 04cqUr13.2 同轴电缆是由半径为 R1 的导体圆柱和半径为 R2 的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介电常数为 r 的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量分别为+ 和- ，则通过介质内长为 l，半径为 r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一点的场强为多少？解答介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的在内外半径之间作一个半径为 r、长为 l 的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通过等于该面包含的自由电荷，即 d = q = l设高斯面的侧面为 S0，上下两底面分别为 S
3、1 和 S2通过高斯面的电位移通量为 dD012dSSSrlD，可得电位移为 D = /2r，其方向垂直中心轴向外电场强度为 E = D/0r = /20rr，方向也垂直中心轴向外13.3 金属球壳原来带有电量 Q，壳内外半径分别为a、b，壳内距球心为 r 处有一点电荷q，求球心 o 的电势为多少？解答点电荷 q 在内壳上感应出负电荷-q，不论电荷如何分布，距离球心都为a外壳上就有电荷 q+Q，距离球为 b球心的电势是所有电荷产生的电势叠加，大小为 0001144oqQqUrab13.4 三块平行金属板 A、B 和 C，面积都是 S = 100cm2，A、B 相距 d1 = 2mm，A、C 相
4、距 d2 = 4mm，B、C 接地，A 板带有正电荷 q = 310-8C，忽略边缘效应求（1）B、C 板上的电荷为多少？（2）A 板电势为多少？解答(1)设A 的左右两面的电荷面密度分别为 1 和2，所带电量分别为q1 = 1S 和 q2 = 2S，在 B、C 板上分别感应异号电荷 -q1 和-q 2，qobar图 13.3qAB C图 13.4DS1S2S0rR2 R1rl由电荷守恒得方程q = q1 + q2 = 1S + 2S A、B 间的场强为 E1 = 1/0，A、C 间的场强为 E2 = 2/0设 A 板与 B 板的电势差和 A 板与 C 板的的电势差相等，设为 U，则U = E
5、1d1 = E2d2， 即 1d1 = 2d2 解联立方程和得1 = qd2/S(d1 + d2)，所以 q1 = 1S = qd2/(d1+d2) = 210-8(C)；q2 = q - q1 = 110-8(C)B、C 板上的电荷分别为qB = -q1 = -210-8(C)；qC = -q2 = -110-8(C)(2)两板电势差为U = E1d1 = 1d1/0 = qd1d2/0S(d1+d2)，由于 k = 9109 = 1/40，所以 0 = 10-9/36，因此 U = 144 = 452.4(V)由于 B 板和 C 板的电势为零，所以UA = U = 452.4(V)13.5
6、 一无限大均匀带电平面 A，带电量为 q，在它的附近放一块与 A 平行的金属导体板 B，板 B 有一定的厚度，如图所示则在板 B 的两个表面1 和 2 上的感应电荷分别为多少？解答由于板 B 原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得q1 + q2 = 0 虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为 S，则面电荷密度分别为1 = q1/S、 2 = q2/S、 = q/S，它们产生的场强大小分别为E1 = 1/0、E 2 = 2/0、E = / 0在 B 板内部任取一点 P，其场强为零，其中 1 面产生的场强向右，2 面和 A 板产生的场强向左，取向右的方向为正，可得E1 - E2
7、 E = 0，即 1 - 2 = 0，或者说 q 1 - q2 + q = 0 解得电量分别为q2 = q/2，q 1 = -q2 = -q/213.6 两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为 120V，两板间相距为 1.2mm，忽略边缘效应，求每一个金属板表面的电荷密度各为多少？解答由于左板接地，所以 1 = 0由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，所以4 = 0由于两板带等量异号的电荷，所以2 = -3两板之间的场强为E = 3/0，而 E = U/d，所以面电荷密度分别为3 = 0E = 0U/d = 8.8410-7(Cm-2)，2 = -3 = -8.
8、8410-7(Cm-2)13.7 一球形电容器，内外球壳半径分别为R1 和 R2，球壳与地面及其他物体相距很远将内球用细导线接地试证：球面间电容可用公式2014RC表示（提示：可看作两个球电容器的并联，且地球半径 RR2）证明方法一：并联电容法在外球外面再接一个半径为 R3 大外球壳，外壳也接地内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为 121001244/RCRPq1 q2ABq图13.5521 43图 13.6oR2R1R3外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为 202314/CR外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联当 R3 趋于无穷大时，C 2 = 40R
9、2并联电容为 12120024021R方法二：电容定义法假设外壳带正电为 q，则内壳将感应电荷 q内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为 02014qR，因此感应电荷为 12q根据高斯定理可得两球壳之间的场强为 122004RqqErr，负号表示场强方向由外球壳指向内球壳取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为 1122dRRUErl12102()4Rqr121020()()4Rq球面间的电容为 2014RqCU13.8 球形电容器的内、外半径分别为 R1 和R2，其间一半充满相对介电常量为 r 的均匀电介质，求电容
10、C 为多少？解答球形电容器的电容为 12001244/R对于半球来说，由于相对面积减少了一半，所以电容也减少一半： 0121C当电容器中充满介质时，电容为： 0122rR由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联： 012122()rCR13.9 设板面积为 S 的平板电容器析板间有两层介质，介电常量分别为 1 和 2，厚度分别为 d1 和 d2，求电容器的电容解答假设在两介质的介面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电容分别为C1 = 1S/d1 和 C2 = 2S/d2总电容的倒数为 121212ddSS，总电容为 12CdoR2R1r图 13.8d212d1图 13.913.10 圆柱
11、形电容器是由半径为 R1 的导线和与它同轴的内半径为 R2 的导体圆筒构成的，其长为 l，其间充满了介电常量为 的介质设沿轴线单位长度导线上的电荷为，圆筒的电荷为- ，略去边缘效应求：（1）两极的电势差 U；（2）介质中的电场强度 E、电位移D；（3）电容 C，它是真空时电容的多少倍？解答介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的在内外半径之间作一个半径为r、长为 l 的圆柱形高斯面，侧面为S0，上下两底面分别为 S1 和 S2通过高斯面的电位移通量为 SdD012dSrlD，高斯面包围的自由电荷为 q = l，根据介质中的高斯定理 d = q，可得电位为 D = /2r，方向垂直中心轴向外电场强
12、度为 E = D/ = /2r，方向也垂直中心轴向外取一条电力线为积分路径，电势差为 21ddRLLUrrl21ln电容为 21l(/)qCUR在真空时的电容为0021ln(/)qCUR，所以倍数为 C/C0 = /013.11 在半径为 R1 的金属球外还有一层半径为 R2 的均匀介质，相对介电常量为r设金属球带电 Q0，求：（1）介质层内、外 D、E、P 的分布；（2）介质层内、外表面的极化电荷面密度解答（1）在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的在内外半径之间作一个半径为 r 的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为 DSSd 24dD高斯面包围的自由电荷为 q = Q0，根
13、据介质中的高斯定理 d = q，可得电位为 D = Q0/4r2，方向沿着径向用矢量表示为D = Q0r/4r3电场强度为 E = D/0r = Q0r/40rr3，方向沿着径向由于 D = 0E + P，所以 P = D - 0E = 031()4r在介质之外是真空，真空可当作介电常量 r = 1 的介质处理，所以D = Q0r/4r3，E = Q 0r/40r3，P = 0（2）在介质层内靠近金属球处，自由电荷 Q0 产生的场为E0 = Q0r/40r3；极化电荷 q1产生的场强为E = q1r/40r3；总场强为 E = Q0r/40rr3由于 E = E0 + E，解得极化电荷为 10
14、()r，介质层内表面的极化电荷面密度为DS1S2S0rR2 R1l 01221()44rQqR在介质层外表面，极化电荷为 21，面密度为 022()44rQqR13.12 两个电容器电容之比 C1:C2 = 1:2，把它们串联后接电源上充电，它们的静电能量之比为多少？如果把它们并联后接到电源上充电，它们的静电能之比又是多少？解答两个电容器串联后充电，每个电容器带电量是相同的，根据静电能量公式W = Q2/2C，得静电能之比为W1:W2 = C2:C1 = 2:1两个电容器并联后充电，每个电容器两端的电压是相同的，根据静电能量公式W = CU2/2，得静电能之比为W1:W2 = C1:C2 =
15、1:213.13 一平行板电容器板面积为 S，板间距离为 d，接在电源上维持其电压为 U将一块厚度为 d 相对介电常量为 r 的均匀介电质板插入电容器的一半空间内，求电容器的静电能为多少？解答平行板电容器的电容为C = 0S/d，当面积减少一半时，电容为 C1 = 0S/2d；另一半插入电介质时，电容为 C2 = 0rS/2d两个电容器并联，总电容为C = C1 + C2 = (1 + r)0S/2d，静电能为W = CU2/2 = (1 + r)0SU2/4d13.14 一平行板电容器板面积为 S，板间距离为 d，两板竖直放着若电容器两板充电到电压为 U 时，断开电源，使电容器的一半浸在相对
16、介电常量为 r 的液体中求：（1）电容器的电容 C；（2）浸入液体后电容器的静电能；（3）极板上的自由电荷面密度解答（1）如前所述，两电容器并联的电容为C = (1 + r)0S/2d（2）电容器充电前的电容为 C0 = 0S/d，充电后所带电量为 Q = C0U当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为W = Q2/2C = C02U2/2C = 0SU2/(1 + r)d（3）电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为 C1 = 0S/2d；介质中的一半的电容为 C2 = 0rS/2d设两半的所带自由电荷分别为 Q1 和 Q2，则Q1 + Q2 = Q 由于 C
17、 = Q/U，所以U = Q1/C1 = Q2/C2 解联立方程得 01221/，真空中一半电容器的自由电荷面密度为 00121/(/)()rCUQSSd同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为 00212(/)(1)rCUSd13.15 平行板电容器极板面积为 200cm2，板间距离为 1.0mm，电容器内有一块1.0mm 厚的玻璃板( r = 5)将电容器与300V 的电源相连求：（1）维持两极板电压不变抽出玻璃板，电容器的能量变化为多少？（2）断开电源维持板上电量不变，抽出玻璃板，电容器能量变化为多少？解答平行板电容器的电容为C0 = 0rS/d，静电能为 W0 = C0U2/2玻璃板抽
18、出之后的电容为C = 0S/d（1）保持电压不变抽出玻璃板，静电能为 W = CU2/2，电能器能量变化为W = W - W0 = (C - C0)U2/2= (1 - r)0SU2/2d = -3.1810-5(J)（2）充电后所带电量为 Q = C0U，保持电量不变抽出玻璃板，静电能为W = Q2/2C，电能器能量变化为 20(1)20(1)rrSUd= 1.5910-4(J)13.16 设圆柱形电容器的内、外圆筒半径分别为 a、b试证明电容器能量的一半储存在半径 R的圆柱体内解答设圆柱形电容器电荷线密度为，场强为 E = /20r，能量密度为 w = 0E2/2，体积元为 dV = 2r
19、ldr，能量元为 dW = wdV在半径 a 到 R 的圆柱体储存的能量为 20V200dln4RalRra当 R = b 时，能量为 210lW；当 ab时，能量为 2200lnln48ba，所以 W2 = W1/2，即电容器能量的一半储存在半径 Rab的圆柱体内13.17 两个同轴的圆柱面，长度均为 l，半径分别为 a、b，柱面之间充满介电常量为的电介质（忽略边缘效应） 当这两个导体带有等量异号电荷(Q) 时，求：（1）在半径为 r(a r b)、厚度为dr、长度为 l 的圆柱薄壳中任一点处，电场能量体密度是多少？整个薄壳层中总能量是多少？（2）电介质中总能量是多少（由积分算出）？（3）由
20、电容器能量公式推算出圆柱形电容器的电容公式？解答（1）圆柱形内柱面的电荷线密度为 = Q/l，根据介质是高斯定理，可知电位移为 D = /2r = Q/2rl，场强为 E = D/ = Q/2rl，能量密度为 w = DE/2 = DE/2 = Q2/82r2l2薄壳的体积为 dV = 2rldr，能量为 dW = wdV = Q2dr/4lr（2）电介质中总能量为 22ln4bVablra（3）由公式 W = Q2/2C 得电容为ln(/)ba13.18 两个电容器，分别标明为200PF/500V 和 300PF/900V把它们串联起来，等效电容多大？如果两端加上 1000V电压，是否会被击穿？解答当两个电容串联时，由公式 211C，得 210PF加上 U = 1000V 的电压后，带电量为Q = CU，第一个电容器两端的电压为U1 = Q/C1 = CU/C1 = 600(V)；第二个电容器两端的电压为U2 = Q/C2 = CU/C2 = 400(V)由此可知：第一个电容器上的电压超过它的耐压值，因此会被击穿；当第一个电容器被击穿后，两极连在一起，全部电压就加在第二个电容器上，因此第二个电容器也接着被击穿
