1、绵阳市高中 2019 届高三第二次诊断性考试理科数学一、选择题（60 分）1.在复平面内，复数 对应的点位于( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】z i2.己知集合 A=0, 1，2, 3，4，B=x 1 ，则 AB( )A. 1，2，3，4 B. 2，3，4 C. 3，4 D. 4【答案】B【解析】【分析】先求出集合 B，由此能求出 A B【详解】 1 ，所以，x10，即 x1，集合 A 中，大于 1 的有：2，3，4 ，故 AB2，3，4 .故选 B.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、指数不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基
2、础题3.下图所示的茎叶图记录的是甲、乙两个班各 5 名同学在一次数学小测试中的选择题总成绩（每道题 5 分，共 8 道题） 已知两组数据的中位数相同，则 m 的值为( )A. 0 B. 2 C. 3 D. 5【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，直接写出甲、乙两个班级的中位数，得出 30+m35，求出 m 的值【详解】甲班成绩：25、30、35、40、40，中位数为：35，乙班成绩：30、30、30+m、35、40，因为中位数相同，所以 30+m35，解得：m5故选 D.【点睛】本题考查了利用茎叶图求中位数的应用问题，是基础题4.“ab1”是“直线 axy+10 与直线 xby10 平
3、行”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】a b1 时，两条直线平行成立，但由 axy+10 与直线 xby10 平行，可得 ab1，不一定是 ab1【详解】 a b1 时，两条直线 axy+10 与直线 xby10 平行， 反之由 axy+10 与直线 xby10 平行，可得： ab1，显然不一定是 ab1，所以，必要性不成立，“ab1”是“直线 axy+10 与直线 xby10 平行”的充分不必要条件故选： A【点睛】本题考查了直线平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档
4、题5.设 是互相垂直的单位向量，且（ ）（ 2 ） ，则实数 的值是（ ）A. 2 B. 2 C. 1 D. 1【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件：向量垂直数量积等于 0，列出方程求出 【详解】依题意，有： ab1，且 ab0，又（ ab）（ a2b） ，所以， （ ab） （ a2b）0，即a22b 2（2 1） ab0，即 20，所以， 2故选 B.【点睛】本题考查两向量垂直的充要条件：数量积等于 0；单位向量的定义，属于基础题.6.执行如图的程序框图，其中输入的 ， ，则输出 a 的值为（ ）A. 1 B. 1 C. D. 【答案】B【解析】【分析】由条件结构的特点，先判断
5、，再执行，计算出 a，即可得到结论【详解】由 a ， b ， a b，则 a 变为 1，则输出的 a1故选 B.【点睛】本题考查算法和程序框图，主要考查条件结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题7.抛物线 的焦点为 F，P 是抛物线上一点，过 P 作 y 轴的垂线，垂足为 Q，若PF ，则PQF 的面积为（ ）A. 3 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由条件结合抛物线定义可知 P 的横坐标为 x3 ，代入抛物线方程得点 P 的纵坐标的绝对值，则可求PQF 的面积.【详解】依题意，得 F（ ，0） ，因为PF4 ，由抛物线的性质可知：PQ4 ，即点 P 的横坐标为 x3 ，
6、代入抛物线 ，得点 P 的纵坐标的绝对值为：y2 ，所以，PQF 的面积为：S ，故选 D.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单应用涉及抛物线的焦点问题时一般要考虑到抛物线的定义，考查计算能力8.已知O： 与O 1： 相交于 A、B 两点，若两圆在 A 点处的切线互相垂直，且AB=4，则O 1的方程为（ ）A. 20 B. 50C. 20 D. 50【答案】C【解析】【分析】根据两圆相交，在 A 处的切线互相垂直，即可得到结论【详解】依题意，得 O（0,0） ，R ，O 1（ ，0） ，半径为 r两圆在 A 点处的切线互相垂直，则由切线的性质定理知：两切线必过两圆的圆心，如下图，OC ，OAO
7、1A，OO 1AB，所以由直角三角形射影定理得：OA 2OCOO 1，即 51OO 1，所以 OO15， rAO 1 2 ，即 5，得 5，所以，圆 O1的方程为： 20，故选： C【点睛】本题主要考查两圆位置关系的应用，根据切线垂直关系建立方程关系是解决本题的关键9.在边长为 2 的等边三角形内随机取一点，该点到三角形三个顶点距离均大于 1 的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出满足条件的正三角形 ABC 的面积，再求出满足条件正三角形 ABC 内的点到三角形的顶点 A、 B、 C 的距离均不小于 1 的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案【详解】满足
8、条件的正三角形 ABC 如下图所示：其中正三角形 ABC 的面积 S 三角形 4满足到正三角形 ABC 的顶点 A、 B、 C 的距离至少有一个小于 1 的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为 1 的半圆，则 S 阴影 则使取到的点到三个顶点 A、 B、 C 的距离都大于 1 的概率是P 故选： A【点睛】本题考查几何概型概率公式，涉及三角形的面积公式、扇形的面积公式，属于基础题10.已知 F1，F 2是焦距为 8 的双曲线 E： 的左右焦点，点 F2关于双曲线 E的一条渐近线的对称点为点 A，若AF 14，则此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】
9、【分析】由题意知 AF2 =4 ，结合点到直线的距离与双曲线中 a、b、c 间得关系得到，解得结果.【详解】如下图，因为 A 为 F2关于渐近线的对称点，所以，B 为 AF2的中点，又 O 为 F1F2的中点，所以，OB 为三角形 AF1F2的中位线，所以，OBAF 1，由 AF2OB，可得 AF2AF 1，AF2 =4 ，点 F2（4,0） ，渐近线： x，所以 ，解得：b2 ， 2，所以离心率为 e2,故选 C.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用及点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题11.博览会安排了分别标有序号为“1 号” “2 号” “3 号”的三辆车，
10、等可能随机顺序前往酒店接嘉宾某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车记方案一与方案二坐到“3 号”车的概率分别为 P1，P 2，则（ ）A. P1P2 B. P1P 2 C. P1+P2 D. P1P 2【答案】C【解析】【分析】将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.【详解】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321方案一坐车可能：132、213、231，所以，P 1 ；方案二坐车可能：312、321，所以，P 1 ；所以 P1+P2故选 C.
11、【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.12.函数 在（一，十）上单调递增，则实数 a 的范围是（ ）A. 1 B. (1，1) C. (0. 1) D. 1，1【答案】A【解析】【分析】根据 f（x） ，结合结论 ，即 进行放缩求解，求得实数 a 的取值范围【详解】f（x）= 恒成立，即 恒成立，由课本习题知： ，即 ，只需要 x ，即(a-1)(x-1) 恒成立，所以 a1故选 A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的性质的问题，属于中档题二、填空题、 （20 分）13.(2+ )(2x) 5的展开式中 x2的系数是_(用数字
12、作答）【答案】200【解析】【分析】求出(2x) 5展开式的通项公式，要求 x2的系数，只需求出(2x) 5展开式中 x2和 x3的系数即可【详解】(2+ )(2x) 5展开式中，含 x2的项为 2 + =(2 +) 200x 2，所以系数为 200,故答案为 200.【点睛】本题主要考查二项式定理的基本应用，利用展开式的通项公式确定具体的项是解决本题的关键14.一个盒子装有 3 个红球和 2 个蓝球（小球除颜色外其它均相同） ，从盒子中一次性随机取出 3 个小球后，再将小球放回重复 50 次这样的实验记“取出的 3 个小球中有 2 个红球，1 个蓝球”发生的次数为 ，则 的方差是_【答案】1
13、2【解析】【分析】直接由二项分布的方差公式计算即可.【详解】由题意知 ,其中 n=50，p= = ， D（ ）=50 =12，故答案为 12.【点睛】本题考查了二项分布的概念及方差的计算，属于基础题.15.若 f（x) ，则满足不等式 f(3x 一 1)十 f(2)0 的 x 的取值范围是_【答案】 【解析】【分析】先判断奇偶性，再直接利用函数的单调性及奇函数可得 3x 一 1-2，由此求得 x 的取值范围【详解】根据 f（ x） ex e x在 R 上单调递增，且 f（- x） e x ex =- f（ x） ，得f（ x）为奇函数， f(3x 一 1)-f(2)=f(-2)， 3x 一 1
14、-2，解得 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题16.已知椭圆 C： 的右焦点为 F，点 A（一 2，2)为椭圆 C 内一点。若椭圆 C上存在一点 P，使得PAPF8，则 m 的最大值是_【答案】25【解析】【分析】设椭圆的左焦点为 F（2，0） ，由椭圆的定义可得 2 | PF|+|PF|，即|PF|2 | PF|，可得| PA| PF|82 ，运用三点共线取得最值，解不等式可得 m的范围，再由点在椭圆内部，可得所求范围【详解】椭圆 C： 的右焦点 F（2，0） ，左焦点为 F（2，0） ，由椭圆的定义可得 2 | PF|+|PF|，即| PF|2 | P
15、F|，可得| PA| PF|82 ，由| PA| PF| AF|2，可得282 2，解得 ，所以 ,又 A 在椭圆内，所以 ,所以 8m-16e，进行 的换元，则 t 由 ，解得 构造，t ，利用导函数转化求解即可【详解】 （1）由题意得 ， x0由题知 =0 有两个不等的实数根， 即 有两个不等的实数根令 ，则 由 0，解得 ，故 在(0，e)上单调递增；由 e，故 在(e，+)上单调递减；故 在 x=e 处取得极大值 ，且 ，结合图形可得 .当函数 f(x)有两个极值点时，实数 m 的取值范围是(0， ) （2）因为 g(x)=xlnx-mx2-elnx+mex=(x-e)(lnx-mx)
16、，显然 x=e 是其零点由（1）知 lnx-mx=0 的两个根分别在(0，e)，(e，+)上， g(x)的三个不同的零点分别是 x1，e， x3，且 0e 令 ，则 t 则由 解得 故 ， t 令 ，则 令 ，则 所以 在区间 上单调递增，即 所以 ，即 在区间 上单调递增，即 = ，所以 ，即 x1x3 .所以 x1x3的最大值为 【点睛】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值以及函数的极值的求法，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22, 23 题中任选一题做答。如果多做则按所做的第一题记分。22.在平面直角坐标系 xoy 中，曲
17、线 C 的参数方程是 （ 为参数） 以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为：（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）设直线 与直线 l 交于点 M，与曲线 C 交于 P，Q 两点，已知OMOPOQ）10，求 t 的值。【答案】 （1） ；（2） 或 .【解析】【分析】（1）由曲线 C 的参数方程，可得曲线 C 的普通方程，再将其化为极坐标方程 （2）将 代入 中，求得| OM|，将 代入 中，得，得到| OP| |OQ|=5再根据| OM| |OP| |OQ|=10，解得 t 值即可.【详解】 （1）由曲线 C 的参数方程，可得曲线 C 的普通方程为
18、，即 ， ，故曲线 C 的极坐标方程为 （2）将 代入 中，得 ，则 | OM|= 将 代入 中，得 设点 P 的极径为 ，点 Q 的极径为 ，则 所以| OP| |OQ|=5又|OM| |OP| |OQ|=10，则 5 =10 t= 或【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查了利用极坐标解决长度问题，考查了学生的运算能力和转化能力，属于基础题型23.已知函数（1）m1 时，求不等式 f（x2）+f（2x）4 的解集；（2）若 t0，求证： 【答案】 （1） x|x2；（2）见解析.【解析】【分析】（1）将不等式| x-3|+|2x-1|4 去绝对值 ，按当 x3、 及 x 分三类分别解不等式.（2）由绝对值三角不等式直接证明.【详解】 （1）由 m=1，则 |x-1|，即求不等式| x-3|+|2x-1|4 的解集当 x3 时，| x-3|+|2x-1|=3x-44 恒成立；当 时， x+24，解得 x2，综合得 ；当 x 时，4-3 x4，解得 x2（2） t0， = = 所以 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值三角不等式的应用，考查了不等式的证明，难度中档
