1、绵阳南山中学高 2018届高三“二诊”热身考试数学（理科）第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 = 因为 所以故选 C2. 已知 是虚数单位，复数 的共轭复数虚部为（ ）A. B. -4 C. 3 D. 4【答案】B【解析】 = ，所以共轭复数为 即虚部为-4故选 B3. 某中学有高中生 3500人，初中生 1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 的样本，已知从高中生中抽取 70人，则 为（ ）A
2、. 100 B. 150 C. 200 D. 250【答案】A【解析】试题分析：根据已知可得： ，故选择 A考点：分层抽样视频4. 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” ，执行该程序框图，若输出的 ，则输入的 可能是（ ）A. 15,18 B. 14,18 C. 12,18 D. 9,18【答案】B【解析】根据题意，执行程序后输出的 a=2，则执行该程序框图前，输人 a、b 的最大公约数是 2，分析选项中的四组数，满足条件的是选项 B故选 B5. 已知 ，直线 与直线 互相垂直，则 的最小值为（ ）A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B【解析】b0，两条直线
3、的斜率存在，因为直线（b 2+1）x+ay+2=0 与直线 x一 b2y一 1=0互相垂直，所以（b 2+1）-ab 2=0，ab=b+ 2故选 B6. 在 中， 分别为 所对的边，若函数 有极值点，则 的最小值是（ ）A. 0 B. C. D. -1【答案】D【解析】 ，f（x）=x 2+2bx+（a 2+c2-ac） ，又函数 有极值点，x 2+2bx+（a 2+c2-ac）=0 有两个不同的根，=（2b） 2-4（a 2+c2-ac）0，即 aca 2+c2-b2，即 ac2accosB；即 cosB ，故B 的范围是（ 所以 ，当 时的最小值是-1故选 D7. 某学校需要把 6名实习老
4、师安排到 三个班级去听课，每个班级安排 2名老师，已知甲不能安排到 班，乙和丙不能安排到同一班级，则安排方案的种数有（ ）A. 24 B. 36 C. 48 D. 72【答案】C【解析】先考虑甲不能到 A班的方案： 种，减去其中乙和丙安排到同一班级的方案： 种，即 48 种；故选 C8. 以下四个命题中：某地市高三理科学生有 15000名，在一次调研测试中，数学成绩 服从正态分布 ，已知 ，若按成绩分层抽样的方式抽取 100分试卷进行分析，则应从 120分以上（包括 120分）的试卷中抽取 15分；已知命题 ， ，则 ， ；在 上随机取一个数 ，能使函数 在 上有零点的概率为 ；在某次飞行航程
5、中遭遇恶劣气候，用分层抽样的 20名男乘客中有 5名晕机，12 名女乘客中有 8名晕机，在检验这些乘客晕机是否与性别有关时，采用独立性检验，有 97%以上的把握认为与性别有关.0.15 0.1 0.05 0.0252.072 2.706 3.841 5.024其中真命题的序号为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】对于，在一次调研测试中，数学成绩 服从正态分布 N（100， 2） ，数学成绩 关于 =100 对称，P（80100）=0.40，P（120）=P（80）=0.5-0.40=0.1，则该班数学成绩在 120分以上的人数为 0.1100=10，故错误；对于，已知命题 p：xR
6、 ，sinx1，则p：xR，sinx1，故正确；对于，由( )280，解得 m-2 或 m2，在-4，3上随机取一个数 m，能使函数在 R上有零点的概率为 ，故正确；对于，填写 22列联表如下：晕机 不晕机 合计男乘客 5 15 20女乘客 8 4 12合计 13 19 32则 k2的观测值 k 有 97%以上的把握认为晕机与性别有关.故对故选 B9. 某车间加工零件的数量 与加工时间 的统计数据如表：零件数 （个） 10 20 30加工时间 （分钟） 21 30 39现已求得上表数据的线性回归方程 中的 值为 0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（ ）A. 8
7、4分钟 B. 94 分钟 C. 102 分钟 D. 112 分钟【答案】C【解析】试题分析： , ,回归直线过样本点的中心， ，解得 ，加工 100个零件大约需要 分钟.考点：回归直线方程的应用.10. 若圆 上至少有三个不同的点到直线 的距离为 ，则直线的斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】圆 可化为 则圆心为（-2，2） ，半径为3 ，则由圆 x2+y2+4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线 l：ax+by=0 的距离为 2 ，则圆心到直线 l：ax+by=0 的距离 d3 2 = 即 则 a2+b2-4ab0，若 b=0，则a=0，故不成立，故 b0，
8、则上式可化为1+ 由直线 l的斜率 k=- 则上式可化为 k2+4k+10 解得 故选 B11. 如图， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与双曲线分别交于点 ，若 为等边三角形，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据双曲线的定义，可得|AF 1|-|AF2|=2a，ABF 2是等边三角形，即|AF 2|=|AB|BF 1|=2a又|BF 2|-|BF1|=2a，|BF 2|=|BF1|+2a=4a，BF 1F2中，|BF 1|=2a，|BF 2|=4a，F 1BF2=120|F 1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|BF2|cos120即 4
9、c2=4a2+16a2-22a4a（- ） ）=28a 2，解得 c2=7a2，又 c= 所以 方程为故选 C点睛：本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质，考查了余弦定理解三角形，根据条件求出 a，b 的关系是解决本题的关键12. 已知函数 ，有三个不同的零点， （其中 ） ，则的值为（ ）A. B. C. -1 D. 1【答案】D【解析】令 f（x）=0，分离参数得 a= 令 h（x） = 由 h（x）=得 x=1 或 x=e当 x（0，1）时，h（x）0；当 x（1，e）时，h（x）0；当 x（e，+）时，h（x）0即 h（x）在（0，1） ， （e，+）上为减函数，在（1，e）上为增函数
10、0x 11x 2ex 3，a= 令 = 则 a= 即 2+（a-1）+1-a=0， 1+ 2=1-a0， 1 2=1-a0，对于 = ， 则当 0xe 时，0；当 xe 时，0而当 xe 时， 恒大于 0不妨设 1 2，则 1= ， =（1- 1） 2（1- 2） （1- 3）=（1- 1） （1- 2） 2=1-（1-a）+（1-a） 2=1故选 D点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性，极值等性质，训练了函数零点的判断方法，运用了分离变量法，换元法，函数构造法等数学转化思想方法，综合性强第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13. 已知 的展开式中，
11、的系数为 ，则 _【答案】4【解析】 ，所以由 得 ，从而点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 项，由特定项得出 值，最后求出其参数.14. 在一场比赛中，某篮球队的 11名队员共有 9名队员上场比赛，其得分的茎叶图如图所示，从上述得分超过 10分的队员中任取 2名，则这 2名队员的得分之和超过 35分的概率为_【答案】【解析】从得分超过 10分的队员中任取 2名，一共有以下 10种不同的取法：(12,14)，(12,15)，(12,
12、20)，(12,22)，(14,15)，(14,20)，(14,22)，(15,20)，(15,22)，(20,22)，其中这 2名队员的得分之和超过 35分的取法有以下 3种：(14,22)，(15,22)，(20,22)，故所求概率 P .点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.15. 在 中，角 所对的边分别为 ，且
13、 ， 是 的中点，且 ， ，则 的最短边的边长为_【答案】【解析】因为 ，所以 sinB= 又 正弦定理化简可得：sinAcosCsinA+sinAsinCcosA= sinC即 sinA（cosCsinA+sinCcosA）= sinCsinAsinB= sinCA+B+C=，C=-（A+B）sinAsinB= sin（A+B） ， sinA= sinAcosB+ cosAsinB，sinA=cosA即 tanA=1，0A，D 是 AC的中点，且 cosB=A= ，根据余弦定理得 c2+ b2- bc=26， sinA= sinC，且 sinB = sinC， 的最短边的边长为故答案为16.
14、 在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，点 ，平面向量 满足：，则对任意 的实数和任意满足条件的向量 ，的最小值_【答案】【解析】设 C 由 得 , = 等价于圆 M: 上一点与函数 图象上一点的距离，可先求圆心 M 到曲线 上一点的距离最小值减去半径即为所求，在曲线 上取点 P 在点 P处切线斜率为 ，当 MP垂直于切线时即可满足题意，即 令 则有令 在 递增，且 点 P 此时MP= ，所以所求最小值为故答案为点睛：本题考查了向量数量积的坐标表示，考查了利用点点距离求最小值，利用了构造函数法，线与线垂直的应用，综合性强,属于难题,三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明、证
15、明过程或演算步骤 ） 17. 已知等差数列 中，公差 ， ，且 成等比数列.（1）求数列 的通项公式；（2）若 为数列 的前 项和，且存在 ，使得 成立，求 的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）由题意可得 解得 即可求得通项公式(2) ,裂项相消求和 ，因为存在 ，使得成立，所以存在 ，使得 成立，即存在 ，使得成立.求出 的最大值即可解得 的取值范围.试题解析：（1）由题意可得 即又因为 ，所以 所以 .（2）因为 ，所以.因为存在 ，使得 成立，所以存在 ，使得 成立，即存在 ，使得 成立.又 （当且仅当 时取等号）.所以 ，即实数 的取值范围是 .18. “中国人
16、均读书 4.3本（包括网络文学和教科书） ，比韩国的 11本、法国的 20本、日本的 40本、犹太人的 64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天 40名读书者进行调查，将他们的年龄分成 6段： ， ， ， ， 后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估
17、计在 40名读书者中年龄分布在 的人数；（2）求 40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在 的读书者中任取 2名，求这两名读书者年龄在 的人数 的分布列及数学期望.【答案】(1)30;(2)54,55;(3) 的分布列如下：0 1 2数学期望【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图知年龄在40，70）的频率为（0.020+0.030+0.025）10，进而得出 40 名读书者中年龄分布在40，70）的人数 （2）40 名读书者年龄的平均数为 250.05+350.1+450.2+550.3+650.25+750.1计算频率为 处所对应的数据即可得出中位数 （3）年龄在20，30）的读
18、书者有 2人，年龄在30，40）的读书者有 4人，所以 X的所有可能取值是 0，1，2利用超几何分布列计算公式即可得出试题解析：（1）由频率分布直方图知年龄在 的频率为 ，所以 40名读书者中年龄分布在 的人数为 .（2）40 名读书者年龄的平均数为.设中位数为 ，则解得 ，即 40名读书者年龄的中位数为 55.（3）年龄在 的读书者有 人，年龄在 的读书者有 人，所以 的所有可能取值是 0,1,2，的分布列如下：0 1 2数学期望 .19. 已知函数 的图象关于直线 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 .（1）求 和 的值；（2）若 ，求 得值.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（
19、1）由两个相邻的最高点的距离可求得周期 ，则 ，函数为，由函数关于直线 对称，可知 ，结合可求得 的值；（ 2）对 进行三角恒等变换，可求得的值，又 为锐角，可求得 ，再利用三角恒等变换求得值.试题解析：（1）由题意可得函数 的最小正周期为 ，再根据图象关于直线 对称，可得结合 ，可得（2）再根据考点：三角函数的周期与初相，三角恒等变换.视频20. 如图，已知抛物线 的焦点为 ，椭圆 的中心在原点， 为其右焦点，点 为曲线 和 在第一象限的交点，且 .（1）求椭圆 的标准方程；（2）设 为抛物线 上的两个动点，且使得线段 的中点 在直线 上， 为定点，求 面积的最大值.【答案】(1) (2)
20、面积的最大值为 .【解析】试题分析：（1）由已知得 ，跟据抛物线定义，得 ，所以点 ；据椭圆定义，得 所以椭圆 的标准方式是 （2）因为 为线段 的中点，得直线 的方程为；联立 ，得 ，由弦长公式和点 到直线 的距离，得 再根据函数的单调性得 面积的最大值为 试题解析：（1）设椭圆 的方程为 ，半焦距为 由已知，点 ，则 设点 ，据抛物线定义，得 由已知， ，则 从而 ，所以点 设点 为椭圆的左焦点，则 ， 据椭圆定义，得 ，则 从而 ，所以椭圆 的标准方式是 （2）设点 ， ， ，则 两式相减，得 ，即 因为 为线段 的中点，则 所以直线 的斜率 从而直线 的方程为 ，即 联立 ，得 ，则
21、所以 设点 到直线 的距离为 ，则 所以 由 ，得 令 ，则 设 ，则 由 ，得 从而 在 上是增函数，在 上是减函数，所以 ，故 面积的最大值为 考点：1、抛物线的定义；2、椭圆的方程；3、最值问题【方法点睛】本题考查抛物线的定义和简单几何性质、待定系数法求椭圆的标准方程、直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题，综合性强，属于难题；对于直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题，解决此类题目的最有效方法是点差法，两式直接相减就可以表示出斜率；而第二问中面积公式求出后，函数单调性的研究更是加深了此题的难度，运算量也比较大，不容易拿高分21. 已知函数 （ 且 ）（1）若 ，求函数 的单调区间；（2）当 时，
22、设 ，若 有两个相异零点 ，求证： .【答案】(1) 当 时，函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 ，当 时，函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 .(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由 知 分 ， 两种情况讨论即得解（2） ，设 的两个相异零点为 ，设 ，因为 ， ，所以 ， ，相减得 ，相加得 .要证 ，即证 ，即 ，即 ，换元设上式转化为 .构造函数求导研究单调性即可得证.试题解析：（1）由 知当 时，函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 ，当 时，函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 .（2） ，设 的两个相异零点为 ，设 ， ， ， ， ， ， .要证 ，即证 ，即 ，即 ，设
23、上式转化为 .设 ， ， 在 上单调递增， ， ， .点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了分类讨论的思想，考查了不等式的证明，利用零点的式子进行变形，采用变量集中的方法构造新函数即可证明，综合性强属于中档题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的方程为 ，定点 ，点 是曲线上的动点， 为 的中点.（1）求点 的轨迹 的直角坐标方程；（2）已知直线 与 轴的交点为 ，与曲线 的交点为 ，若 的中点为 ，求 的
24、长.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）求出曲线 C1的直角坐标方程为 ，设点N（x，y） ，Q（x，y） ，由中点坐标公式得 ，由此能求出点 Q的轨迹 C2的直角坐标方程 （2） 的坐标为 ，设 的参数方程为 ， （ 为参数）代入曲线 的直角坐标方程得 ，根据韦达定理，利用 t的参数意义得即可得解.试题解析：（1）由题意知，曲线 的直角坐标方程为 .设点 ， ，由中点坐标公式得 ，代入 中，得点 的轨迹 的直角坐标方程为 .（2） 的坐标为 ，设 的参数方程为 ， （ 为参数）代入曲线 的直角坐标方程得： ，设点 对应的参数分别为 ，则 ， ， .23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 ， .（1）求不等式 的解集；（2）若方程 有三个实数根，求实数 的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）通过讨论 的范围，得到关于 的不等式组，求出不等式的解集即可；（2）分离 ，得到 ，令 ，结合函数的图象求出 的范围即可试题解析：（1）原不等式等价于 或 或 ，得 或不等式 的解集为 .（2）由方程 可变形为 ，令 ，作出图象如下：于是由题意可得 .点睛：本题考查了利用分类讨论思想解绝对值不等式问题，考查数形结合思想处理方程的根的个数问题，是一道中档题
