1、正方形课后练习1.下列判断中正确的是( )A四边相等的四边形是正方形B四角相等的四边形是正方形C对角 线互相垂直的平行四边形是正方形D对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形正方形四边中点的连线围成的四边形(最准确的说法)一定是( )A矩形 B菱形 C正方形 D平行四边形如图，正方形 ABCD 中，点 E、F、H 分别是 AB、BC、CD 的中点，CE 、DF 交于 G，连接 AG、HG下列结论：CEDF；AG=AD；CHG =DAG；HG= AD其中正确的有 ( )12A B C D如图，正方形 ABCD 的对角线相交于 O 点，BE 平分ABO 交 AO 于 E 点， CFBE 于 F 点
2、，交 BO于 G 点，连接 EG、OF下列四个结论：CE= CB；AE= OE；OF= CG其中正确的 结论只有( )212A B C D如图，正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 ECGF 的边 CE 上， B、C、G 三点在一条直线上，且正方形ABCD 与正方形 ECGF 的边长分别为 2 和 3，在 BG 上截取 GP=2，连接 AP、PF(1)观察猜想 AP 与 PF 之间的大小关系，并 说明理由；(2)图中是否存在通过旋转、平移、反射等 变换能够互相重合的两个三角形？若存在，请说明变换过程；若不存在，请说明理由；(3)若把这个图形沿着 PA、PF 剪成三块，请你把它们拼成一个大正方
3、形，在原图上画出示意图，并请求出这个大正方形的面积如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，O 又是正方形 A1B1C1O 的一个顶点，OA 1 交 AB于点 E，OC1 交 BC 于点 F(1)求证：AOEBOF；(2)如果两个正方形的边长都为 a，那么正方形 A1B1C1O 绕 O 点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？如图，已知点 E 为正方形 ABCD 的边 BC 上一点， 连 接 AE，过点 D 作 DGAE，垂足为 G，延长 DG交 AB 于点 F求证：BF=CE 如图，四边形 ABCD 是正方形，G 是 BC 上任意一点(点 G 与 B、C 不重
4、合)，AEDG 于 E，CFAE 交DG 于 F求证：AE =FC+EF如图 1，四边形 ABHC，ADEF 都是正方形， D、F 分别在 AB、AC 边上，此时 BD=CF，BDCF 成立(1)当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转 (0 90)时，如图 2，BD=CF 成立吗？若成立， 请证明；若不成立，请说明理由(2)当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转 45时，如 图 3，延长 BD 交 CF 于点 G，设 BG 交 AC 于点 M，求证：BDCF两个边长不定的正方形 ABCD 与正方形 AEFG 如图 1 摆放，将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转一定角度(1)若点 E 落
5、在 BC 边上(如图 2)，试探究线段 CF 与 AC 的位置关系并证明；(2)若点 E 落在 BC 的延长线上时(如图 3)，(1)中结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，加以 证明如图所示，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动(点 E 不与点 A，B 重合) ，另一直角边与CBM 的平分线 BF 相交于点 F(1)如图 1 所示，当点 E 在 AB 边的中点位置时：通过测量 DE，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是_；连接点 E 与 AD 边的中点 N，猜想 NE 与 BF
6、满足的数量关系是 _；请证明你的上述两个猜想；(2)如图 2 所示，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在 AD 边上找到一点 N，使得 NE=BF，进而猜想此时DE 与 EF 有怎样的数量关系在图 1 至图 3 中，点 B 是线段 AC 的中点，点 D 是线段 CE 的中点四边形 BCGF 和四边形 CDHN都是正方形AE 的中点是 M(1)如图 1，点 E 在 AC 的延长线上，点 N 与点 G 重合时，点 M 与点 C 重合，求证：FM=MH，FMMH ；(2)将图 1 中的 CE 绕点 C 顺时针旋转一个锐角，得到 图 2，求 证：FMH 是等腰直角三角形；(3)将图 2 中的
7、CE 缩短到图 3 的情况，FMH 还是等腰直角三角形吗？( 不必说明理由)正方形课后练习参考答案D详解：A 错误，四边相等的四边形是菱形；B 错误，四角相等的四边形是矩形；C 错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；D 正确， 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故选 DC详解：如图，连接 AC、BD，交于 O，正方形 ABCD，AC= BD，ACBD，E 是 AD 的中点，H 是 CD 的中点，F 是 AB 的中点，G 是 BC 的中点，EHAC， FGAC，EFBD，GHBD，EF= BD，EH= AC，12EF =EH，EFEH，四边形 EFGH 是平行四边形，平行四边形 EFG
8、H 是正方形故 选 CD详解：四边形 ABCD 是正方形，AB=BC= CD=AD，B=BCD=90，点 E、F、H 分别是 AB、BC、CD 的中点，BCECDF， ECB =CDF，BCE+ECD =90，ECD+CDF=90， CGD=90，CEDF，故正确；在 RtCGD 中，H 是 CD 边的中点，HG = CD= AD，故正确；12连接 AH，同理可得：AHDF，HG=HD= CD，DK= GK，AH 垂直平分 DG，AG= AD，故正确；DAG=2DAH，同理：ADH DCF， DAH =CDF，GH=DH， HDG=HGD， GHC=HDG +HGD=2CDF ，CHG=DAG
9、，故 正确；故正确的结论有 故选 DD详解：四边形 ABCD 是正方形，ABO =ACO=CBO= 45，AB=BC，OA=OB=OC，BDAC，BE 平分 ABO， OBE = ABO =22.5，CBE=CBO+EBO=67.5 ，12在BCE 中， CEB=180 BCOCBE=1804567.5=67.5，CEB=CBE， CE=CB；故正确；OA=OB，AE=BG， OE =OG，AOB =90，OEG 是等腰直角三角形，EG= OE，2ECG=BCG ，EC=BC，CG=CG，ECGBCG，BG=EG，AE=EG= OE；故正确；2AOB =90，EF=BF，BE =CG，OF=
10、BE= CG故正确；12故正确的结论有故选 D见详解详解：(1)猜想 PA=PF；理由：正方形 ABCD、正方形 ECGF，AB =BC=2，CG=FG=3，B= G =90，PG=2，BP=2+3-2=3=FG， AB=PG，ABPPGF，PA= PF(2)存在，是ABP 和PGF，变换过程：把ABP 先向右平移 5 个单位，使 AB 在 GF 边上， B 与 G 重合，再绕 G 点逆时针旋转 90 度，就可与PGF 重合 (3)如图，S 大正方形 =S 正方形 ABCD+S 正方形 ECGF = 4+9=13见详解详解：(1)证明：在正方形 ABCD 中，AO =BO，AOB=90， OA
11、B =OBC= 45，AOE +EOB=90， BOF +EOB=90，AOE=BOF在AOE 和BOF 中， OAE=OBF，OA=OB，AOE=BOF，AOE BOF；(2)两个正方形重叠部分面积等于 a2，因 为AOE BOF，14所以 S 四边形 OEBF=SEOB +SOBF =SEOB +SAOE =SAOB = S 正方形 ABCD= a21414见详解详解：在正方形 ABCD 中，DAF =ABE=90，DA=AB=BC，DGAE，FDA+DAG=90又EAB+DAG=90，FDA=EAB 在 RtDAF 与 RtABE 中， DA=AB，FDA=EAB，RtDAFRtABEA
12、F=BEAB=BC，BF=CE见详解详解：四边形 ABCD 是正方形，AD=DC，ADC=90，又AEDG，CFAE ，AED=DFC=90，EAD+ADE=FDC+ADE=90，EAD=FDC，AEDDFC(AAS)，AE=DF，ED=FC，DF=DE+EF，AE=FC+EF见详解详解：(1)BD =CF 成立，理由是：四边形 ABHC 和四边形 ADEF 是正方形，AB=AC，AD=AF，BAC=DAF=90，BACDAC=DAFDAC，BAD=CAF，在 DAB 和FAC 中， AB=AC，DAB=FAC，AD=AF，DABFAC(SAS)，BD=CF(2)DABFAC，FCA=DBA，
13、CMG=BMA，CAB=90，CMG+FCA=DBA+BMA=180CAB=90，在CGM 中， CGM=18090=90，BDCF见详解详解：(1)如图 2，过 E 作 EMCB 于 E 交 AC 与 M，而 AEEF，AEF=90， AEM+MEF=CEF +MEF， AEM =CEF，又AC 是正方形的对角线，ACE =45，CE=ME，AE =EF，AEMFEC ， CFE=CAE，而ANE= CNF，ACF=AEF=90 ，即 CFAC；(2)若点 E 落在 BC 的延长线上时(如图) ，(1)中结论是否仍然成立 过 F 作 FHBC，交 BC 的延长线于 H，四边形 ABCD、四
14、边形 AEFG 是正方形，AEF=B= EHF=90，AE=EF，AEB +BAE =AEB + FEH=90，BAE=FEH，FEHEAB， EH =AB，FH=BE，即 EH=AB=BC，FH=BE=BC+CE，FH=EH+CE=CH，即FCH= 45，而ACB= 45，ACCF 见详解详解：(1)DE =EF；NE=BF；四边形 ABCD 为正方形， AD=AB，DAB=ABC=90 ，N，E 分别为 AD，AB 中点， AN =DN= AD，AE=EB= AB，1212DN =BE，AN=AE，DEF =90，AED+FEB=90，又ADE +AED=90， FEB=ADE，又AN=A
15、E， ANE=AEN，又A=90， ANE= 45， DNE=180-ANE=135 ，又CBM=90 ，BF 平分CBM ，CBF= 45，EBF=135，DNEEBF(ASA)， DE= EF，NE=BF(2)在 DA 上截取 DN=EB(或截取 AN=AE)，连接 NE，则点 N 可使得 NE=BF此时 DE=EF证明方法同(1)，证DNEEBF见详解详解：(1)证明：四边形 BCGF 为正方形， BF =BM=MN，FBM=90，四边形 CDHN 为正方形， DM= DH=MN，HDM=90，BF =BM=MN，DM=DH=MN，BF=BM=DM=DH，BF =DH，FBM= HDM，
16、BM=DM ，FBMHDM，FM=MH ，FMB=DMH= 45，FMH=90，FMHM (2)证明：连接 MB、MD，如 图 2，设 FM 与 AC 交于点 PB、D、M 分别是 AC、CE、AE 的中点， MDBC，且 MD= AC=BC=BF；MBCD，且 MB= CE=CD=DH，112四边形 BCDM 是平行四边形，CBM=CDM，又FBP=HDC，FBM =MDH，FBM MDH，FM =MH，且 FMB= MHD，BFM=HMD FMB+HMD=180FBM，BM CE ，AMB =E，同理：DME=AAMB+ DME=A+AMB =CBM由已知可得：BM= CE=AB=BF，A=BMA ，BMF= BFM，12FMH=180( FMB+ HMD )(AMB +DME)=180(180 FBM)CBM=FBMCBM= FBC=90FMH 是等腰直角三角形(3)解：FMH 还是等腰直角三角形
