1、函数的值域与最值【复习目标】1. 会用配方法、换元法、判别式法、图像法、不等式法、变量分离法等求函数的值域；2. 渗透分类讨论和数形结合的数学思想；3. 理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数值域的一些应用。【知识梳理】一、相关概念1、值域：_ 称为函数的值域。2、常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。（1 ）一次函数 的值域为_；),0(Rxkby（2 ）二次函数 ，当 时，值域为 _，2aca0当 时，值域为_；0（3 ）反比例函数 的值域为_；),0(xky（4 ）对勾函数 的值域为_；),(（5 ）分式函数 的值域为_ ；)(cdxcbay（6 ）指数函数 ，值
2、域为_ ；,10R且（7 ）对数函数 ，值域为 _；)0(logxaxya（8 ）三角函数 的值域为_ ；cs,sin的值域为_；),2(,taZkxy3、最值：设函数 在 处的函数值是 ，如果_，Dfy),0x)(0xf则称 为函数 的最大值，记作_ ；设函数)(0xf(在 处的函数值是 ，如果_，则称y,0)(0f为函数的最小值，记作_。)(0f注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 x0D，使得 f(x0) = M；函数最大（小）值是所有函数值中最大（小）的，即对于任意 xD，都有 f(x)M （f (x)M ） 。4、求函数值域的常用方法（1 ） 观察法(用非负数的性质，如
3、： ； ； 等)20x0(x例如：求下列函数的值域： ;_3y变式： ;_421()yx（2 ） 配方法：常可转化为二次函数型 ，配成完全平方式，根据变量的cxbfaxFf)()(2取值范围，然后利用二次函数的特征来求最值；例：求值域： ； 21,yxR1,3;(,5;,1;例：求函数 的值域。)4,0(22xy变式 1：当 时，函数 在 时取得最大值，则 的取2,0(x 3)1(4)(2xaxf 2a值范围是_变式 2： （1）求 最值。 （-动轴定区间）3,ya（2 ）求 的最值（-定轴动区间 ）22xt（3 ） 换元法（代数换元法）通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代
4、数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想；例: 求函数 的值域。xxy413点评：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。变式 1：求函数 的值域. xy142变式 2： 的值域为_； sin3cos变式 3：函数 的值域为_；21xy变式 4：求函数 的值域_；)42(5lgl414x变式 5：已知 是圆 上的点，试求 的值域。),(p2yxyt32（4 ） 反表示法：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的x y取值范围；常用来解，型如： ),(,nmdcbay例：函数 y= 的值域是（ ）21xA.1，1 B.（1，1 C.1，1）
5、D.（1，1）变式 2:求函数 的值域305变式 3:求函数 ，及 的值域10xy12xy（5 ）单调性法： 考虑函数在某个区间上的单调性，结合函数的定义域，可求得值域；例：函数 的值域。12yx变式：求 的值域为_;1(9)yx函数 f(x)= 的值域_x1log823函数 的值域_412)(xy（6 ） 基本不等式法 ： 利用基本不等式 ， ；求函数的值2,()ababRab域时，应注意“一正、二定、三相等”.例：设 成等差数列， 成等比数列，则 的取值范围是12,xay12,xby21)(ba_.说明：利用均值不等式解题时一定要注意“一正，二定，三等”三个条件缺一不可。反例：看起来可用均
6、值不等式，其实不能（1）求函数 的值域)52(1xy（2 ）求函数 的最小值。4)(2xf（7）数形结合：分析函数解析式表示的几何意义，根据函数图象或函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域 例：求函数 的值域 .xycos2in3变式：已知点 在圆 上，求 及 的取值范围。(,)Py21y2yxx（8 ） 利用判别式法 针对分式型 ，尤其是分母中含有22(0abxcammnpy其 中 ）时常用此法。通常去掉分母将函数转化为二次方程 a（ y） x2+ b（y）x+c（y）=0，则在x2a（y）0 时，由于 x、y 为实数，故必须有 =b2（y）4a（y ）c（y）0，从而确定函数的最值，检
7、验这个最值在定义域内有相应的 x 值.例：求函数 的值域。3274xy变式：求 的值域21xy备用练习题：一选择题：1函数 的值域是 13xy.A,.B(,0)(,).C1,.D(,1)(0,)2函数 的值域为 （ ）12xA （ B ,)U(,2)(,)UC DRy Ry3. 下列函数中，值域是（0，+ ）的函数是 （ ）A B C D15xyxy211)2(xyxy1)3(定义在 上的函数 的值域为 ，则函数 的值域为4.R()f,ab(fa2,ab.0,b,b5函数 在区间 上的值域为 ，则 的值为（ ）2()3fxmx,223m或 .A5.B594.C5.D946 已知函数 在区间 上
8、有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是（ ）2xy0,A、 1，+ B、0，2 C、（-，2） D、1，27函数 的值域是2()fxR.0,.0,1.0,1.0,18函数 的定义域是 ，则其值域是yx25.A,2.B,.C,2,.D0,(函数 的值域是9.31yx0,0.,.,3.,10函数 的最大值是 （ ）)()(xfA B C D5445433411已知 ，则 有2x2()xf最大值 最小值 最大值 最小值.41.112.函数 的最小值是（ ）28136()yx.A1.B.C2.D313若 的值域为 ，则 的 值域为()f0,2()07)1gxf以上都不对.,3.1.8,6.14
9、已知函数 的最大值为 ,最小值为 ,则 的值为3yMm.A14.B2.C2.D32二填空题：1. 的定义域为 ，那么其 值域为 2yx0,132.函数 的值域为 x3.函数 的值域是 24(0,)yx4若函数 的定 义域为 ,值域为 ,则 的取值范围是 3m254m5函数 的值域是 ；21()yx6若函数 的值域是 ，则函数 的值域是 ；)f,321()()Fxfx7函数 的最大值为 ；()1xf8一批货物随 17 列货车从 A 市以 V 千米/ 小时匀速直达 B 市，已知两地铁路线长 400 千米，为了安全，两列货车间距离不得小于 千米 ，那么这批物资全部运到 B 市，最快需要2()0_小时
10、(不计货车的车 身长) ；9设 为方程 的两个实根，当 _时， 有最小值12,x24xm21x_；10已知 t 为常数，函数 在区间0 ，3上的最大 值为 2，则 _；txy2 t11.若曲线 与直线 没有公共点， 则 的取 值范围为 21xyybb12函数 y= 的值域是 ；21(log)l3(,4)x13.已知函数 在区间 上的最大值与最小值分别为38fx，、 ，则 _Mm14在区间 上函数 与 在同一点取得相同的最小值，1,22()fxpq21()gx那么 在区间 上的最大值是 （4 ，平均 值不等式求最值）()fx三解答题：1（1）、求函数 在0， 2上的值域1()43xf（2）求函数 的值域234xxy102 如若 求 的取值范围。,3,abRab3 求函数 的值域；121log45yx已知 ， ，求函数 的值域;23()2logfxx1,2()yfxf若函数 的值域为 ，求 的值域.3()fx34,89()12()yfxfx
