1、高中数学复习讲义- 1 -函数的值域与最值【基本概念】求函数最值的基本方法：1、配方法（二次函数）2、分离常数法（分式函数）3、反函数法（分式函数）4、基本函数性质法5、换元法换元必换限（无理函数、高次函数等）6、基本不等式法（耐克函数）7、单调性法（单调区间上的值域与最值）8、数形结合法【典型例题】例 1：求下列函数的值域。（1） ；21xy（2） ；lgcos（3） ；21yx（4） ；（5） ；2lg612yxx（6） 。3sinco解：（1）解一分离常数法： 121,1,2xy yx解二反函数法： 2yy（2）基本函数性质法： 又cos1,cos1,3xxcos0x1cos0,3,lg
2、3xy（3）换元法：令 ，则210tx21xt2232 0,4yxttty又（4）基本不等式法：令 ，则1tx2114ttxt t当 时， ，当且仅当 即 时取等号0t420yt2t高中数学复习讲义- 2 -当 时， ，当且仅当 即 时取等号0t428yt2t3x ,8,（5）单调性法： 在 上单调增且 在 上单调增1lgyx,226yx1,在 上单调增12y, 5,8lgy（6）数形结合法：设 、 ，则cos,inP2,3Q3sin2coPQxky设 即2331,kykx32,例 2：函数 在区间 上的值有正有负，求实数 a 的取值范围。fa,解：令 210fx若 显然不符题意0af若 21
3、1,3aax综上所述， 1,3例 3：已知函数 ， 为 在 上的最小值，求函数 的最0xfxttgtfx0,1gt大值并画出 的图象。gt解： 1fxtt 即 时， 在 上递增0tfx0,110gtft 即 时，1tt ft 即 时， 在 上递减0t1tfx0,11gtft综上所述， ,1,tgt图象如图 5-1 所示，由图象可知 max1gt例 4：根据下列条件，求实数 a 的值。（1）函数 在区间 上有最大值 2；2yx0, 图 5-1高中数学复习讲义- 3 -（2）函数 在区间 上有最大值 7；243yax4,2（3）函数 在区间 上有最大值 3。1x3,解：（1） 22 1yxaa若
4、则 符合题意0max01f若 则 均不符题意（舍）12a 152yfa若 则 符合题意amax13综上所述， 或3（2） 2244yxa若 则 不符题意（舍）0a若 则 符合题意max 12163473yfaa若 则 符合题意0af综上所述， 或13（3） 222 114aayaxx若 此时对称轴 符合题意max393423fa 74x若 此时对称轴 符合题意a 12yf a0若 此时对称轴 不符题意2max1342f 2x综上所述， 或23a例 5：已知函数 在区间 上的值域为 ，求实数 a、b 的值。24fxx,ab,ab解： 22 14fx区间 在直线 左侧时， 在 上递减,abxfx,
5、ab高中数学复习讲义- 4 -则 （舍）23443abab区间 在直线 右侧时， 在 上递增,a2xfx,ab则 （舍）23443abb直线 落在区间 内2x,114413274afbbafa（ 舍 ） 或（ 舍 ）综上所述， 、1b例 6：对于函数 若同时满足以下条件： 在 D 上单调递增或单调递减；fxDfx存在区间 ，使 在 上的值域是 ，则称函数 为“闭,afx,ab,abfxD函数”。（1）求“闭函数” 符合条件的区间 ；3y,（2）函数 是不是“闭函数”？若是，请求出区间 ；若不是，请2lgx ,ab说明理由；（3）若函数 是“闭函数”，求实数 k 的取值范围。yk解：（1） 在
6、D 上单调递减，则 即区间 为3yx31ab,ab1,（2） 不是单调函数，故不是“闭函数”12.0lg9fyxf（3）由题意知方程 有两个不同的实数解2xk高中数学复习讲义- 5 -22941404,22kkkkxx又例 7：已知 a 为实数，函数 。21faxR（1）讨论 的奇偶性；fx（2）求 的最小值。f解：（1）当 时 为偶函数0afxffx当 时 ， 不具有奇偶性2fa21fafafx当 时xa2 314fxx若 ，则 在 上单调递减12f,a2min1ffa若 ，则amin1324xfa当 时x2134fax若 ，则12amin324fxffa若 ，则 在 上单调递增f,a2mi
7、n1fxfa综上所述， 2min31,4,231,4fxa【一讲一练】一、填空题（每空格 4 分，共 40 分）1、求下列函数的值域：（1） ；21,xy（2） ；（3） ；2xy 235x（4） ；（5） 。2loglx 21y高中数学复习讲义- 6 -2、函数 在 时有最大值 2，则 。21fxax0,1a3、已知函数 在区间 上的最大值为 3、最小值为 2，则实数 m 的取值范围3y,m是 。4、若一系列函数的解析式相同、值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数 ，且值域为 的“孪生函数”共有 个。21fx19,35、若函数 的定义域为 R，则实数 m 的取值范围是 2
8、lgax。6、若函数 在 上有最小值 （a、b 为非零常数），22lo1fxb,03则函数 在 上的最大值为 。f0,二、选择题（每小题 4 分，共 16 分）7、若函数 的值域是 ，则函数 的值域是（ ）fx1,321Fxffx(A) (B) (C) (D)38,20, 82,3102,38、设函数 ， 是二次函数，若 的值域是 ，则 的值2,1xfgxfgx,gx域是（ ）(A) (B) (C) (D),1,10,0,1,9、对 ，记 ，函数 的最小值是（ ,abR,max,abmax,2f xR）(A)0 (B) (C) (D)3123210、若函数 对于任意 t 都有 ，且在区间 上有
9、最大值25fxa4ftt,0m5、最小值 1，则实数 m 的取值范围是（ ）(A) (B) (C) (D),0,24,三、解答题（共 44 分）11、（本大题有 2 小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 4 分，共 8 分）已知函数 。2lg3fxmx（1）若 的定义域为 R，求实数 m 的取值范围；f高中数学复习讲义- 7 -（2）若 的值域为 R，求实数 m 的取值范围。fx12、（本大题有 2 小题，第 1 小题 5 分，第 2 小题 5 分，共 10 分）已知函数 ，且当 时有最小值 。2loglfxabx1x8（1）求 的解析式；（2）求 的解集。fx0f13、（本大题有 2 小
10、题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 8 分，共 12 分）已知函数 。f（1）解不等式 ；（2）求 在区间 上的最大值。3fxfx0,a14、（本大题有 3 小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 4 分，第 3 小题 6 分，共 14 分）对于定义域为 D 的函数 ，如果满足存在区间 使得 在 的值域为f ,bDfx,ab，那么函数 叫做 上的“k 级矩形 ”函数。,kab*Nfx,ab（1）设函数 是 上的“1 级矩形”函数，求常数 a、b 的值；3f,（2）是否存在区间 使函数 在区间 上是“k 级矩形”函数,ab2gx,？若存在，求出常数 a、b、k 的值，若不存在，请说明理由；
11、（3）设函数 是 上的“3 级矩形”函数，求常数 a、b 的值。2hx,【参考答案】1、（1） （2） （3）,31,720,4（4） （5） 2、,1,35,1或3、 4、9 5、 6、5,2 0,7、A 8、C 9、C 10、B11、解：（1）定义域为 R 04,16430mm（2）值域为 R 取遍一切正数2gxx 时 的值域为 R 符合题意0m43 时min004243mgxgm高中数学复习讲义- 8 -图 5-2 0,4m12、解：（1）令 ，则2logxtR20tx22 2min10261 88当 即 时 aaftabtbbxfx 22log4l6f（2） 00,31,10,2,82
12、txtt x13、解：（1） 232,xxx（2）函数图象如图 5-2 所示 时， 在 上递增01afx0,a2maxffa 时，2max1ff 时， 在 上递增1af2,2maxffa综上所述， max2,011,2fa14、解：（1） 在 上单调递增3f,b,fb又 在 上为“1 级矩形”函数3fx,aafa、b 是 的两个不等实根fx由 3 10110aaxbb或 或 或 或（2）假设存在 a、b、k 使 在区间 上是“k 级矩形”函数2gx,则有 高中数学复习讲义- 9 - 在 上单调递减且值域为gx,ab 12112,2kabbba又 不符合题意0或 k且 k*N不存在 a、b、k 使 在区间 上是“k 级矩形”函数12gx,b（3） 是 上的“3 级矩形”函数2hx,ab 的值域为221,48xx3,ab当 时， 在 上单调递增，值域为14abh,ab,h a、b 是方程 的两个不等实根 或 （不合题意）3h3x2a0b当 时， 在 上单调递减，值域为14h,ab,h无解231hbab当 时，4max1134824hb1322h a综上所述， 1,4ab
