1、函数最值求法1.判别式法若函数 可化成一个系数含有 的关于 的二次方程: 。()yfxyx2()()ayxb()0cy在 时,由于 为实数 ,则有 ,由此可以求出 所在的范围,确()0a,2()40bc定函数的最值。例 1.1 已知 ,其中 是实数,则 的最大值为 _。 32pqpqq解:设 ,由 得, s32()2p33()()qq是方程 的两个实根.21()3pqs,p2210xss40整理化简, 得 ,故 . 即 的最大值为 238s2q例 1.2 实数 满足 ,设 ,则 的值为_。 ,xy245xy2sxymaxin1s解:由题意知, ,故1s224()1)又 是方程 的两个实根.2x
2、ys2xy05ts2439()45解得 ，即103sminax10,smaxin85s2.函数的单调性法当自变量的取值范围为一区间时，常用单调性法来求函数的最值。若函数在整个区间上是单调的,则该函数在区间端点上取到最大值或最小值。若函数在整个区间上不是单调的 ，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值。例 2.1 求函数 的最小值和最大值。22()8148fxx解：先求定义域，由 得 20146又 ，()86fxx8x,8故当 ，且 增加时， 增大，而 减小.于是 是随着 的增大而减6, ()fx小，即 在区间 上是减函数
3、，所以()fx,8, min()0fmax()623ff例 2.2 求函数 ， 的最大值和最小值。215xy3解： ， x214x,2x令 ， .当 时，有 4()ftt1,12t2121214()()()fttt2124()tt0在 上是减函数，因此 ，4()ftt,min()5ftfmax17()2ftf， min217ymax15y3.均值不等式法均值不等式:设 是 个正数,则有 ,其中等号成立的条12,.n1212nnaa件是 。12.aa运用均值不等式求最值,必须具备三个必要条件,即一正二定三等,缺一不可。 “正”是指各项均为正数,这是前提条件；“定”是指各项的和或积为定值；“等”是
4、等号成立的条件。 例 3.1 设 为自然数, 为实数,且满足 ,则 的最小值是_。nab2ab1nnab解: .由均值不等式得, ab0()故 1111()nnnn nbabaa当且仅当 时,上式取等号.故 的最小值是nn例 3.2 设 ， ， ,记1lg()zxy1lgl()bxyzlgcy1()xz中最大数为 M,则 M 的最小值为_。,abc解: 由已知条件得 111l(),l(),l()axyzyzxcxzy设 中的最小数为 ,则 M= 11,)xyzxzAlg由已知条件知, ,于是yR211()(Axzy11()()zyx24所以, ,且当 时, ,故 的最小值为 ,从而 M 的最小
5、值为y2Alg注:在用均值不等式求函数的最值时,往往需要配合一定的变形技巧,才可以把问题转化成求不等式的问题。例 3.3 设 ,则 的最大值是_。0sin(1cos)2解: 由 ,有 0又 2sin(1cos)ics222ino2223sics()349其中当 时,上式等号成立,即 时成立,故 的最大22sincoscotarsin(1cos)2值为 4394.换元法用换元法求函数最值,就是根据函数表达式的特点,把某一部分看作一个整体或用一个新变元来代替,达到化繁难为简易,化陌生为熟悉,从而使原问题得解。换元法通常有三角代换和代数代换两种。例 4.1 正数 满足 ，其中 为不相等的正常数，求
6、的最小值。,xy1ab,abxy解：令 ,0auvu则 ()()bxyvavbu2ab2当且仅当 ，即 时上式取等号.故avuauminxy例 4.2 实数 适合条件 ，则函数 的值域是_。,xy21xy223解：由已知可设， ，其中 ，cos,ink1k,则 223sxy2 23sicoksin23sink当 ， ，即 时， ；当 ， ，即ksin1,14xymax71i1,4时， .故 的值域是2,xymin2s223xy,75.几何法某些二元函数最值问题具有图形背景,这时我们可以将所给函数表达式化为具有一定几何意义的代数表达式,再利用几何图形,对函数最值作出直观的说明和解释。根据函数所表
7、示的几何意义,我们可以将函数分为以下几种:5.1 可视为直线斜率的函数的最值例 5.1.1 求函数 的最小值。21xf解:令 ,则 且 ，于是问题转化为:21xy1,yfg20xy当点 在上半个单位圆 上运动时,求 与 的连线,P20x,1A,Pxy的斜率的最值(如图).显然, 当点 与点 重合时,直线 的斜率最小,此时 .当直AP1B13ABK线 与上半个单位圆 相切时,直线 的斜率最大. 2xyP设 ,则直线 的方程为APK12yKx直线 与上半个单位圆 相切20x解得 (舍去)或21OPd43综上可得,直线 的斜率的最值为 : ， Amin1ABKmax43APK， min13fxax4
8、3f5.2 可视为距离的函数的最值例 5.2.1 函数 的最大值是_。4242611f x解：将函数式变形,得 2222(3)()(0)()fxx可知函数 的几何意义是：y在抛物线 上的点 分别到点 和点 的距离之差,现2x2,Px3,2A1B求其最大值.由 知，当 在 的延长线上 处时， 取得最大值PABBPfxAB22max3010f5.3 可视为曲线截距的函数的最值例 5.3.1 求函数 的最大值。sincosicovuu解: 令 ,则 ,且 .则问题转化为:co,xyvxy21x当点 在单位圆 上运动时,求双曲线族 (视 为常数)在 轴上的,xy210vy截距 的最大值.v当 时,由方
9、程 得10xyv, yv1由此可知:当 时, ;当 时, xy此双曲线族有公共的渐进线 和 ,有公共的中心1,O由此不难得出,当双曲线族 与单位圆 切于点 时,纵截距0xyv21xy2(,)T取得极大值 ，而 ,故所求纵截距 的极大值就是最大值 .v121v因此,所求函数 的最大值为v6.构造方差法设 个数据 的平均数为 ,则其方差为n12,nX X2221.ns X 2221 12. .n nn 显然 （当且仅当 时取等号） 。应用这一公式，可简捷、巧妙地解20s12.nX决一些试题的最值问题。这种方法适用的范围很广，可以用来求函数的最值，也可以用来求某一字母的最值以及求某一代数式的最值。例
10、 6.1 求函数 的最大值。1sinsiyx解： 的方差是i,22 2211sinsinsin1sisxxx 21()0y解得 .故24ymax例 6.2 确定最大的实数 ，使得实数 满足：z,xy, 5y3zx解：由已知得 , , xz253xyyzz的方差 ,xy22211s21xy25530zz2310z解得 .故 的最大值为13z13注：对于例 1，我们也可以用构造方差法来求解，解题过程如下：解法 2：不妨设 ，则由已知 ,即 pqk32pq22pqpq得 3k21k又 的方差是,pq22211sqp21pq2()03kk即 ,由此判定 ,解得 ,即 ,亦即 .故 的28438k02k
11、02pq最大值为7.导数法设函数 在 上连续，在 上可导，则 在 上的最大值和最小值为fx,ab,abfx,ab在 内的各极值与 ， 中的最大值与最小值。f,ff要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法。导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视。例 7.1 求函数 , 的最大值和最小值。326fxx1,解: ,令 ,方程无解.2f 0f函数 在 上是增函数.36x231xfx1,故当 时, ，当 时, 1minff1xma2f例 7.2 求数列 的最大项。0解: 设 ,则1xf2102xfx令 ,则得0fx0,f又 , 10flimli01xxf
12、将 , 及 加以比较,得 的最大值为fflixff102f数列 的最大项为第 项,这一项的值为10n102例 7.3 已知 的导函数 ，试探究 的极点和最点.)(xf xf3)()(xf解析： .1(3有 3 个相异的根： 它们都是 的极点.)(xf ,0,321xx)(xf易知原函数 （ R）cf4易知 为 的减区间， 为 的增区间， 为 的减区间， 为,)(x,)(xf10，)(xf),1(的增区间.)(xf的 4 个单调区间依次成“减增减增”的顺序，使得首、尾两个区间的单调性相异，从而使得 在“两次探底”中得到最（小）点.)(xf比较三个极值的大小： .41)(,)0(,41)( cfcff 得 的最小值为 ，对应两个最小点 和 1.)(xfc【说明】 定义在一个开区间上的可导函数 如果有 n 个极点：x 10，探索二次函数 y = ax2+bx+c 的单调区间.并指出函数的最值点.解析：任取 x10 ) 有减区间 和增区间ab2,- . ,ab显然，二次函数的最值点为 ，函数有最小值 .abx2abc42
